Ряды Фурье. Преобразования Фурье
Лекция 12
Гармонические колебания (гармоники)
•
– номер гармоники амплитуда - й гармоники
начальная фаза - й гармоники минимальный период гармоники общий период гармоник циклическая частота - й гармоники
Сложное периодическое движение можно представить как сумму гармонических колебаний разной частоты и амплитуды:
Основная система тригонометрических функций
..• на интервале является ортогональной:
Случай
Случай ;
Тригонометрический ряд Фурье
Пусть• функция имеет свойства:
1.и определены на интервале
2.Функция является периодической с периодом
3.На симметричном отрезке функция является непрерывной или кусочно гладкой (сама функция и ее производная имеют на этом отрезке конечное число точек разрыва 1 рода)
Тогда функция может быть представлена тригонометрическим рядом Фурье:
коэффициенты которого называют коэффициентами Фурье
Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Для• четной функции коэффициент = 0 как интеграл от нечетной функции на симметричном интервале:
Для нечетной функции коэффициенты как интегралы от нечетных функций на симметричном интервале:
;
Достаточные условия сходимости ряда Фурье
Ряд• Фурье кусочно гладкой на отрезке функции сходится в каждой точке непрерывности к самой функции: сумма ряда а в точках разрыва .
Пример.
|
|
|
|
x |
Периодическая кусочно гладкая функция общего вида задана на симметричном |
||||
l |
0 |
l |
2l |
3l |
интервале и представляется рядом Фурье общего вида: |
||||
.
C учетом того, что |
и |
1 |
3 |
5 |
k |
Ряд Фурье в комплексной форме
Выражаем• в формуле ряда Фурье функции и через экспоненты с мнимым показателем, получаем:
=
= = , где
.
Спектральная плотность Амплитудный спектр ; фазовый спектр
Преобразования Фурье. Интеграл Фурье.
Свойства• функции :
иопределены на интервале
2.Функция является непрерывной или кусочно гладкой
3.Функция не является периодической
4.Функция абсолютно интегрируема: (сходится)
Представляя функцию на любом конечном интервале рядом Фурье ( в комплексной форме) и переходя к пределу при условии:
, получаем выражение функции через несобственный интеграл –
интеграл Фурье:
.
прямое преобразование Фурье (спектральная плотность) обратное преобразование Фурье
Косинуси синуспреобразования Фурье
Спектральная• плотность = , где
Для четной функции мнимая часть =0
(как интеграл от нечетной функции на симметричном интервале). Поэтому спектральная плотность
-косинус-преобразование Фурье. Для нечетной функции
-синус-преобразование Фурье