11

Раздел 1. Комплексные числа.

1.1. Построение системы комплексных чисел.

1.1.1 Основные определения.

Пару действительных чиселаиbназывают упорядоченной, если указано, какое из них считается первым, какое – вторым.

Определение 1.Комплексным числомназывается любая упорядоченная пара

действительных чиселR.

Множество всех комплексных чисел обозначается С.

Определение 2. Два комплексных числаисчитаютравнымии

пишут =, если.

Условимся в дальнейшем комплексные числа обозначать строчными буквами греческого алфавита.

Определение 3. Пустьи- два комплексных числа.

Суммаопределяется равенством

,

а произведение- равенством

.

Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают следующими свойствами:

1. (коммутативность сложения.)

2. (коммутативность умножения).

3. (ассоциативность сложения).

4. (ассоциативность умножения).

5. (дистрибутивность умножения относительно сложения).

Упражнение.Проверить свойства 1-5.

Упорядоченная пара обладает тем свойством, что сложение ее с любой другой упорядоченной парой не меняет этой пары:. Упорядоченная параиграет роль нуля при сложении упорядоченных пар; называют еенуль-парой.

Определение 4. Пустьи- два комплексных числа.

Разностьюдвух упорядоченных пар называют такую

упорядоченную пару , что.

Найдем xиy. Поскольку, то, т.е.,, откуда,.

Таким образом, вычитание упорядоченных пар определяется формулой

.

Определение 5.Частным двух упорядоченных пари

называют такую упорядоченную пару, что

.

Найдем xиy. Так как, то, т.е.,. Эта система имеет решение,.Если, т.е., то частноедвух упорядоченных пар определяется так:.

Из последнего равенства при , т.е., получаем, что

.

Значит, роль единицы при делении упорядоченных пар выполняет упорядоченная пара .

1.1.2 Множество комплексных чисел как расширение множества действительных чисел.

Рассмотрим комплексные числа вида . Множество, состоящее из всех таких чисел, обозначимС^*.

Если каждому действительному числу асопоставим комплексное число, т. е., то получим некоторое соответствие между множествомRи множествомС^*. Это соответствие является взаимно однозначным.

Для любых двух действительных чисел аиb имеем. Если учесть, что, то можно записать. Это означает, что сумме действительных чиселаиbотвечает сумма соответствующих им комплексных чисел.

То же самое относится к произведению: так как и , то . Итак, произведению действительных чиселаиb отвечает произведение соответствующих им комплексных чисел.

Из сказанного следует, что если отождествить каждое действительное число ас комплексным числом, то тем самым множествоRдействительных чисел с его обычной арифметикой окажется как бы вложенным в множествоСкомплексных чисел. В этом смысле говорят, чтомножество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел.

1.1.3 Алгебраическая форма комплексного числа.

Арифметические действия над комплексными числами. Сопряженные комплексные числа. Свойства операции сопряжения.

Условимся в дальнейшем не делать различия между комплексным числом вида и действительным числома, т. е.; основанием для такого соглашения являются одинаковые «арифметики» в множествахRиС^*.

Рассмотрим упорядоченную пару . Согласно закону умножения комплексных чисел, имеем, тогда.

Определение 6. Упорядоченную пару,.удовлетворяющую

соотношению или, называютмнимой единицей.

С помощью мнимой единицы можно выразить любое комплексное число. В самом деле, так как

,

то

.

Теперь можно забыть о первоначальном способе задания комплексного числа как пары и записывать комплексное число в виде.

Определение 7. Выражениеназываюталгебраической формой

комплексного числа. Число аназывают действительной частью,

число b– мнимой частью комплексного числа.

Если задано комплексное число , то действительную часть числаобозначают( от франц.reele– «действительный»), а мнимую -( от франц.imaginaire– «мнимый»). Например,,.

Если , то число- действительное; если, то числоимеет види называетсячисто мнимым.

Определение 8.Пусть. Число, отличающееся отлишь

знаком коэффициента при мнимой части, называется

сопряженным числуи обозначается.

Итак, по определению, .

Если - действительное число, т.е., то. Таким образом, любое действительное число равно своему сопряженному.

Из определения комплексного числа (как упорядоченной пары действительных чисел) и определения арифметических действий над упорядоченными парами следует, что

1. ,

2. ,

3. ,

4. .

Формула 1 определяет правило сложения двух комплексных чисел: чтобы сложить два комплексных числа, необходимо сложить отдельно их действительные и мнимые части. Формула 2 означает, что при вычитании одного комплексного числа из другого, необходимо вычесть отдельно их действительные и мнимые части.

Формулу 3 можно получить путем умножения по правилам алгебры и замены его значением:

.

Чтобы получить формулу 4, необходимо предварительно числитель и знаменатель умножить на (число сопряженное числу):.

Сформулируем основные свойства операции сопряжения:

1) ; 4);

2) ; 5);

3) ; 6).

Упражнение 2.Доказать свойства 1-5 операции сопряжения.