Matematika_7_8_k_r
.pdfФедеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего и профессионального образования šКузбасский государственный технический университетŸ
Кафедра прикладной математики
МАТЕМАТИКА
Программа, контрольные работы № 7, 8 и методические указания по их выполнению для студентов заочной формы обучения инженерно-технических специальностей 2 курса
Составители Е. А. Волкова И. А. Ермакова Е. В. Прейс
Утверждены на заседании кафедры Протокол № 7 от 22.03.2007 Рекомендованы к печати учебно-методической комиссией специальности 230401 Протокол № 5 от 2.04.2007
Электронная копия находится в библиотеке главного корпуса ГУ КузГТУ
Кемерово 2007
Выбор номеров задач контрольных работ
|
0 |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
8 |
9 |
|
А,В,Д |
1 37 75 |
2 38 76 |
3 39 77 |
4 40 78 |
5 41 79 |
6 42 80 |
7 43 81 |
8 44 82 |
9 45 83 98 |
10 46 |
84 |
||||||
|
120 |
91 |
|
92 |
|
93 |
|
94 |
|
95 |
|
96 |
|
97 |
|
99 |
|
Б,Е,З |
11 47 85 |
12 48 |
86 |
13 49 |
87 |
14 50 |
88 |
15 51 |
89 |
16 52 |
90 |
17 53 |
91 |
18 54 92 |
19 55 93 |
20 56 |
64 |
|
100 |
101 |
102 |
103 |
104 |
105 |
106 |
107 |
108 |
109 |
|||||||
Г,Ж, |
21 57 65 |
22 58 |
66 |
23 59 |
67 |
24 30 |
68 |
25 31 |
69 |
26 32 |
70 |
27 33 |
71 |
28 34 72 |
29 35 73 |
30 36 |
74 |
И,Л |
110 |
111 |
112 |
113 |
114 |
115 |
116 |
117 |
118 |
119 |
|||||||
К |
1 38 75 |
2 39 76 |
3 40 77 |
4 41 78 |
5 42 79 |
6 43 80 |
7 44 81 |
8 45 82 |
9 46 83 98 |
10 47 |
84 |
||||||
|
120 |
91 |
|
92 |
|
93 |
|
94 |
|
95 |
|
96 |
|
97 |
|
99 |
|
М,Н, |
11 49 85 |
12 48 |
86 |
13 50 |
87 |
14 51 |
88 |
15 52 |
89 |
16 53 |
90 |
17 54 |
61 |
18 55 62 |
19 56 63 |
20 57 |
64 |
О |
100 |
101 |
102 |
103 |
104 |
105 |
106 |
107 |
108 |
109 |
|||||||
П,Х,Ц |
21 58 65 |
22 59 |
66 |
23 60 |
67 |
24 60 |
68 |
25 39 |
69 |
26 31 |
70 |
27 32 |
71 |
28 33 72 |
29 34 73 |
30 35 |
74 |
,Ш |
110 |
117 |
112 |
113 |
114 |
115 |
116 |
117 |
118 |
119 |
|||||||
С,У,Ё, |
1 36 75 |
2 37 76 |
3 38 77 |
4 40 78 |
5 41 79 |
6 42 80 |
7 43 81 |
8 44 82 |
9 45 83 98 |
10 46 |
84 |
||||||
Ы,Й |
91 |
92 |
|
93 |
|
94 |
|
95 |
|
96 |
|
97 |
|
120 |
|
99 |
|
Р,Т,Ф |
21 57 65 |
22 58 |
66 |
23 59 |
67 |
24 60 |
68 |
25 36 |
69 |
26 31 |
70 |
27 32 |
71 |
28 33 72 |
29 34 73 |
30 35 |
74 |
|
110 |
111 |
112 |
113 |
114 |
115 |
116 |
117 |
118 |
119 |
|||||||
Ч,Щ,Э |
11 47 85 |
12 48 |
86 |
13 49 |
87 |
14 50 |
88 |
15 51 |
89 |
16 52 |
90 |
17 53 |
61 |
18 54 62 |
19 55 63 |
20 56 |
64 |
,Ю,Я |
100 |
101 |
102 |
103 |
104 |
105 |
106 |
107 |
108 |
109 |
Контрольные работы № 7, 8 составлены в соответствии с программой курса математики для студентов заочной формы обучения инженерно-технических специальностей. В составлении работ и методических указаний к ним принимали участие преподаватели: В. М. Волков, Е. А. Волкова, В. А. Гоголин, И. А. Ермакова, Е. В. Прейс, С. М. Швыдко.
