Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МАТЕМАТИКА ZIP File / Лек бак 2 семестр / Лекция 10. Преобразования Лапласа.pptx
Скачиваний:
134
Добавлен:
10.05.2015
Размер:
1.23 Mб
Скачать

Преобразования Лапласа. Свойства. Восстановление функции по изображению

Лекция 10

Оригинал и изображение по Лапласу

Функцией–оригиналом называют комплексную функцию действительного аргумента, которая обладает свойствами:

1. для всех ; 2) интегрируема на любом конечном интервале; 3. при возрастает не быстрее некоторой показательной функции: существуют такие числа

что для всех справедливо .

Простейшая функция- оригинал единичная функция Хевисайда (ступенчатая функция) при

и при :

1

 

При умножении на любая функция, удовлетворяющая условиям 2 и 3, будет удовлетворять первому условию. Например,

для и = 0 для Производная при и равна нулю при

(импульсная функция Дирака):

Оригинал и изображение по Лапласу

ПреобразованиемЛапласа для функции-оригинала называют несобственный интеграл .

Соответствие между функцией – оригиналом и ее изображением обозначают:

Здесь –комплексная переменная. Теорема: для всякого оригинала изображение по Лапласу определено при условии и является в этой области аналитической функцией:

при равномерно относительно аргумента и имеет конечную производную.

Примеры: 1) ; 2)

3)

Свойства преобразований Лапласа

1. Линейность следует из свойств интеграла:

Примеры: 1)

;

2) =

2. Подобие:

3. Дифференцирование оригинала сводится к умножению изображения на

c учетом начальных условий:

=

Свойства преобразований Лапласа

4.Дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на :

Пример. Доказали ранее

. Тогда

.

5.Интегрирование оригинала сводится к делению изображения

на :

6.Интегрирование изображения:

Пример.

Свойства преобразований Лапласа

7• . Смещение изображения. Умножение оригинала на экспоненту равносильно смещению изображения :

Пример.

8. Запаздывание оригинала. Запаздывание оригинала на равносильно умножению изображения на экспоненту:

)

 

 

Пример.

t

 

9. Умножение изображений (изображение свертки): =

.

=

Пример:

Восстановление функции –оригинала по изображению (обратное преобразование Лапласа)

Пустьфункция-оригинал непрерывна и имеет в этой точке непрерывные конечные производные: Тогда

Этот интеграл можно непосредственно вычислить, используя вычеты: =.

Непосредственно из этой формулы следуют теоремы разложения ,

которые затем используют на практике для восстановления оригинала.

Кроме того, оригинал может быть восстановлен по таблице изображений непосредственно или после тождественных преобразований. Примеры: ;

Теоремы разложения

Перваятеорема разложения. Пусть изображение Лапласа является аналитической функцией в окрестности :

. Тогда оригиналом является функция

.

Пример.

Вторая теорема разложения. Если изображение Лапласа является правильной дробно-рациональной функцией

то оригиналом является функция

Вычеты берутся по всем особым точкам

Примеры восстановления оригинала по

изображению

Пример1.

=

=

Пример 2. Пример 3.

= +