Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Matematika_7_8_k_r

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

340.86 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего и профессионального образования šКузбасский государственный технический университетŸ

Кафедра прикладной математики

МАТЕМАТИКА

Программа, контрольные работы № 7, 8 и методические указания по их выполнению для студентов заочной формы обучения инженерно-технических специальностей 2 курса

Составители Е. А. Волкова И. А. Ермакова Е. В. Прейс

Утверждены на заседании кафедры Протокол № 7 от 22.03.2007 Рекомендованы к печати учебно-методической комиссией специальности 230401 Протокол № 5 от 2.04.2007

Электронная копия находится в библиотеке главного корпуса ГУ КузГТУ

Кемерово 2007

Выбор номеров задач контрольных работ

	0	1		2		3		4		5		6		7	8	9
А,В,Д	1 37 75	2 38 76		3 39 77		4 40 78		5 41 79		6 42 80		7 43 81		8 44 82	9 45 83 98	10 46	84
	120	91		92		93		94		95		96		97		99
Б,Е,З	11 47 85	12 48	86	13 49	87	14 50	88	15 51	89	16 52	90	17 53	91	18 54 92	19 55 93	20 56	64
	100	101		102		103		104		105		106		107	108	109
Г,Ж,	21 57 65	22 58	66	23 59	67	24 30	68	25 31	69	26 32	70	27 33	71	28 34 72	29 35 73	30 36	74
И,Л	110	111		112		113		114		115		116		117	118	119
К	1 38 75	2 39 76		3 40 77		4 41 78		5 42 79		6 43 80		7 44 81		8 45 82	9 46 83 98	10 47	84
	120	91		92		93		94		95		96		97		99
М,Н,	11 49 85	12 48	86	13 50	87	14 51	88	15 52	89	16 53	90	17 54	61	18 55 62	19 56 63	20 57	64
О	100	101		102		103		104		105		106		107	108	109
П,Х,Ц	21 58 65	22 59	66	23 60	67	24 60	68	25 39	69	26 31	70	27 32	71	28 33 72	29 34 73	30 35	74
,Ш	110	117		112		113		114		115		116		117	118	119
С,У,Ё,	1 36 75	2 37 76		3 38 77		4 40 78		5 41 79		6 42 80		7 43 81		8 44 82	9 45 83 98	10 46	84
Ы,Й	91	92		93		94		95		96		97		120		99
Р,Т,Ф	21 57 65	22 58	66	23 59	67	24 60	68	25 36	69	26 31	70	27 32	71	28 33 72	29 34 73	30 35	74
	110	111		112		113		114		115		116		117	118	119
Ч,Щ,Э	11 47 85	12 48	86	13 49	87	14 50	88	15 51	89	16 52	90	17 53	61	18 54 62	19 55 63	20 56	64
,Ю,Я	100	101		102		103		104		105		106		107	108	109

Контрольные работы № 7, 8 составлены в соответствии с программой курса математики для студентов заочной формы обучения инженерно-технических специальностей. В составлении работ и методических указаний к ним принимали участие преподаватели: В. М. Волков, Е. А. Волкова, В. А. Гоголин, И. А. Ермакова, Е. В. Прейс, С. М. Швыдко.

Номера задач контрольных работ студент должен выбрать по таблице šВыбор номеров контрольных задачŸ следующим образом:

найти строку, соответствующую первой букве фамилии;

найти столбец, соответствующий последней цифре шифра;

на пересечении найденных строки и столбца взять номера задач контрольных работ № 7, 8.

Контрольные работы, выполненные не по своему варианту, возвращаются непроверенными.

ПРОГРАММА

курса šМатематикаŸ для инженерно-технических специальностей (III семестр)

1. Неопределённый интеграл

1.1.Первообразная (неопределённый интеграл), её свойства. Таблица интегралов.

1.2.Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям и подстановкой.

1.3.Использование таблиц (справочников) неопределённых интегралов.

2. Определённый интеграл

2.1.Задачи, приводящиеся к понятию определённого инте-

грала.

2.2.Определённый интеграл как предел интегральных сумм.

2.3.Основные свойства определённого интеграла.

2.4.Производная интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.

3. Криволинейные интегралы

3.1.Задачи, приводящиеся к криволинейным интегралам.

3.2.Определение криволинейных интегралов по длине дуги

ипо координатам, их основные свойства и вычисление.

3.3.Приложение интегралов к вычислению масс неоднородных линий и работы переменной силы.

4. Кратные интегралы 4.1.Задачи, приводящиеся к понятию двойного интеграла,

его определение и свойства.

4.2.Вычисление двойных интегралов в декартовых и полярных координатах.

4.3.Применение двойных интегралов для вычисления площадей, решения задач механики и физики.

5. Обыкновенные дифференциальные уравнения

5.1.Задачи, приводящиеся к дифференциальным уравнениям. Основные определения.

5.2.Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

5.3.Интегрирование простейших типов дифференциальных уравнений: с разделяющимися переменными, однородных и линейных.

