Баранов Виктор Павлович. Дискретная математика. Раздел 2. Элементы комбинаторики.

Лекция 4. Размещения, перестановки и сочетания

Лекция 4. РАЗМЕЩЕНИЯ, ПЕРЕСТАНОВКИ, СОЧЕТАНИЯ

План лекции:

1. Понятие выборки.

2. Размещения.

3. Перестановки.

4. Сочетания.

5. Свойства чисел .

6. Задача о беспорядках.

1. Понятие выборки

Набор элементов из множества называется выборкой объема из элементов или -выборкой. Выборка называется упорядоченной, если порядок следования элементов в ней задан. Две упорядоченные выборки, различающиеся лишь порядком следования элементов, считаются различными. Если порядок следования элементов не является существенным, то выборка называется неупорядоченной. В выборках могут допускаться или не допускаться повторения элементов. В зависимости от способа формирования все выборки в комбинаторике классифицируют как размещения, перестановки и сочетания с повторениями и без повторений элементов.

2. Размещения

-размещением с повторениями из элементов называется упорядоченная -выборка, в которой элементы могут повторяться. Число всех таких выборок, которые отличаются друг от друга составом элементов или их порядком, равно числу векторов в декартовом произведении . Это число обозначают (от французского слова arrangement – размещение). По правилу произведения получаем

. (1)

Пример 1. Для запирания сейфа используется диск, на который нанесены 12 символов, а секретное слово состоит из 5 символов. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим секретного слова?

Общее число комбинаций равно . Значит, неудачных попыток может быть 248831.

-размещением без повторений из элементов называется упорядоченная -выборка, в которой элементы не повторяются. Число всех упорядоченных -множеств с различными элементами, которые можно составить из элементов -множества , обозначают .

Для вычисления необходимо сделать выборов. 1-й элемент можно выбрать способами, 2-й – () способами и т. д. Последний -й элемент можно выбрать способами. По правилу произведения

. (2)

Здесь – «-факториал» (0!=1!=1).

Пример 2. Научное общество состоит из 25 человек. Надо выбрать президента общества, вице-президента, ученого секретаря и казначея. Сколькими способами может быть сделан этот выбор, если каждый член общества может занимать лишь один пост?

Ответ: .

3. Перестановки

Решим следующую комбинаторную задачу.

Сколькими способами можно упорядочить -множество ?

Перестановками без повторений называют различные упорядоченные -множества, которые состоят из одних и тех же элементов, а отличаются друг от друга лишь порядком. Число таких перестановок обозначают (от французского слова permutation – перестановка).

Формулу для получаем из выражения (2) при :

. (3)

Пример 3. Сколькими способами можно посадить на скамейку 9 человек?

Ответ: =9!=362880.

К перестановкам с повторениями приводит следующая задача.

Имеется -множество , состоящее из различных элементов (). Сколько перестановок можно сделать из элементов первого типа, элементов второго типа,…, элементов -го типа?

Перестановки элементов каждого типа можно делать независимо друг от друга. Поэтому по правилу произведения элементы множества можно переставлять друг с другом способами так, что перестановки не изменятся. Тогда число различных перестановок с повторениями буде равно

, (4)

где .

Пример 4. Сколько перестановок можно сделать из букв слова «Миссисипи»?

В данном случае , («М»), («и»), («с»), («п»). По формуле (4)

.