55

Раздел 5. Системы линейных уравнений.

5.1. Матричная запись линейной системы.

Определение. Системой линейных алгебраических уравнений,содержащейmуравнений и пнеизвестных , называется выражение следующего вида:

(1)

где - неизвестные,- коэффициент изi-го уравнения при неизвестном,‑ свободный членi-го уравнения.

Введем обозначения:

- матрица, составленная из коэффициентов системы;

- столбец неизвестных,- столбец свободных членов.

Используя введенные обозначения и правила действия над матрицами, систему (1) можно записать в матричной форме

. (2)

Определение.Совокупность чиселназываетсярешением системы(1), если после подстановки в каждое из уравнений (1) вместо неизвестныхсоответствующих чисел, это уравнение превращается в верное равенство.

Определение.Система(1) называетсясовместной,если она имеет хотя бы одно решение, инесовместнойв противном случае.

Мы начнем с исследования частного случая системы (1), когда , т.е. число уравнений равно числу неизвестных, и при этом матрицаАсистемы невырожденная.

5.2. Решение линейной системы с помощью обратной матрицы.

Рассмотрим частный случай, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных.

(1)

или

. (2)

В этом случае и матрица системы

- квадратная.

Покажем, что решение системы (1) сводится к решению матричного уравнения (2).

Действительно, связь между системой (1) и уравнением (2) заключается в том, что совокупность чисел является решением данной системы тогда и только тогда, когда

есть решение уравнения (2). Это утверждение означает выполнение равенства

или

.

Последнее равенство, как равенство матриц, равносильно системе равенств

которая означает, что - решение системы (1).

Итак, решение системы (1) сводится к решению уравнения (2).

Так как , то существует обратная матрица. Умножим обе части матричного уравнения (2) наслева, получим:. Отсюда, так как, находим

. (3)

Следовательно, если уравнение (2) имеет решение, то оно задается формулой (3). С другой стороны, подставив в (2) получим

,

поэтому (3) является единственным решением уравнения (2).

Пример.Записать в матричной форме и решить систему при помощи обратной матрицы

.

Решение.Запишем систему в матричной форме:. Здесь

,,.

Имеем:

.

Следовательно, существует обратная матрица . Найдем ее:

Наконец,

,

откуда .

5.3. Правило Крамера.

Пусть дана система плинейных уравнений спнеизвестными

(1)

или

(2)

с действительными или комплексными коэффициентами.

Введем обозначения:

,

где - определитель системы, аполучается заменой элементовi–го столбца вна столбец из свободных членов.

Теорема (правило Крамера).Если определитель линейной системы (1) отличен от нуля, то система имеет и притом единственное решение, которое определяется по формулам:

. (3)

Доказательство.

Было доказано, что решение системы (1) сводится к решению матричного уравнения (2) и так как , то существует единственное решение уравнения (2), которое определяется формулой

. (4)

Напомним, что

,

где - алгебраическое дополнение элементаматрицыА, тогда

.

Раскрывая определитель поi-му столбцу, получим,, следовательно,

откуда .

Пример.Записать в матричной форме и решить систему при помощи правила Крамера

.

Решение.Запишем систему в матричной форме:. Здесь

,,.

Имеем:

.

Найдем

,,

Наконец,

,,

откуда .