-
Задача о беспорядках
Как применение метода включений и исключений рассмотрим задачу о беспорядках или задачу о встречах, предложенную Монмором, которая представляет интерес для различных приложений.
Сколькими
способами можно разместить
элементов множества
в
ячеек множества
(по одному в каждой) так, чтобы никакой
элемент
не попал в ячейку
?
Перестановку
без повторений можно представить как
биекцию множества
на себя:
.
Перестановку
называют беспорядком,
если в ней каждый элемент стоит не на
своем месте, то есть
,
.
Задача
о беспорядках состоит в том, чтобы
подсчитать число
перестановок-беспорядков. Например,
,
.
Обозначим
через
множество все перестановок
,
в которых элемент
стоит на
-ом
месте:
.
Множество
состоит из перестановок, в которых хотя
бы один элемент стоит на своем месте, а
все остальные перестановки будут
беспорядками. Тогда по формуле обращения
.
(8)
Подсчитаем
число перестановок в каждом из множеств
и в их пересечениях. Если
,
то сужение отображения
на множество
является биекцией этого множества на
себя. Следовательно,
.
Множество
составлено из перестановок
,
в которых
,
.
Сужение отображения
на множество
является биекцией этого множества на
себя. Следовательно,
.
По
индукции находим, что
.
По формуле включений и исключений
В
каждой из этих сумм слагаемые не зависят
от индекса суммирования, поэтому для
вычисления надо знать только их
количество. В первой сумме
слагаемых, число слагаемых во второй
сумме равно количеству всевозможных
пар
,
которые можно составить из
индексов
,
то есть
.
Аналогично в
-ой
сумме имеем
слагаемых. Отсюда
.
После подстановки в уравнение (8) и несложных преобразований находим
.
Выражение,
стоящее в скобках, представляет собой
частичную сумму ряда, сходящегося к
,
поэтому
.
Можно показать, что
равно целому числу, ближайшему к
:
,
где
– целая часть числа
.