5.4. Общий метод решения линейной системы.

Рассмотрим теперь произвольную систему из туравнений спнеизвестными:

(1)

Определение.Две системы линейных уравнений являютсяэквивалентными, если любое решение первой системы является также решением второй и, наоборот, любое решение второй системы является решением первой.

К элементарным преобразованиям системыотнесем следующие действия:

1. перестановка двух уравнений системы местами;

2. умножение обоих частей любого уравнения системы на число, отличное от нуля;

3. прибавление к обеим частям одного уравнения системы соответственно обеих частей другого уравнения.

К системе (1) применим элементарные преобразования рассмотренного типа. Обе части первого уравнения системы (1) умножим на число , а затем сложим первое уравнение со вторым. Получим новую систему

(2)

где ,,.

Докажем, что любое решение системы (1) будет решением системы (2). Пусть - решение системы (1). Эти числа удовлетворяют всем уравнениям системы (2), кроме второго уравнения. Но они и второе уравнение системы (2) превращают в верное числовое равенство, т.к. это уравнение выражается через уравнения один и два системы (1).

Обратно, всякое решение системы (2) будет решением системы (1). Пусть - решение системы (2). Эти числа удовлетворяют всем уравнениям системы (1), кроме второго уравнения. Но второе уравнение системы (1) можно получить из второго и первого уравнения системы (2). Поэтому второе уравнение системы (1) при подстановке чиселтоже превращается в верное числовое равенство.

Мы доказали, что системы (1) и (2) эквивалентны, а именно следующее утверждение.

Утверждение.Если к системе (1) несколько раз применить элементарные преобразования рассмотренного типа, то вновь полученная система уравнений останется эквивалентной исходной системе (1).

Может случится, что после элементарных преобразований, в новой системе появится уравнение вида

. (3)

Если , то это уравнение можно отбросить и решать эквивалентную систему. Если же, то это уравнение не имеет решения ни при каких, поэтому система будет несовместной.

Покажем в этом пункте как с помощью элементарных преобразований можно решить произвольную алгебраическую систему линейных уравнений.

Определение.Если приписать кАсправа столбец свободных членов системы (1), то получится матрица

,

которая называется расширенной матрицей системы (1).

Очевидно, система линейных уравнений и ее расширенная матрица однозначно определяют друг друга.

Действительно, каждому эквивалентному преобразованию системы (1) отвечает соответствующее элементарное преобразование расширенной матрицы и наоборот:

• перестановке двух уравнений системы местами отвечает перестановка соответствующих строк матрицы ;

• умножению обоих частей какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля, отвечает умножение на это число соответствующей строки матрицы ;

• сложению двух уравнений системы отвечает сложение соответствующих строк матрицы .

Утверждение..

Доказательство.Пусть ранг матрицыАравенr, а ранг расширенной матрицыравен, т.е.и. Доказательство разобьем на две части.

I)Покажем, что. Если к матрицеАдобавить новый столбец, то ранг новой матрицы не уменьшится, так как все отличные от нуля миноры матрицыАбудут присутствовать также и в расширенной матрице. Следовательно,

. (4)

II)С другой стороны докажем, что, так как если к матрицеАдобавить новый столбец, то ранг матрицыАувеличится не более, чем на единицу.

Предположим противное. Пусть , следовательно, существует минорматрицыпорядка. Этот миноробязательно должен содержать новый столбец матрицы, в противном случаеявляется также минором матрицыАпорядка. Так как порядок этого минора большеr, то, что противоречит условию.

Разложим по элементам нового столбца:, где- алгебраические дополнения. Каждоеявляется минором матрицыАпорядка, но все эти миноры равны нулю, т.к. их ранг. Следовательно,.

Мы получили противоречие с условием, что . Поэтому предположениеневерно. Итак,

. (5)

Из неравенств (4) и (5) следует, что или. Конец доказательства.

Теорема(Кронекера-Капелли). Система совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицыравен рангу матрицыА:.

Доказательство.Пусть. В этом случае с помощью алгоритма Гаусса получим:

где .

Возможны два случая.

I)Если система (1) эквивалентна следующей системе:

Переносим слагаемые, содержащие , в правую часть, получим:

(6)

Неизвестные - называемсвободными неизвестными. Положим, где- произвольные числа. Из

системы (6) находим: ,

подставив это значение в предпоследнее уравнение системы, найдем , и т.д.

В данном случае мы имеем бесчисленное множество решений, зависящих от произвольных чисел .

II)Если, то число уравнений равно числу неизвестных и система (1) будет эквивалентна системе:

(7)

Из последнего уравнения найдем , из предпоследнего. Продолжая процесс, последовательно найдем все неизвестные. Система (7) будет иметь единственное решение.

Пусть. В этом случае, по доказанному утверждению,и с помощью алгоритма Гаусса получим:

где . В этом случае система (1) эквивалентна следующей системе:

.

Эта система несовместна, т.к. последнее уравнение противоречит условию .

Итак, если , то система несовместна. Конец доказательства.

Из теоремы следует, что решение системы линейных уравнений можно проводить следующим образом:

1. Находим ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы. Для этого достаточно матрицупривести к ступенчатому виду методом Гаусса и найти максимальный ненулевой минор. Его порядок равен рангу. По ступенчатому виду матрицыможно найти и максимальный ненулевой минор матрицыА, порядок которого равен рангуматрицы системы. Если, то система несовместна и не имеет решений.

2. Если , то система совместна.

Базисным миноромназовём найденный максимальный ненулевой минор матрицыА, абазисными неизвестнымисовместной системы, ранг матрицы которой, назовёмkнеизвестных, коэффициенты при которых образуют базисный минор. Остальныенеизвестные назовёмсвободными.

Отметим, что в случае, когда число базисных неизвестных равно числу неизвестных системы, то система имеет единственное решение.

Если число базисных неизвестных меньше числа всех неизвестных, то из соответствующей эквивалентной системы находят выражения базисных неизвестных через свободные. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получают бесконечное множество решений исходной системы.

Пример.Решить систему

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и приведём её к ступенчатому виду.

(8)

Максимальный ненулевой минор для матрицы системы и расширенной матрицы это . Следовательно,и система совместна. Так как коэффициенты при неизвестныхиобразуют базисный минор, то,‑ базисные неизвестные, а‑ свободное неизвестное.

Запишем эквивалентную систему по последней матрице в цепочке (8) и решим её.

Ответ: .