Номера задач контрольных работ студент должен выбрать по таблице šВыбор номеров контрольных задачŸ следующим образом:
найти строку, соответствующую первой букве фамилии;
найти столбец, соответствующий последней цифре шифра;
на пересечении найденных строки и столбца взять номера задач контрольных работ № 7, 8.
Контрольные работы, выполненные не по своему варианту, возвращаются непроверенными.
ПРОГРАММА
курса šМатематикаŸ для инженерно-технических специальностей (III семестр)
1. Неопределённый интеграл
1.1.Первообразная (неопределённый интеграл), её свойства. Таблица интегралов.
1.2.Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям и подстановкой.
1.3.Использование таблиц (справочников) неопределённых интегралов.
2. Определённый интеграл
2.1.Задачи, приводящиеся к понятию определённого инте-
грала.
2.2.Определённый интеграл как предел интегральных сумм.
2.3.Основные свойства определённого интеграла.
2.4.Производная интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.
3. Криволинейные интегралы
3.1.Задачи, приводящиеся к криволинейным интегралам.
3.2.Определение криволинейных интегралов по длине дуги
ипо координатам, их основные свойства и вычисление.
3.3.Приложение интегралов к вычислению масс неоднородных линий и работы переменной силы.
4. Кратные интегралы 4.1.Задачи, приводящиеся к понятию двойного интеграла,
его определение и свойства.
4.2.Вычисление двойных интегралов в декартовых и полярных координатах.
4.3.Применение двойных интегралов для вычисления площадей, решения задач механики и физики.
5. Обыкновенные дифференциальные уравнения
5.1.Задачи, приводящиеся к дифференциальным уравнениям. Основные определения.
5.2.Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
5.3.Интегрирование простейших типов дифференциальных уравнений: с разделяющимися переменными, однородных и линейных.
5.4.Дифференциальные уравнения второго порядка. Задача Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.
5.5.Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
5.6.Применение дифференциальных уравнений для решения задач физики и механики.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ
Контрольная работа № 7
Для вычисления неопределённых интегралов № 1-30 необходимо проработать литературу: [1, гл.7, с. 285-312; 3, гл.5, с. 253286; 6, гл.4, с. 154-183; 7, гл.9, с. 225-286], где содержатся практические рекомендации по данной теме.
Для выполнения задания 1-30 (пункт а) нужно из таблицы интегралов выбрать такой, к которому можно свести данный интеграл.
Например, при вычислении
|
|
dx |
|
5x 2 |
5 |
dx |
|
|
|
3 |
|||||
|
|
|
|||||
3 5x 2 5 |
|||||||
|
|
|
|
|
используем табличный интеграл
undu un 1 c . n 1
Согласно этой формуле подводим под знак дифференциала основание степени. Так как d 5x 2 5dx , то умножим и разделим интеграл на 5, то есть
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
5 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5x 2 |
|
3 dx |
|
5x |
2 |
3 |
|
5dx |
|
5x |
2 |
|
3 d 5x 2 |
|||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|||||||||||||||||||||||||||
5x 2 5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
5x 2 |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
5x 2 |
|
|
|
|
c . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
c |
3 c |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
5 |
|
5 |
1 |
|
10 |
|
103 5x 2 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Интеграл |
x e3x 2 1dx |
сводится |
|
к |
|
табличному |
eudu eu c |
путём подведения под знак дифференциала показателя степени d 3x2 1 6xdx . Таким образом
x e3x |
2 |
1dx |
1 |
e3x |
2 |
1 |
6xdx |
1 |
e3x |
2 |
1d 3x2 |
1 |
1 |
|
e |
3x |
2 |
1 c . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
6 |
|
6 |
|
|||||||||||||||||||||
В примере |
3cosx dx |
используем |
формулу |
du |
ln |
|
u |
|
c , где |
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 sin x |
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
под знаком дифференциала находится знаменатель дроби. Так
как d 2 sin x cosxdx , то
3 |
cosxdx |
3 |
d 2 sin x |
3 ln |
|
2 sin x |
|
c . |
|
|
|
||||||||
2 sin x |
2 sin x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
При вычислении интегралов в пункте б) применяются методы подстановки и интегрирования по частям, то есть по формулеudv uv vdu мы от исходного интеграла udv переходим к более простому vdu .
