Фдз 14. Многочлены.

Корни многочлена, их кратность. Деление многочлена на многочлен (алгоритм Евклида). Целая и дробная части отношения двух многочленов.

Теорема Безу. Основная теорема алгебры многочленов.

Многочлены с действительными коэффициентами, их разложение на множестве действительных и комплексных чисел.

1. Найти степень многочленов, приведенных ниже:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) -7.

2. Найти корни многочлена и указать их кратность.

3. Найти корни многочлена и указать их кратность.

4. Найти целую часть, остаток и дробную часть от деления многочлена на многочлен .

5. Найти целую часть, остаток и дробную часть от деления многочлена на многочлен .

6. Показать, что многочлен делится нацело на многочлен .

7. Сформулировать теорему Безу. Выяснить с ее помощью, будет ли делится нацело многочлен многочленом ?

8. Написать в общем виде разложения многочлена на множестве комплексных и на множестве действительных чисел.

9. Найти разложения многочлена на множестве комплексных и на множестве действительных чисел

10. Найти разложения многочлена на множестве комплексных и на множестве действительных чисел, если известно, что - корень кратности 2 этого многочлена.

______________________________________________________________________

Домашнее задание.

1. Найти все корни многочлена и указать их кратность.

2. Найти целую и дробную части отношения , где , .

3. Найти разложения многочлена на множестве комплексных и на множестве действительных чисел.

Фдз 15. Линейные пространства.

Определение линейного пространства, примеры линейных пространств.

Линейные подпространства, примеры подпространств. Линейные оболочки векторов.

Линейная зависимость (независимость) системы векторов.

1. Дать определение линейного пространства.

2. Доказать, что множество всех комплексных чисел является линейным пространством.

3. По какой причине множество векторов не является линейным пространством?

4. Доказать, что множество матриц является линейным пространством.

5. Дать определения линейного подпространства. Сформулировать критерий линейного подпространства. С его помощью доказать, что множество из задания 5 является линейным подпространством линейного пространства .

6. Доказать, что множество векторов является линейным подпространством пространства .

7. Дать определение линейной оболочки. Какие из множеств, приведенных ниже, являются линейными оболочками в пространстве многочленов не выше 3-й степени:

а) ; б) ;

в) ?

8. Дать определение линейной зависимости (независимости) системы векторов.

9. Проверить на линейную зависимость (независимость) систему векторов из линейного пространства .

10. Проверить на линейную зависимость (независимость) систему матриц из линейного пространства .

11. Проверить на линейную зависимость (независимость) систему функций из линейного пространства, представленного множеством всех непрерывных при функций.

__________________________________________________________________

Домашнее задание.

1. Доказать, что множество с обычными для векторов операциями сложения векторов и умножения вектора на число образует линейное пространство.

2. Доказать, что множество всех матриц вида образует подпространство в пространстве всех квадратных матриц 3-го порядка.

3. Проверить линейную зависимость (независимость) системы векторов из пространства .

4. Доказать линейную зависимость системы функций из линейного пространства .