Matematika_7_8_k_r
.pdf
56.x2 y 2 xy .
57.x y y ln y .
x
58.x3 y x2 y 1 0 .
59.y y x2 . x y
60.1 x2 y 2xy x3 .
61-90. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
61. |
y 9y cos 3x, |
|
y 0 |
2, |
|
y 0 3 . |
||||||||||
62. |
y 6y |
|
9y 2e3x , |
y 0 |
1, |
y 0 0 . |
||||||||||
63. |
y 2y |
y xex , |
y 0 |
5, |
y 0 3 . |
|||||||||||
64. |
y y |
x2 5, |
y 0 0, |
y 0 2 . |
||||||||||||
65. |
y 4y |
29y x2 x, |
y 0 5, |
y 0 0 . |
||||||||||||
66. |
y 3y |
2y 3e x , |
y 0 1, |
y |
0 4 . |
|||||||||||
67. |
y 2y |
x2 3x 4, |
y 0 1, |
y 0 4 . |
||||||||||||
68. |
y y |
6y 2e3x , |
y 0 3, |
y 0 1 . |
||||||||||||
69. |
y y 2y x 2 ex , |
y 0 3, |
y 0 0 . |
|||||||||||||
70. |
y y 6cos 2x sin 2x, |
y 1, |
y 1 . |
|||||||||||||
71. |
y 4y 13y sin 3x, |
y 0 |
5 |
, |
y 0 |
1 |
. |
|||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
7 |
|
||||
72. |
2y 5y 30x2 |
4, |
y 0 4, |
y 0 |
5 |
. |
||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
73. |
y y e |
2x , y 0 3, |
|
y 0 1 . |
||||||||||||
74. |
y 2y |
|
5y x2 3x, |
y 0 4, |
y 0 2 . |
|||||||||||
75. |
y 3y |
|
3e3x , |
|
y 0 1, |
y 0 6 . |
||||||||||
76. |
y 4y |
|
4y 15e3x , |
y 0 1, |
y 0 3 . |
|||||||||||
77. |
y y |
2y 2ex , |
y 0 4, |
y 0 1 . |
||||||||||||
78. |
y 5y 6y 3e x , |
|
y 0 4, |
y 0 0 . |
|||||||
79. |
4y 4y y x2 x 1, |
y 0 5, |
y 0 0,5 . |
||||||||
80. |
y 2y 2y 2e2x , |
|
y 3, |
y 4 . |
|||||||
81. |
y 2y 3y 8e3x , |
|
y 0 1, |
|
y 0 2 . |
||||||
82. |
y 4y 4x2 x 8, |
y 0 3, |
y 0 1. |
||||||||
83. |
y y 6ex , |
y 0 1, |
|
y 0 3 . |
|
||||||
84. |
y 5y 6y 10e2x , |
y 0 5, |
y 0 2 . |
||||||||
85. |
y 8y 7y 6xex , |
|
y 0 1, |
|
y 0 7 . |
||||||
86. |
y 6y 13y x2 x, |
|
y 0 2, |
y 0 0 . |
|||||||
87. |
y y 8e3x , |
y 0 3, |
|
|
y 0 2. |
||||||
88. |
y 2y 6x2 |
3, |
y 0 3, |
y 0 |
4 . |
||||||
89. |
y 4y x2 x 1, |
|
|
|
|
|
|
y 4 . |
|||
|
y |
|
|
|
1, |
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
90. |
y 6y 10y 2e 3x , |
|
y 0 4, |
y 0 1. |
|||||||
91-120. Решить геометрическую задачу с помощью дифференциального уравнения
91.Найти уравнение кривой, для которой отрезок касательной между точкой касания и осью Ox делится пополам в точке пересечения с осью Oy . Кривая проходит через точку M0 1,1 .
92.Найти семейство кривых каждая из которых обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой точке M кривой вдвое больше углового коэффициента радиусавектора точки M . Записать уравнение кривой, проходящей через точку M0 2,3 .
93.Кривая обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной на оси Oy , равен длине радиуса-вектора точки каса-
ния. Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 1,1 . 94. Кривая обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной на оси Ox , проведённой в любой точке кривой, равен
квадрату абсциссы точки касания. Найти уравнение кривой, проходящей через точку
95. Кривая обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной на оси Oy , равен абсциссе точки касания. Найти уравнение кривой, проходящей через точку
96.Найти линии, у которых длина нормали (отрезок её от точки линии до оси абсцисс) есть постоянная величина a . Написать уравнение линии, проходящей через точку M0 a,0 .
97.Найти линии, у которых отрезок, отсекаемый на оси Oy каса-
тельной в произвольной точке, пропорционален квадрату ординаты точки касания. Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 1,1 .
98. Найти линии, обладающие тем свойством, что отрезок касательной в любой её точке, заключённый между осью Ox и прямой y x делится точкой касания пополам. Написать уравнение кривой, проходящей через точку M0 1,1 .
99. Найти линию, у которой любая касательная пересекается с осью Oy в точке, одинаково удалённой от точки касания и от начала координат. Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 1,3 .
100. Найти линии, все касательные к которым проходят через данную точку x0 , y0 . Написать уравнение линии, проходящей через точку M0 3,2 .
101. Написать уравнение линии, проходящей через точку M0 5,0 , у которой длина нормали (отрезок её от точки линии до оси абсцисс) есть постоянная величина, равная 5.
102. Найти уравнение линии, проходящей через точку M0 1,2 и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси Oy касательной в произвольной точке, пропорционален квадрату ординаты точки касания. Коэффициент пропорциональности 3.