5.4.Дифференциальные уравнения второго порядка. Задача Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.

5.5.Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

5.6.Применение дифференциальных уравнений для решения задач физики и механики.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ

Контрольная работа № 7

Для вычисления неопределённых интегралов № 1-30 необходимо проработать литературу: [1, гл.7, с. 285-312; 3, гл.5, с. 253286; 6, гл.4, с. 154-183; 7, гл.9, с. 225-286], где содержатся практические рекомендации по данной теме.

Для выполнения задания 1-30 (пункт а) нужно из таблицы интегралов выбрать такой, к которому можно свести данный интеграл.

Например, при вычислении

	dx	5x 2	5	dx
	dx		3

3 5x 2 5
3 5x 2 5

используем табличный интеграл

undu un 1 c . n 1

Согласно этой формуле подводим под знак дифференциала основание степени. Так как d 5x 2 5dx , то умножим и разделим интеграл на 5, то есть

			dx							5		1				5		1				5
			dx									1						1
						5x 2				3 dx			5x	2	3		5dx			5x	2	3 d 5x 2
3												5							5
3	5x 2 5											5							5
		5
1			5x 2					1		3				2				3
							3	1			5x 2			2							c .
							3		c					3 c

5				5	1					10								103 5x 2 2
				5

		3
		Интеграл						x e3x 2 1dx				сводится				к		табличному			eudu eu c

путём подведения под знак дифференциала показателя степени d 3x2 1 6xdx . Таким образом

x e3x

1dx

e3x

6xdx

e3x

1d 3x2

1 c .

В примере

3cosx dx

используем

формулу

c , где

2 sin x

под знаком дифференциала находится знаменатель дроби. Так

как d 2 sin x cosxdx , то

3	cosxdx	3	d 2 sin x	3 ln	2 sin x	c .

	2 sin x		2 sin x

При вычислении интегралов в пункте б) применяются методы подстановки и интегрирования по частям, то есть по формулеudv uv vdu мы от исходного интеграла udv переходим к более простому vdu .

Пример. x arctgxdx arctgx xdx , то есть возьмём

	dx
u arctgx du			,
u arctgx du	1 x	2	,
	1 x
				x2
dv xdx v dv xdx				x2	.
dv xdx v dv xdx					.
			2
			2

(здесь при нахождении v константу c полагаем равной 0). Получим

x arctgxdx arctgx xdx

arctgx

1 x2

Возьмём

отдельно

1 x2

x2 1 1

dx dx

x arctgx c

1 x

x2 1

1 x2

Итак

x arctgxdx

arctgx

x arctgx c .

Пример. Найти

x e 3xdx . Пусть

u x du dx,

d 3x

dv e

dx v e

xe 3x

x e

dx x

xe 3x

e 3x

c .

Пример. При вычислении интеграла I

x 1

dx сделаем

подстановку u

u2 x 1 x u2

x 3

x 1

1 dx 2udu,

x 3 u2 1 3 u2

2 . Получим

2u u 2

2 u

2udu 2

du .

x 1

u2 2

2u u2

x 3

u2 2

Дробь

неправильная (степень числителя не меньше сте-

u 2 2

пени знаменателя). Выделим целую часть

u2 2 2 2u

u2 2

u2 2 u 2

Итак I 2

2u u

2du

2udu

du 2 du

arctg

u 2 2

2 ln u2 2 c 2

arctg

x 1

2 ln

x 3

c .

x 1

Здесь du и

табличные, а

2udu

d u2 2

ln u 2 2 c .

u2 2

Для нахождения площадей плоских фигур и объёмов тел вращения в задачах № 31-60 рекомендуется изучить литературу [1, гл.8, с. 340-344, 347; 3, гл.6, с. 340-346; 4, гл.12, с. 416-418, 426; 6, гл.5, с. 189, 199; 7, гл.10, с. 269-271].

При вычислении интегралов в этих задачах и в дальнейшем можно пользоваться таблицей интегралов в справочниках [10, с. 841-851; 11, с. 114-156].

Пример. Найти площади частей, на которые круг x2 y2 12

делится параболой y x2 .

Сделаем схематический чертёж (рис.1) и найдём точки пересечения этих линий

							2			y			2			12							2	12 y						2
					x					y						12					x			12 y									12 y2 y
											2												2										12 y2 y
								x			2												2	y
					y			x													x			y
																						y			1												1 7		,
					y2 y 12 0																				1				1 48								1 7						y 3.
					y2 y 12 0																																						y 3.
																												2						2
		В точке пересечения x2 3 x1																																		, x2					. Площадь мень-
		В точке пересечения x2 3 x1																																	3	, x2		3			. Площадь мень-
шей части

																																																	3
																																												3			3
			3														3						x																x							x
S1			3			12 x						2		dx			3	x	2	dx						12		x			2			6 arcsin
												2							2												2



																								2																12						3
			3														3
																																												3
																																																3
																																																3

		3																		3							3															3
		3		12				3 6 arcsin												3							3	12			3 6 arcsin											3

	2																		12							2
	2																		12							2																12
	3								3
			3								3
			3								3
														3 3 12										2 3								3 2 .
	3								3					3 3 12								6		2 3								3 2 .
	3								3													6
															y					y x 2																	y
																				y x 2																	y
																																													y x

x 2 y 2 12

Рис.1

Рис.2

При вычислении интеграла 12 x2 dx мы воспользовались справочником [10] (интеграл № 51) или [11] (интеграл № 157).