Пример. x arctgxdx arctgx xdx , то есть возьмём
|
dx |
|
|
|
|
|
u arctgx du |
|
|
, |
|
|
|
1 x |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x2 |
|||
dv xdx v dv xdx |
. |
|||||
|
||||||
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
(здесь при нахождении v константу c полагаем равной 0). Получим
|
|
|
|
|
x arctgxdx arctgx xdx |
x2 |
|
arctgx |
1 |
x2 |
|
|
|
|
dx |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 x2 |
|
|||||||||||||
|
Возьмём |
x2 |
|
отдельно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x2 |
|
dx |
|
|
|
x2 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
1 |
|
|
|
|
|
dx dx |
|
|
|
|
|
|
|
x arctgx c |
||||||||||||||||||||||
1 x |
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
. |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Итак |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x arctgxdx |
|
arctgx |
1 |
x arctgx c . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пример. Найти |
x e 3xdx . Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
u x du dx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3x |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 3x |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dv e |
|
|
|
|
dx v e |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
e |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
xe 3x |
|
|
1 |
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x e |
|
dx x |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
dx |
|
|||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
xe 3x |
|
|
e 3x |
|
c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39
Пример. При вычислении интеграла I |
2 |
x 1 |
dx сделаем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
подстановку u |
|
|
|
|
|
|
u2 x 1 x u2 |
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x 1 |
1 dx 2udu, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 3 u2 1 3 u2 |
2 . Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2u u 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
dx |
|
2 u |
|
2udu 2 |
du . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
I |
|
x 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2u u2 |
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Дробь |
неправильная (степень числителя не меньше сте- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u 2 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
пени знаменателя). Выделим целую часть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u2 2 2 2u |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2u |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 2 u 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Итак I 2 |
2u u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2du |
|
|
|
|
|
|
|
2udu |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
u |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
du 2 du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2u |
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
u 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
u 2 2 |
|
u2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
2 ln u2 2 c 2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
x 1 |
|
2 ln |
|
x 3 |
|
c . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Здесь du и |
|
табличные, а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
u2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2udu |
d u2 2 |
ln u 2 2 c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u2 2 |
|
u2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нахождения площадей плоских фигур и объёмов тел вращения в задачах № 31-60 рекомендуется изучить литературу [1, гл.8, с. 340-344, 347; 3, гл.6, с. 340-346; 4, гл.12, с. 416-418, 426; 6, гл.5, с. 189, 199; 7, гл.10, с. 269-271].
При вычислении интегралов в этих задачах и в дальнейшем можно пользоваться таблицей интегралов в справочниках [10, с. 841-851; 11, с. 114-156].
Пример. Найти площади частей, на которые круг x2 y2 12
делится параболой y x2 .
Сделаем схематический чертёж (рис.1) и найдём точки пересечения этих линий
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
y |
2 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
12 y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
12 y2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 7 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 y 12 0 |
|
|
|
|
1 48 |
|
|
y 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
В точке пересечения x2 3 x1 |
|
|
, x2 |
|
|
. Площадь мень- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
шей части |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||
S1 |
|
|
12 x |
2 |
|
dx |
|
x |
2 |
dx |
12 |
x |
2 |
|
6 arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
3 6 arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
3 6 arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
12 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3 12 |
|
|
|
|
2 3 |
|
|
3 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x |
|
|
|
|
|
|
x
x
x 2 y 2 12
Рис.1 |
Рис.2 |
При вычислении интеграла 12 x2 dx мы воспользовались справочником [10] (интеграл № 51) или [11] (интеграл № 157).
