Пример вычислений с помощью систолического процессора

Организацию вычислительного процесса в систолических массивах различной конфигурации с использованием ПЭ, функциональная схема которого показана на рис. 29.19, удобнее всего пояснить на примере умножения матрицы на вектор Х={х₁,х₂,...,х_n}.

Рис.29.19. Функциональная схема процессорного элемента систолической матрицы

Элементы вектора произведения Y = {у₁,у ₂,..., у_n} могут быть получены перио­дически повторяющимися операциями

где k — номер шага вычислений.

Пусть имеется матрица А размером пхп с шириной полосы ненулевых элемен­тов р + q- 1= 4. Схема умножения вектора на матрицу в этом случае представле­на на рис. 29. 20.

Рис.29.20. Схема умножения вектора на матрицу

Определенная выше последовательность операций для вычисления компонен­тов вектора Y может быть получена за счет конвейерного прохождения х_i и y_i, через р + q - 1 последовательно соединенных ПЭ (рис. 29.21)

Рис.29.21. Организация вычисления в линейной систолической структуре

Компоненты y_i(i = 1,..., п) вектора Y, имеющие в начальный момент нулевое значение, поступают на вход массива и продвигаются через ПЭ справа налево, в то время как компоненты вектора X движутся слева направо. Элементы матрицы в порядке, указанном на рисунке, вводятся в ПЭ сверху вниз. Промежуточные ре­зультаты у_i(k) накапливаются по мере продвижения от одного ПЭ к другому.

В табл. 29.1 показаны первые 6 шагов алгоритма умножения для рассматривае­мой структуры.

Таблица 29.1. Последовательность умножения матрицы на вектор в систолической ВС

Шаг	Состояние				Комментарий
	ПЭ1	ПЭ2	ПЭ3	ПЭ4
0				y1	Элемент y1 поступил в ПЭ4 поступил в ПЭ4
1	x1		y1		Элемент x1 поступил в ПЭ1, элемент yi движется влево
2		y1 a11 x1		y2	Элемент а11 поступил в ПЭ2, у1= у1+ а11*х1, то есть у1=а11+х1
3	y1 a12 x2		y2 a21 x1		Элемент а12 поступил в ПЭ1, а21 — в ПЭ3, у1= а11* х1+а12*х2, у2=а21*х1
4		y2 a22 x2		y3 a31 x1	Элемент у1 вышел из ПЭ1, у1= а21* х1+а22*х2, у3=а31*х1
5	y2 a23 x3		y3 a32 x2		у2= а21* х1+а22*х2 +а23*х3 у3=а31*х1+а32*х2
6		y3 a33 x3		y4 a42 x2	Элемент у2 вышел из ПЭ1, у4 = а42 * х2, уз = а31*х1 + а32*х2 +а33*х3

Заметим, что при такой организации вычислительного процесса для каждого ПЭ такты выполнения операции чередуются с тактами простоя. Таким образом, в каждый момент времени активны только процессорных элементов, сле­довательно, каждый выходной результат формируется за два такта. Для вычисле­ния всех п элементов выходного вектора Y необходимо 2п + р + q - 1 тактов.