Дифференцируемая функция.
Производная. Дифференциал.
Лекция 2
1
Дифференцируемая функция
• |
M |
|
+
o(∆x)
dy
0 |
+ ∆x |
x |
2
Дифференцируемая функция
•= - приращение аргумента
•– приращение функции
• |
= |
- |
угловой коэффициент секущей |
• |
Если то , |
||
• |
= |
= |
= – угловой коэффициент касательной |
(производная )
•Секущая касательная:
•= k
3
Дифференцируемая функция
•Функция , определенная в окрестности точки , называется дифференцируемой в этой точке, если
приращение функции может быть представлено в виде:
• 0 при
•= =
•= =
• Коэффициент - |
|
0 |
производная в точкеy x |
|
4
Дифференцируемая функция:
y y x0 x o( x)
1•. Функция имеет в точке конечную производную
2.Главную, линейную по , часть
приращения функции называют дифференциалом
функции :
dy y (x0 ) dx y dydx
3. В окрестности точки приращение функции можно приближенно заменить дифференциалом а функцию заменить на касательную (формула приближенных вычислений при помощи
дифференциала):
y(x0 x) y(x0 ) y (x0 ) x
y(x0 x) y(x0 ) y (x0 )(x x0 )5
Таблица производных
Как производные |
Функция |
попадают в таблицу |
Производная |
=• =
•=
•= = = = .
•Для обратной функции :
•= = =
•
•
•
•
•
•
•
•
•
6
Производные арифметических операций
f (x) g(x) f (x) g (x)
Cf (x) Cf (x)
f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g (x)
|
f (x) |
|
|
f (x)g(x) f (x)g (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g2 (x) |
|||
|
g(x) |
|
|
7
Производная сложной функции
•
•промежуточный аргумент
•Функции дифференцируемы:
• |
, |
, |
• |
|
|
•
Пример: ,
=
8
Логарифмическое дифференцирование
•=
•=
•=
•Пример: =
• |
= |
• |
= |
9