Площадь большей части
S2 r 2 S1 12 3 2 10 3 .
Пример. Найти объём тела, образованного вращением во-
круг |
оси |
OX |
фигуры, |
ограниченной |
линиями |
||||||||
y x, |
y x |
|
, |
0 x . |
|
|
|
|
|
||||
sin x |
|
|
|
|
|
||||||||
Сделаем схематический чертёж (рис.2) и найдём точки |
|||||||||||||
пересечения этих линий |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x sin x 0, x1 0, 1 |
sin x 0, sin x 1, x2 |
|
. |
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
|||||||||||||
y x |
sin x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
V V1 |
b |
b |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 sin xdx |
||||||
V2 y12dx y22dx x |
2dx x |
|||||||||||||||||
|
|
|
a |
a |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
|
2x sin x x2 2 cosx |
|
|
|
|
|
|
2 , |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
3 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|||||
x2 sin xdx 2x sin x x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 cosx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При нахождении длины дуги в задачах № 31-60 и массы неоднородной линии в задачах № 61-90 следует помнить, что дифференциал длины дуги выражается различными формулами [1, гл.8, с. 347-352; 4, гл.12, с. 432-436; 7, гл.10, с. 270].
1) ds 1 yx 2 dx , если линия задана в декартовых координатах;
2) ds |
xt 2 yt 2 dt , если линия задана параметрически |
|
x x t , |
y y t ; |
3) ds r 2 r 2 d , если линия задана в полярных координатах r r .
Пример. Найти длину дуги кривой r cos2 |
|
|
, |
0 |
|
. |
|||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
Вычисляем |
ds |
r 2 |
r |
2 |
d , r 2cos |
sin |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
r2 |
|
cos4 |
|
|
cos2 |
|
|
|
sin |
2 |
|
|
|
cos |
2 |
|
|
|
cos2 |
|
|
|
sin2 |
|
|
|
cos |
2 |
|
, |
|||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ds |
|
|
|
cos |
|
|
|
|
d cos |
|
d , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
S cos |
|
|
d 2sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin |
|
|
sin 0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти массу участка линии
x a t sin t ,
L: 0 t 2 , если плотность 3y .
y a 1 cos t ,
m ds .
L
Найдём ds |
xt 2 yt 2 dt , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xt a 1 cos t , |
|
yt a sin t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
a 2 1 cos t 2 |
a 2 sin2 t dt a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|||||||||||||||||||||||||||||
ds |
|
|
1 2cos t cos2 t sin2 t |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a sin |
t |
|
dt . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
dt a |
|
|
|
|
|
|
2sin2 |
t |
|
dt |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 2cos t |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
3a 1 cos t 2a sin |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
||||||||||||||||||||
m |
|
dt 6a 2 |
|
|
2sin2 |
sin |
dt |
12a 2 |
sin3 |
dt |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
1 |
|
|
|
|
|
t |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
12a 2 |
2cos |
|
|
|
|
2 cos3 |
|
|
|
|
|
|
|
12a 2 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
32a 2 . |
||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
sin3 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dt |
взяли по справочнику [10] (интеграл № 106) или |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[11] (интеграл № 276).
При решении задач № 91-120 необходимо изучить криволинейные интегралы второго рода (по координатам) и их вычисление в зависимости от задания пути интегрирования [2, с. 82-89; 3, с. 472-479; 5, с. 217-226].
Пример. |
Вычислить |
работу, |
совершаемую |
силой |
|
|
|
|
|
|
|
F x2 2xy i y2 2xy j при перемещении некоторой массы по |
|||||
дуге параболы y x2 от точки A(1,1) о точки B(-1,1). |
|
||||
Составляем криволинейный интеграл |
|
|
|||
A |
x2 |
2xy dx y2 2xy dy . |
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
Так как y x2 , то y 2x, |
dy 2xdx , и при движении массы из |
точки A точку B x принимает значения от 1 до -1, которые и будут пределами интегрирования по одной переменной x . Следовательно, имеем