3. Геометрическая интерпретация и реализация графов

При наглядном представлении графа вершины изображаются точками, ребра – линиями, соединяющими точки, а дуги – направленными линиями. Зафиксируем на плоскости произвольным образом точек, которые в любом порядке обозначим как . Затем для каждой пары точек таких, что , проведем линию, соединяющую точки и В результате таких действий получим некоторый рисунок, который и называется геометрической интерпретацией графа. Заметим, что одному и тому же графу соответствует много рисунков, которые могут быть его геометрическими интерпретациями (рис. 3).

Пусть в графе каждой вершине () взаимно однозначно соответствует точка в евклидовом пространстве, а каждому ребру – непрерывная кривая , соединяющая точки и и не проходящая через другие точки. Если все кривые, соответствующие ребрам, не имеют общих точек, кроме, быть может, концевых, то это множество точек и кривых называется геометрической реализацией графа в евклидовом пространстве. Справедливо следующее утверждение.

Теорема1. Каждый конечный граф можно реализовать в трехмерном евклидовом пространстве.

4. Степени вершины

Если в графе пара вершин такова, что , то вершины называются смежными; в этой ситуации каждая из них называется инцидентной ребру , а ребро называется инцидентным каждой из вершин . Если вершина и ребро инцидентны, то пишут .

Количество ребер, инцидентных данной вершине , называется ее степенью или локальной степенью графа в вершине и обозначают через . Для неориентированного графа . Вершина с нулевой степенью называется изолированной. Вершина, степень которой равна единице, называется висячей.

Если ребро (дуга) инцидентно только одной вершине, то его называют петлей. Ребра называют кратными, если они инцидентны одним и тем же вершинам.

Исторически первой теоремой теории графов является утверждение, принадлежащее Эйлеру и связывающее количество ребер, вершин и их степеней.

Теорема 2. Сумма степеней вершин -графа равна удвоенному числу его ребер:

.

Доказательство. Поскольку любое ребро инцидентно двум вершинам, то в сумме степеней всех вершин графа каждое ребро учитывается дважды.

Следствие. В любом графе число вершин нечетной степени четно.

Доказательство. Пусть и – множества вершин четной и нечетной степени соответственно. Очевидно, что

.

Первое слагаемое четно (как сумма четных чисел). Значит второе слагаемое также должно быть четным, а это при суммировании нечетных чисел возможно, если только их количество четно.

Для орграфов вместо степени вершины вводят понятие полустепеней: полустепень исхода – это число дуг, выходящих из вершины ; полустепень захода – это число дуг, входящих в вершину . Очевидно, что

.

5. Матрицы смежности и инциденций

Матрицей смежности -графа называется квадратная матрица размера , которая определяется следующим образом:

Для графа, изображенного на рис. 4, матрица смежности имеет вид:

Матрица смежности полностью определяет структуру графа. Например,

, ,

Множество столбцов, имеющих 1 в -ой строке, есть множество , а множество строк, которые имеют 1 в -ом столбце, совпадает с множеством .

Для неориентированного графа без кратных ребер и петель матрица смежности симметрична и имеет нули по главной диагонали. Для такого графа

,

Возведем матрицу смежности в квадрат. Элемент матрицы определяется по формуле

.

Слагаемое в этом уравнении равно 1 тогда и только тогда, когда оба числа равны 1, в противном случае оно равно 0. Поскольку из равенства следует существование пути длины 2 из вершины в вершину , проходящего через вершину , то равно числу путей длины 2, идущих из в .

Аналогично если является элементом матрицы , то равно числу путей длины , идущих от к .

Матрицей инциденций -графа называется прямоугольная матрица размерности , определяемая следующим образом:

Для графа, приведенного на рис. 4, матрица инциденций имеет вид:

Поскольку каждая дуга (ребро) инцидентна двум различным вершинам, за исключением того случая, когда дуга (ребро) образует петлю (в этом случае элементы соответствующего столбца равны 0), то в каждом столбце матрицы – два ненулевых элемента.

Если в матрице инциденций нет нулевых элементов, то имеем полный орграф, который называется турниром.