Первообразная функция. Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования
Лекция 3
Первообразная и неопределенный интеграл
•Функция называется первообразной функции на некотором интервале, если непрерывна на этом интервале и дифференцируема в каждой его внутренней точке,
причем =
•Первообразная существует для каждой непрерывной функции
• Если и - две первообразные функции , то они могут отличаться на постоянную величину
•= +
•Множество всех первообразных функций называется
неопределенным интегралом и обозначается
•+
Свойства неопределенного интеграла
1• . Если функция имеет первообразную и то функция также имеет первообразную и верно равенство
2. Если функции и имеют первообразные на некотором интервале, то функция
+ также имеет первообразную на этом интервале, причем
3. =, |
= |
4. ,
|
Таблица основных неопределенных интегралов |
||
• |
Таблица |
|
Пример |
, |
• |
|
|
• |
• |
+ |
|
• |
+ |
• |
+ |
•+
•+
•=
• = |
• |
- = |
• |
|
•и далее смотри таблицу в распечатках для аудиторных занятий или в учебнике
4
Основные методы интегрирования :замена переменной табличный интеграл
• |
Примеры: |
• |
= == = + |
•= =+
• = = = |
= + |
Основные методы интегрирования: подстановка преобразования табличный интеграл
•= = =
•= =
•= +
•=
•= +
•+
Интегрирование по частям
•
•
•=
•=
•=
Стандартный случай 1 |
Стандартный случай 2 |
•
=
=
=
=
Интегрирование тригонометрических и
гиперболических функций
•Одна из степеней нечетная положительная:
•
•=
•= и т.д.
•Степени только четные положительные: понижаем степень по формулам двойного угла
•
•Сумма степеней четная отрицательная: замена
•Сумма степеней нечетная отрицательная – специальные приемы
Интегрирование
•1. Если дробь неправильная то в подынтегральной функции выделяем целую часть и остаток – правильную дробь ()
•2. Правильную дробь представляют в виде суммы простейших
дробей , , при условии
•
•3. =
•разбиваем на сумму двух интегралов