матстат

ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Т И П О В О Й Р А С Ч Е Т

на тему

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА И ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

Асимптотические утверждения теории вероятностей, используемые в математической статистики

Задание. 1 1. (Закон больших чисел). Случайные. величина Xi с одинаковой вероятностью может принимать одно из двух значений i a или i a . Выяснить, удовлетворяет ли

2.(Центральная предельная теорема теории вероятностей).На отрезке [0, a] cлучайным образом выбраны n чисел Хi i=1,…, n. Найти вероятность того, что их

n

сумма заключена в пределах t1 и t2, т.е. Р{t1< Xi < t2}

i 1

Пояснение: выбор случайным образом n чисел из интервала [0, a], интерпретируется как выборка n независимых одинаково распределенных СВ Х1, Х2 ,..., Хп (IID–Independe IdenteficalDistribjution)по равномерному закону на отрезке [0, а] с математическим

п972 454 202 108 162 300 584 768 1200 1452 2028 584 1200 2028 108

Задания. 2.Нахождение характеристик законов распределения a) Проверив условие нормировки, для заданного закона распределения наблюдаемой СВ Х найти точечные оценки неизвестных параметров по методу максимального правдоподобия и методу моментов на основе повторной выборки объема п,

Для выборки, сформированной в задании 3.1, вычислите все описанные в разд. 3.2 выборочные характеристики.

Порядок выполнения задания

1.Прочтите сохраненный ранее файл, содержащий выборку.

2.Вычислите максимальный и минимальный элементы и размах выборки.

3.Рассчитайте выборочное среднее.

4.Найдите медиану.

5.Вычислите выборочную дисперсию и стандартное отклонение.

6.Найдите выборочные моменты 3–го и 4–го порядков.

7.Вычислите выборочный эксцесс.

8.Определите коэффициент асимметрии.

ЗАДАНИЕ 6.3

Постройте для выборки, сформированной в задании 3.1, 95 %–ный "коридор" для функции распределения исследуемой случайной величины.

Порядок выполнения задания

1.Прочитайте файл, сохраненный при выполнении задания 3.1.

2.Определите статистику Колмогорова — функцию K(z) и постройте ее график.

3.Определите значение величины а.

4.Решите графически уравнение 1 K z .

5.Постройте "коридор" для теоретической функции распределения.

ЗАДАНИЕ 3.4

Сгенерируйте выборку объема п значений случайной величины с заданным непрерывным распределением и выполните полный предварительный ее анализ для числа интервалов группировки, равного целой части размаха и доверительной вероятности 1– . Постройте графики плотности вероятностей и функции распределения и сравните их с полученными графикам" соответствующих выборочных функций.

Порядок выполнения задания

1.Установите в меню Math режим Optimization.

2.Присвойте переменной n значение, равное 100.

3.Постройте для заданного распределения графики плотности вероятностей и функции распределения.

4.Найдите математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение, медиану, моменты 3 –го и 4–го порядка, асимметрию и эксцесс заданного распределения (см. гл. 6).

5.Сгенерируйте выборку объема n значений случайной величины, имеющей заданное распределение.

6.Определите как функции переменной п и найдите выборочные значения среднего, среднеквадратичного отклонения, моментов 3– и 4–го порядка, асимметрии и эксцесса.

7.Постройте гистограмму, полигон частот, график накопленных относительных частот.

8.Постройте 95%–ный "коридор" для теоретической функции распределения и изобразите на этом же графике функцию заданного в условии распределения вероятностей.

9.Сравните вычисленные теоретические и выборочные значения параметров. 10. Выполните вычисления пп. 4 –7 для n = 150, 200, 300, 500.

ЗАДАНИЕ 3.5

Найдите состоятельные несмещенные оценки математического ожидания M и дисперсии D случайной величины по приведенным в задании выборочным значениям x1, x2 ,..., xn .

Порядок выполнения задания

1.Прочитайте с диска файл, содержащий выборочные значения, или введите заданную выборку с клавиатуры.

2.Вычислите точечные оценки M и D .

ЗАДАНИЕ 3.6

Смоделируйте несколько выборок значений случайной величины, имеющей биномиальное распределение с заданным значением параметра р. Вычислите для каждой выборки оценку параметра р и сравните с заданным значением. Представьте результаты вычислений графически.

Порядок выполнения задания

Используя функцию rbinom(1, n, p), опишите и сформируйте последовательность значений случайной величины, имеющей распределение Бернулли с заданными p и n

для n = 10, 20,..., 100

ЗАДАНИЕ 3.7

Смоделируйте несколько выборок разного объема значений случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке [0, ] для значения = N/2 (N –

номер варианта), и найдите оценки ˆ 1 и ˆ 3 параметра . Постройте график

зависимости ˆ 1 и ˆ 3 от объема выборки.

Порядок выполнения задания

1.Используя функцию runif(n,0,N/2), опишите и сформируйте последовательность п значений случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке

[0, N/2].

2.Вычислите для каждого значения n точечные оценки ˆ 1 и ˆ 3 параметра .

3.Постройте график зависимости величин ˆ 1 и ˆ 3 от объема выборки.

ЗАДАНИЕ 3.8

Смоделируйте несколько выборок объема n значений случайной величины ξ, имеющей распределение Пуассона с параметром λ = 0.1N, N — номер варианта. Для одной выборки постройте график функции правдоподобия. Найдите оценку максимального правдоподобия параметра λ как функцию объема выборки. Выполните вычисления для n = 10N, 20N, …50N при N 15 и для n = N, 2N, …10N при N > 15. Изобразите на графике зависимость оценки от объема выборки. Сравните полученные оценки с заданным значением параметра.

Порядок выполнения задания

1.Смоделируйте выборку значений случайной, величины имеющей распределение Пуассона с заданным значением параметра λ.

2.Определите логарифм функции максимального правдоподобия и изобразите его график.

3.Смоделируйте несколько выборок разного объема значений случайной величины, имеющей распределение Пуассона с заданным значением параметра λ.

4.Вычислите оценку максимального правдоподобия параметра λ как функцию объема выборки.

5.Изобразите на графике зависимость оценки максимального правдоподобия от объема выборки.

ЗАДАНИЕ 3.9

Смоделируйте несколько выборок объема n значений случайной величины ξ, имеющей показательное распределение с параметром λ = 0.1N, где N – номер варианта. Для одной выборки постройте график функции правдоподобия. Найдите оценку максимального правдоподобия параметра λ как функцию объема выборки. Выполните вычисления для n = 10N, 20N, …, 50N при N 15 и для n = N, 2N, …10N при N > 15. Изобразите на графике зависимость оценки от объема выборки. Сравните полученные оценки с заданным значением параметра.

Порядок выполнения задания

1. Смоделируйте выборку значений случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение с заданным значением параметра λ.

2.Найти логарифм функции максимального правдоподобия и изобразите его график.

3.Смоделируйте несколько выборок разного объема значений случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение с заданным значением параметра λ.

4.Вычислите оценку максимального правдоподобия параметра λ как функцию объема выборки.

5.Изобразите на графике зависимость оценки максимального правдоподобия от объема выборки.

ЗАДАНИЕ 3.10

Смоделируйте выборку объема п = 200 значений случайной величины ξ, имеющей распределение Лапласа с указанными параметрами θ1 и θ2.Найдите оценки максимального правдоподобия параметров θ1 и θ2.