Matematika_7_8_k_r

Таблица 3

Общее решение однородного уравнения

Вид общего решения однород-

Корни

характеристического

ного уравнения

уравнения

1.

y0

c1ek1x c2ek 2x

k1 ,k 2

– вещественные, k1 k 2

2.

y0

(c1 c2x)ekx

k1 ,k 2

– вещественные, k1 k 2

3.

y0

c1 cos x c2 sin x e x

k1 ,k 2

– комплексные,

k1 i,

k 2 i

Решение. Общее решение неоднородного уравнения можно

записать в виде y y0 Y , где y0

– общее решение однородного

уравнения

Так как

правая

часть уравнения f x 2xe 4x , то

Y x2 e 4x Ax B .

Здесь a 4,

Pn x 2x,

r 2 .

Y e 4x Ax3 Bx2 .

Y 4e 4x Ax3 Bx2 e 4x 3Ax2 2Bx

e 4x 4Ax3 x2 4B 3A 2Bx .

Y 4e 4x

4Ax

3 x2 4B 3A 2Bx e 4x (12Ax2 2x 4B 3A

2B) e 4x

16Ax3 x2 16B 24A x 16B 6A 2B .

Подставив эти значения в наше уравнение, получим

e 4x 16Ax3 x2

16B 24A x 16B 6A 2B 8e 4x ( 4Ax3

x2 4B 3A

2Bx) 16e 4x Ax3 Bx2 2xe 4x .

Частное решение неоднородного уравнения

Таблица 4

Вид правой части

Вид частного решения

неоднородного дифферен-

циального уравнения

f x eax Pn x ,

y xr eax Qn x , где

Pn x

– многочлен степени

0, если a не является корнем

n

характерист. уравнения

1,если a равно одному корню

r

характерист. уравнения

2, если оба корня характерист.

уравнения равны a

Qn x - многочлен степени n с не-

определёнными коэффициентами

P x cos bx

y xr eax

S

x cosbx Z

x sinbx

f x eax

n

N

N

0, если a bi не является корнем

Qm x sinbx

Pn x

– многочлен степени

характерист. уравнения

n ,

r

1,если a bi равно одному корню

Qm x

– многочлен степени

характерист. уравнения

m

N равно наибольшей из степеней n

и m

Сократим на e 4x и сгруппируем члены с x3 , x2 , x, x0

x3 16A 32A 16A x2 16B 24A 32B 24A 16B

x 16B 6A 16B 2B 2x.

или

6Ax 2B 2x .

6A 2,

1

A

,

3

2B

0.

B 0.

y e 4x c1 c2x e 4x 1

3

x3

, отсюда

y 4e 4x c

1

c

2

x e 4x

c

2

4e

4x 1

x3 e 4x x2 .

3

1 c1 ,

c1 1,

2 4c1

c2 .

c2 6.

так, искомое решение имеет вид

y e 4x 1 6x e 4x 1

x3 .

3

y 6y 13y 4 sin 5x ,

удовлетворяющее начальным условиям y 0 0,235;

y 0 0 .

Его корни k1,2

6

36 52

6

16

6 4i

3 2i .

2

2

2

12A 30B 0,

A

30

B

5

B,

30

5

B 12B 4,

B 0,115,

12B

4.

12

30A

2

2

Найдём из начальных условий y 0 0,235;

y 0 0 постоянные

c1 , c2 .

0,235 c1 0,115,

c1

0,35,

0,64.

0 3c1 2c2 0,23.

c2

y

1

,

y

x

,

dy

x

,

ydy xdx,

y2

x2

c .

dx

2

x y

y

y

2

OB – отрезок, отсекаемый касательной на оси oy .

OC – отрезок, отсекаемый касательной на оси ox .

OM – радиус-вектор точки касания M, OM

.

x2 y2

E

y

M x, y

K

x

O

C

A

D

Найдём c из условия, что

линия проходит через точку

M0 0,1 .

1

0 c,

c

1

.

2

2

y2

x2

1

или y2 x2 1.

2

2

2

мыми x e,

x e2 ,

y 0 .

38.

Найти длину дуги кривой y

1

3 x

между точками её пе-

x

3

ресечения с осью Ox .

39.

Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси

Ox фигуры, ограниченной линиями y

, y 0,

x 1.

4x

40.

Найти длину дуги кривой y ln x от

точки x

до точки

3

3

линией y x x

2

и осью абсцисс Ox .

42.

Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox

фигуры, ограниченной линиями y x ex ,

x 1,

y 0 .

43.

Найти площади фигур, на которые парабола y2 6x делит

круг x2 y2 16 .

44.

Вычислить площадь фигуры, заключённой

между линией

y

1

и параболой y 0,5x2 .

1 x2

46.

Найти длину дуги кривой x

1

t6 ,

y 4

1

t4 между точками

6

4

её пересечения с осями координат.

47.

Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox

фигуры, ограниченной линиями y e2x 1,

y e x 1,

x 0 .

48.

Найти длину дуги кривой y ln 1 x2 от точки x 0 до точки

x 0,5 .

49.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y ln x и

прямыми x 0,

y

.

2

51. Найти длину дуги кривой x et cos t,

y et sin t от

t 0 до

точки t 1.

54.

Вычислить

площадь

фигуры,

ограниченной

линиями

y sin x,

y cosx,

y 0,

x 0,

x

.

2

55.

Найти длину дуги астроиды x a cos3 t,

y a sin3 t,

0 t

.

Найти длину дуги полукубической параболы y2 x3

2

56.

от нача-

ла координат до точки M 4,8 .

57.

Фигура ограничена кривой

x a cos t,

y a sin t,

0 t

и

осями координат Ox, Oy Найти объём тела вращения.

2

58.

Вычислить

площадь

фигуры,

ограниченной

линиями

y 2

,

y

3 и осью Oy .

x

x

59.

Вычислить

площадь

фигуры,

ограниченной

кривыми

y ex 1,

y e2x 3,

x 0 .