Площадь большей части

S2 r 2 S1 12 3 2 10 3 .

Пример. Найти объём тела, образованного вращением во-

круг

оси

фигуры,

ограниченной

линиями

y x,

y x

0 x .

sin x

Сделаем схематический чертёж (рис.2) и найдём точки

пересечения этих линий

y x

x x sin x 0, x1 0, 1

sin x 0, sin x 1, x2

y x

sin x


V V1			b	b				2				2	2 sin xdx
V V1			V2 y12dx y22dx x						2dx x				2 sin xdx
			a	a			0				0
		3								3
		3				2				3
	x		2x sin x x2 2 cosx								2 ,
			2x sin x x2 2 cosx								2 ,
3					0				24
x2 sin xdx 2x sin x x2					0
x2 sin xdx 2x sin x x2				2 cosx.

При нахождении длины дуги в задачах № 31-60 и массы неоднородной линии в задачах № 61-90 следует помнить, что дифференциал длины дуги выражается различными формулами [1, гл.8, с. 347-352; 4, гл.12, с. 432-436; 7, гл.10, с. 270].

1) ds 1 yx 2 dx , если линия задана в декартовых координатах;


2) ds	xt 2 yt 2 dt , если линия задана параметрически
x x t ,		y y t ;

3) ds r 2 r 2 d , если линия задана в полярных координатах r r .

Пример. Найти длину дуги кривой r cos2							,	0			.
						2
									2
									1
Вычисляем	ds	r 2	r	2	d , r 2cos	sin				.


					2			2	2

	r	2
r2			cos4			cos2		sin				2				cos	2		cos2		sin2			cos	2		,
r2			cos4		2	cos2	2	sin						2		cos		2	cos2	2	sin2			cos		2	,
					2		2							2				2		2			2			2

											2
						ds		cos							d cos				d ,
						ds		cos				2			d cos				d ,
												2						2


			2																			2
										2
										2													2 .
	S cos				d 2sin								2 sin				sin 0			2
	S cos				d 2sin								2 sin				sin 0			2
		0		2			2		0							4					2
		0		2			2		0							4					2

Пример. Найти массу участка линии

x a t sin t ,

L: 0 t 2 , если плотность 3y .

y a 1 cos t ,

m ds .

Найдём ds

xt 2 yt 2 dt ,

xt a 1 cos t ,

yt a sin t ,

a 2 1 cos t 2

a 2 sin2 t dt a

1 2cos t cos2 t sin2 t

2a sin

dt .

dt a

2sin2

2 2cos t

3a 1 cos t 2a sin

dt 6a 2

2sin2

sin

12a 2

sin3

12a 2

2cos

2 cos3

12a 2 2

32a 2 .

sin3

взяли по справочнику [10] (интеграл № 106) или

[11] (интеграл № 276).

При решении задач № 91-120 необходимо изучить криволинейные интегралы второго рода (по координатам) и их вычисление в зависимости от задания пути интегрирования [2, с. 82-89; 3, с. 472-479; 5, с. 217-226].

Пример.		Вычислить	работу,	совершаемую	силой

F x2 2xy i y2 2xy j при перемещении некоторой массы по
дуге параболы y x2 от точки A(1,1) о точки B(-1,1).
Составляем криволинейный интеграл
A	x2	2xy dx y2 2xy dy .
	AB
Так как y x2 , то y 2x,			dy 2xdx , и при движении массы из

точки A точку B x принимает значения от 1 до -1, которые и будут пределами интегрирования по одной переменной x . Следовательно, имеем

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.05.201515.97 Кб14managment.docx
#
10.05.2015209.55 Кб7Marketing (1).pdf
#
20.04.2019666.62 Кб12Marketing._Uchebnoe_posobie.doc
#
10.05.201514.99 Mб22Marketing_METODIChKA.doc
#
10.05.2015381.44 Кб39Martin_Egle_-_Tolkovanie_Knigi_Ekklesiasta.DOC
#
10.05.2015340.86 Кб14Matematika_7_8_k_r.pdf
#
01.03.20252.4 Mб1MathCad.doc
#
10.05.2015219.99 Кб5MD_CP.docx
#
01.04.202594.62 Кб0Mekhanika.docx
#
18.11.201945.43 Кб4Menedzhment.docx
#
10.05.2015172.01 Кб6MenedzhmentVar9.pdf