103. Найти линию, проходящую через точку M0 1,2 и обладающую тем свойством, что отрезок касательной в любой её точке, заключённый между осью Ox и прямой y x делится точкой касания пополам.
104. Найти уравнение линии, у которой любая касательная пересекается с осью ординат в точке, одинаково удалённой от точки касания и от начала координат, причём сама линия проходит через точку M0 1,0 .
105. Найти линию, у которой отрезок касательной от точки касания до точки пересечения её с осью абсцисс равен длине ра- диуса-вектора точки касания. Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 1,3 .
106. Составить уравнение кривой, проходящей через точку M0 1,1 и обладающую тем свойством, что проекция отрезка
касательной, заключённого между точкой касания и осью Ox , обратно пропорциональна ординате точки касания (коэффициент пропорциональности равен 1).
107. Составить уравнение линии, для которой отрезок любой её касательной между точкой касания и осью Ox делится пополам в точке пересечения с осью Oy . Написать уравнение кривой, проходящей через точку M0 1,2 .
108. Кривая обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси Ox касательной, проведённой в любой точке кривой, равен квадрату абсциссы точки касания. Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 4,2 .
109. Написать уравнение линии, проходящей через точку M0 1,1
и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси Oy касательной в произвольной точке, равен длине отрезка от точки касания до начала координат.
110.Найти уравнение линии, у которой проекция отрезка касательной от точки касания до оси Ox равна среднему арифметическому координат точки касания, причём сама линия проходит через точку M0 2,0 .
111.Кривая проходит через точку M0 3,4 и обладает тем свойст-
вом, что отрезок отсекаемый на оси ординат нормалью в любой точке кривой, равен расстоянию этой точки от начала координат. Найти уравнение этой кривой.
112. Найти кривую, для которой отрезок на оси ординат, отсекаемый любой её касательной равен абсциссе точки касания. Написать уравнение кривой, проходящей через точку M0 1,5 .
113. Написать уравнение линии, проходящей через точку
M0 |
|
1, |
3 |
и обладающей тем свойством, что отрезок любой ка- |
|
|
|
|
|||
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
сательной, заключённый между осями координат, делится в точке касания в отношении a:b 2:3 (считая от оси Oy ).
114. Написать уравнение линии, проходящей через точку и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси
Ox касательной в произвольной точке, равен кубу ординаты точки касания.
115. Кривая обладает тем свойством, что проекция на ось Ox отрезка касательной от точки касания до оси Ox равна разности ординаты и абсциссы точки касания. Найти уравнение кривой, проходящей через точку M0 4,1 .
116. Написать уравнение кривой, проходящей через точку M0 1,3 и обладающей тем свойством, что проекция на ось
Ox отрезка её касательной от точки касания до оси Ox вдвое меньше абсциссы точки касания.
117. Найти кривую, проходящую через точку M0 6,4 , у которой
проекция на ось Ox отрезка касательной от точки касания до оси Ox равна сумме координат точки касания.
118. Кривая обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси Ox касательной, проведённой в любой точке кривой, равен длине этой касательной от точки касания до оси Ox . Найти уравнение кривой, проходящей через точку
119. Написать уравнение кривой, проходящей через точку и обладающей тем свойством, что в любой её точке M
касательный вектор MN с концом на оси Oy имеет проекцию на ось Oy , равную 3.
120. Написать уравнение кривой, проходящей через точку M0 2,1 и обладающей тем свойством, что отрезок любой её ка-
сательной между точкой касания и осью Oy делится в точке пересечения с осью Ox в отношении 1:2 (считая от оси Oy ).
Список рекомендуемой литературы
1.Шнейдер В. Е., Слуцкий А. И., Шумов А.С. Краткий курс высшей математики. – М.: Высш. шк., 1978. – Т. 1. – 384 с.
2.Шнейдер В. Е., Слуцкий А. И., Шумов А. С. Краткий курс высшей математики. – М.: Высш. шк., 1978. – Т. 2. – 328 с.
3.Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа. – М.: Наука, 1971. – 652 с.
4.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.: Наука, 1965. – Т. 1. – 476 с.
5.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.: Наука, 1965. – Т. 2. – 575 с.
6.Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу. – М.: Высш. шк., 1966. – 460 с.
7.Данко П. Е., Попов А. А., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнения и задачах. – М.: Высш. шк., 1980. – Ч. 1. – 320 с.
8.Математика: Метод. указания для студентов-заочников по выполнению контрольных работ № 1, 2, 3 / Сост. В. М. Волков и др.; КузГТУ. – Кемерово, 2002. – 24 с.
9.Данко П. Е., Попов А. А., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнения и задачах. – М.: Высш. шк., 1980. – Ч. 2. – 365 с.
10.Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1966. – 870 с.
11.Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. – М.: Наука, 1980. – 976 с.
Составители Екатерина Анатольевна Волкова
Инна Алексеевна Ермакова Елена Валерьевна Прейс
МАТЕМАТИКА
Программа, контрольные работы № 7, 8 и методические указания по их выполнению для студентов заочной формы обучения инженерно-технических специальностей 2 курса
Печатается в авторской редакции
Подписано в печать 18.05.2007. Формат 60 84/16. Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Уч-изд. л. 2,4. Тираж 440 экз. Заказ ГУ КузГТУ.
650026, Кемерово, ул. Весенняя, 28. Типография ГУ КузГТУ.
650099, Кемерово, ул. Д. Бедного, 4 а.