TR_1_4_Proizvodnye

8. Написать уравнение касательной

к эллипсу x2 4y2

16

в точке, лежащей в первой

четверти, в которой делится пополам отрезок касательной, отсеченный осями координат.

9. Провести нормаль к графику функции y x2 4x параллельно прямой

x 2y 4 0 .

10. Составить уравнения касательных к гиперболе

y

x2 2,

перпендикулярных к

3,5

прямой 2x 4y 3 0.

11. В каких точках кривой

y

1

x3

1

x2 касательные параллельны оси абсцисс? Написать

уравнение этих касательных.

3

2

12. На кривой y

ln x

найти точку,

в которой касательная параллельна оси абсцисс. Найти

x

уравнение этой касательной.

13. Найти точку, в которой

касательная к кривой

y ln x 1 перпендикулярна

прямой

x y 3 0. Написать уравнение этой касательной и нормали.

14. Найти точку, в которой

касательная к кривой

y 4x x2

перпендикулярна к

прямой

x 2y 6 0. Написать уравнение этой касательной и нормали.

17. Написать уравнение касательной к гиперболе y

x 2

в точке пресечения её с осью

x 4

18. Написать уравнение касательной к гиперболе y

x 9

в точке пересечения её с осью

x 3

20.

В какой точке касательная к кривой

y 4 x2

параллельна хорде, стягивающей точки

A( 2;0) и B(1;3)?

21.

Найти точку, в которой касательная

к кривой

y x2 4x 3 параллельна

к

прямой

2x y 1 0 . Написать уравнение этой касательной и нормали.

22.

Написать уравнение касательной к гиперболе y

x 1

в точке пересечения её с осью

x 2

абсцисс. Есть ли на гиперболе другие точки касательной?

23. Под каким углом пересекаются кривые x2 y2 5

и y2

4x.

24.

Написать уравнение касательных к

окружности x

2 y2 4x 4y 3 0

в

точках

25. В какой точке

касательная к

параболе y x2 параллельна хорде, стягивающей точки

A( 1;1) и B(3;9) ?

x

26. Найти точку,

в которой

касательные кривой

y e 2 перпендикулярны к прямой

2x y 4 0. Написать уравнение этой касательной и нормали.

27. Докажите, что уравнение x3 3x q 0 имеет только один действительный корень.

28. Составить уравнение касательной к параболе y x2

6x 6 , перпендикулярной к прямой,

соединяющей начало координат с вершиной параболы.

1

ln(1 x) tq

x

a) lim (1 cosx)ctq x;

a)

lim x (ex

1)

;

x 0

x

a)

lim

2

;

1

б)

lim ( 2x)cos x.

11

21

x 1 0

ctq x

x

2

x

б)

lim (1 ctqx)secx.

2

б)

lim

arctqx

x

x

2

a)

lim

lnx ln(1 x)

a) lim

ln(sin2x)

;

a) lim

3tq4x 12tqx

;

x 1 0

x 0 ln(sin3x)

2

б) lim (tqx)tqx

12

1

22

x 0 3sin4x 12sinx

2

б) lim(ctqx)sin x

arccos x)x

x

б) lim(

x 0

4

x 0

a) lim

xctqx 1

;

a) lim

ax

xa

a 0;

а) lim

x(ex 1) 2(ex

1)

;

3

x 0

x

2

13

x a (x a)2

23

x 0

x3

1

б) lim (tqx)tq2x

1

б)limx1 x

x

б) lim(cos x)sin2 x .

x 1

4

x 0

;

a) lim

2arctqx

'

ln x

a) lim (sin x)

x

a) lim

;

1

4

x 0

14

x

ln(1

)

24

x 0 1 2lnsin x

б) lim

1

1

x

3

.

б) lim

(cos2x)x

2

б)

(lnx) x.

ex

lim

x 0 x

1

x 1 0

x 0

1

a)lim

1 cos(x2)

;

a) lim

arcctqx

;

a) lim(ctqx

);

x

ln(1

1

)

x2 sin(x2)

5

x

15

x 0

25

x 0

1

1

x

б)

lim

(ln

)

x

.

x

б) lim (sin2x)

tq2x

б) lim (e

x)x .

x

x 0

x

x 0

4

a)

lim

ln x ln(1 x);

x

1

a) lim 1 e2x ctgx

a)lim

;

6

x 1 0

16

x 1 x 1

lnx

26

x 0

б)

lim

(sin x)tqx

1

1

x

2

б) lim(x 1)

x.

б) lim (

arccosx)x.

2

x 0

x 0

2arctqx

1

x arctgx

a) lim

tqx

a)lim

;

;

a) lim

;

3

x

1

2sin2

x 1

x 0

x

ln

1

x

7

x

17

4

27

б) lim (e2x x)

1

1

1

x

.

б)lim x

1 x

б) lim (x 2x)

x

.

x 0

x 1

x

;

1

x

a) lim(arcsin ctqx);

a)

lim (cosx)

x 2

a)

lim

(ln

)

;

x 0

8

x 0

x

18

2

28

x

2

б) lim((1 cos x) ctqx).

б) lim(tqx)

x2

1

1

x 0

б)lim

.

1 x

x

x 0

x 1

2

2

a) lim

arcsin2x 2arcsinx

;

a)lim ( 2arctqx)lnx ;

a) lim

tqx2

1

x3

x

;

2 x

x 0

x

2sin

1

9

б) lim (tqx)tq2x.

19

x

tq

x

29

2

2