4. Сочетания

В тех случаях, когда не имеет значения порядок элементов в подмножестве некоторого множества, а лишь его состав, говорят о сочетаниях. К сочетаниям без повторений приводит следующая задача комбинаторики.

Сколько -элементных подмножеств с различными элементами можно составить из элементов -множества ?

Такие подмножества называют сочетаниями без повторений из элементов по или короче -сочетаниями, а их число обозначают (от французского слова combinaison – сочетание). Другими словами, сочетаниями без повторений называется неупорядоченная -выборка, в которой элементы не повторяются.

Формулу для числа сочетаний легко получить из формулы (2) для числа размещений. Выберем какое-нибудь -элементное подмножество . Его можно упорядочить способами, а число таких подмножеств есть . Тогда справедлива формула

, (5)

откуда

. (6)

Пример 5. Сколько всего партий играется в шахматном турнире с участниками?

Ответ: , так как каждая партия однозначно определяется двумя ее участниками.

Пусть множество состоит из элементов различных типов: . Множество , составленное из , в котором элементы могут повторяться, называется мультимножеством. Для задания мультимножества надо указать число вхождений в него каждого элемента:

,

где – мощность мультимножества.

Число мультимножеств мощности , составленных из элементов -множества , называют сочетаниями с повторениями и обозначают . Другими словами, сочетаниями с повторениями называется неупорядоченная -выборка, в которой элементы могут повторяться.

Зашифруем каждую комбинацию из элементов с помощью нулей и единиц: для каждого типа напишем столько единиц, сколько элементов этого типа входит в комбинацию, а различные типы отделим друг от друга нулями. Если элементы какого-нибудь типа не вошли в комбинацию, то надо писать два или большее число нулей. При этом получим единиц и нулей. Тогда число будет равно числу перестановок с повторениями из единиц и нулей: . Так как

, то

. (7)

Встречаются задачи, в которых на сочетания с повторениями налагается дополнительное условие – в них обязательно должны входить элементы фиксированных типов . В этом случае . В частности, если и требуется, чтобы в -подмножество с повторениями входил по крайней мере один элемент каждого из типов , то получим мультимножеств.

Пример 6. В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Решение. Мощность мультимножества , число различных элементов . Число способов покупки пирожных равно .

5. Свойства чисел

Числа обладают целым рядом замечательных свойств, которые выражают различные соотношения между -подмножествами -множества .

1) .

Это свойство непосредственно следует из определения чисел : .

2) .

Для доказательства поставим в соответствие подмножеству его дополнение . Это соответствие взаимно-однозначное. При этом, если , то . Следовательно, по принципу биекции число подмножеств, составленных из элементов столько же, сколько подмножеств, составленных из элементов.

Формально это свойство вытекает также из формулы (6).

3) .

Для доказательства разобьем все -элементные подмножества множества на два класса:

а) подмножества, не содержащие элемент . Это будут -элементные подмножества -множества, поэтому число их равно ;

б) подмножества, содержащие элемент . Если из каждого такого подмножества удалить элемент , то получим -элементные подмножества -множества, число которых равно . Свойство 3) вытекает, таким образом, из правила сложения.

Это свойство можно доказать также формально, используя формулу (6).

При имеем . Так как , то полагают . Кроме того, придерживаются соглашения при . Тогда свойство 3) позволяет последовательно вычислить числа при . Вычисления представляют в виде треугольника Паскаля по имени французского математика Б. Паскаля (1623 – 1662), в трудах которого он применяется. Это название исторически неточно, так как такую таблицу знал уже арабский математик Омар Хайям (XIII в.). Этот треугольник имеет вид:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

……………………………………………..