Применение преобразований Лапласа к решению линейных дифференциальных уравнений
Лекция 11
Применение преобразований Лапласа к решению линейных дифференциальных уравнений
Задача• Коши для линейного уравнения + состоит в нахождении
частного решения по заданным начальным условиям: ,…….
Считая искомую функцию и правую часть уравнения функциями- оригиналами, переходим к изображениям Лапласа:
;
……и получаем операторное уравнение относительно
. Возвращаясь к оригиналу, получаем окончательное частное решение y(t)
Примеры решений дифференциальных уравнений
Пример• 1. Найти частное решение дифференциального уравнения
Шаг 1. Переходим к изображениям:
Шаг 2
Шаг 3. Возвращаемся к оригиналу :
=
+
Примеры решений дифференциальных уравнений
Пример• 2.
Шаг 1. Шаг 2.
Шаг 3. + +
+
Примеры решений дифференциальных уравнений
Пример• 3.
x(t) |
|
|
t |
1 |
2 |
Изображение правой части можно найти интегрированием или с использованием ступенчатой функции
Операторное уравнение имеет вид |
, а его |
решение . Для возвращения к оригиналу используем теорему запаздывания. Поэтому находим оригинал для выражения
а оригиналы для других слагаемых находим по теореме запаздывания:
Системы линейных дифференциальных уравнений
•; .
При переходе к изображениям: = ( .
Пример. ; 1;
Запись решений дифференциальных уравнений при помощи свертки. Формула Грина
• |
При переходе к изображениям при нулевых начальных условиях |
решение линейного дифференциального уравнения принимает вид: |
, где - передаточная функция.
Функцией Грина (импульсной переходной характеристикой)
называют отклик системы на импульсное входное воздействие
Тогда согласно изображению свертки решение имеет вид |
. |
Пример. Для уравнения находим передаточную функцию:
Тогда при любом решение
Запись дифференциальных уравнений при помощи свертки.
Формула Дюамеля.
Переходной• характеристикой называют реакцию системы на постоянное входное воздействие 
)η(t) , если правая часть уравнения непрерывна на интервале
)η(t) ,
если правая часть уравнения является кусочно – непрерывной функцией:
Запись дифференциальных уравнений при помощи свертки.
Формула Дюамеля.
;•
)
Производная = и , что можно выразить формулой
или графиком 1 . -1
Находим переходную характеристику :
Решение:
=