- •Преобразования Лапласа. Свойства. Восстановление функции по изображению
- •Оригинал и изображение по Лапласу
- •Оригинал и изображение по Лапласу
- •Свойства преобразований Лапласа
- •Свойства преобразований Лапласа
- •Свойства преобразований Лапласа
- •Восстановление функции –оригинала по изображению (обратное преобразование Лапласа)
- •Теоремы разложения
- •Примеры восстановления оригинала по
Преобразования Лапласа. Свойства. Восстановление функции по изображению
Лекция 10
Оригинал и изображение по Лапласу
Функцией• –оригиналом называют комплексную функцию действительного аргумента, которая обладает свойствами:
1. для всех ; 2) интегрируема на любом конечном интервале; 3. при возрастает не быстрее некоторой показательной функции: существуют такие числа
что для всех справедливо .
Простейшая функция- оригинал единичная функция Хевисайда (ступенчатая функция) при
и при : |
1 |
|
При умножении на любая функция, удовлетворяющая условиям 2 и 3, будет удовлетворять первому условию. Например,
для и = 0 для Производная при и равна нулю при
(импульсная функция Дирака):
Оригинал и изображение по Лапласу
Преобразованием• Лапласа для функции-оригинала называют несобственный интеграл .
Соответствие между функцией – оригиналом и ее изображением обозначают:
Здесь –комплексная переменная. Теорема: для всякого оригинала изображение по Лапласу определено при условии и является в этой области аналитической функцией:
при равномерно относительно аргумента и имеет конечную производную.
Примеры: 1) ; 2)
3)
Свойства преобразований Лапласа
1• . Линейность следует из свойств интеграла:
Примеры: 1) |
; |
2) =
2. Подобие:
3. Дифференцирование оригинала сводится к умножению изображения на
c учетом начальных условий:
=
Свойства преобразований Лапласа
4• .Дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на :
Пример. Доказали ранее |
. Тогда |
. |
5.Интегрирование оригинала сводится к делению изображения
на :
6.Интегрирование изображения:
Пример.
Свойства преобразований Лапласа
7• . Смещение изображения. Умножение оригинала на экспоненту равносильно смещению изображения :
Пример.
8. Запаздывание оригинала. Запаздывание оригинала на равносильно умножению изображения на экспоненту:
) |
|
|
Пример. |
t |
|
9. Умножение изображений (изображение свертки): = |
. |
=
Пример:
Восстановление функции –оригинала по изображению (обратное преобразование Лапласа)
Пусть• функция-оригинал непрерывна и имеет в этой точке непрерывные конечные производные: Тогда
Этот интеграл можно непосредственно вычислить, используя вычеты: =.
Непосредственно из этой формулы следуют теоремы разложения ,
которые затем используют на практике для восстановления оригинала.
Кроме того, оригинал может быть восстановлен по таблице изображений непосредственно или после тождественных преобразований. Примеры: ;
Теоремы разложения
Первая• теорема разложения. Пусть изображение Лапласа является аналитической функцией в окрестности :
. Тогда оригиналом является функция
.
Пример.
Вторая теорема разложения. Если изображение Лапласа является правильной дробно-рациональной функцией
то оригиналом является функция
Вычеты берутся по всем особым точкам
Примеры восстановления оригинала по
изображению
Пример• 1.
=
=
Пример 2. Пример 3.
= +