Частные производные второго порядка. Первый и второй дифференциалы. Локальный экстремум.
Условный экстремум.
Лекция 17
Производные второго порядка функции нескольких
переменных
Пусть• для функции в каждой точке некоторой области
существуют первые частные производные , , которые в свою очередь дифференцируемы. Тогда определены производные второго порядка:
=- вторая производная по x при условии
=- вторая производная по y при условии
=- смешанная производная при условии
=- смешанная производная при условии
Теорема. Если смешанные производные существуют в окрестности некоторой точки и непрерывны в самой точке , то они равны = .
Пример: |
, , = |
= + |
; = |
Производные второго порядка функции нескольких
переменных. Дифференциал 2го порядка
Для• функции определены производные:
= |
при |
= |
при |
= при ; = при |
= |
при |
; = |
при |
|
Дифференциалом второго порядка называют дифференциал от дифференциала первого порядка :
+ |
|
|
+ |
+ 2 |
+ |
+ 2 |
+ 2 |
|
Пример: |
для функции в точке |
|
Формула Тейлора для функции нескольких переменных
•
Заменяя дифференциалы независимых переменных их приращениями : , , получаем
выражения для дифференциалов:
+
+
+ 2 + 2 + + 2
Пример: разложение по формуле Тейлора с точностью до бесконечно малых второго порядка функции в точке
=
Локальные экстремумы функции нескольких переменных
Пусть• функция определена в точке и окрестности этой точки, непрерывна в точке
. Если приращение функции сохраняет знак в окрестности точки, то точка является точкой локального экстремума:
минимум |
максимум |
Необходимые условия существования экстремума: = 0 = 0
= 0 |
= 0 |
= 0
Решение системы – точка называется критической или стационарной точкой, в которой может существовать экстремум
Сведения о квадратичных формах
Квадратичной• формой порядка называют функцию:
,
Квадратичной формой порядка называют функцию:
Каждой квадратичной форме ставится в соответствие матрица:
,
Критерий Сильверста. 1) Для положительной определенной необходимо и достаточно, чтобы были положительны все главные диагональные миноры матрицы 2) для отрицательной определенности миноры должны менять знаки в порядке « »
,
Достаточные условия существования экстремума
Характер• экстремума в стационарной точке определяется знаком приращения функции в окрестности точки или знаком второго дифференциала …:
- точка минимума 
- точка максимума
По своей структуре второй дифференциал является квадратичной формой относительно Поэтому знак можно определять по критерию Сильверста
, ,
Пример исследования на экстремум
Для• функции находим область определения ( и записываем необходимые условия существования экстремума:
= =
= 
Решением системы являются стационарные точки .
Находим вторые производные и составляем матрицу для проверки достаточных условий в каждой точке
В точке выполняются условия существования минимума :
= = = В точке выполняются условия максимума: = = В других точках условия экстремума не выполняются.
Условный экстремум. Функция Лагранжа
Рассматриваем• функцию где переменные связаны дополнительным условием связи φ. Точка называется точкой условного экстремума, если при выполнении условий связи приращение функции сохраняет знак. Существуют методы решения этой задачи : 1) метод исключений, когда используя условие связи, задача сводится к исследованию на экстремум функции одной переменной , 2) метод множителей Лагранжа.
ловия существования экстремума =0. По правилу дифференцирования сложной
функции := = 0 |
= |
Последнее условие равносильно условию коллинеарности векторов , которое можно записать в виде:
=, = . Таким образом задача сводится к задаче на обычный экстремум, но для функции Лагранжа
при выполнении условий связи φ (x,y) = 0
Число λ - множитель Лагранжа. Достаточные условия проверяем по знаку