МАТЕМАТИКА для контрол 9, 10 2009

Контрольные работы № 9,10 составлены в соответствии с программой курса высшей математики для студентов-заочников инженерно-технических специальностей. В составлении работ и методических указаний к ним принимали участие преподаватели: В. М. Волков, Е. А.Волкова, В. А. Гоголин, И. А. Ермакова, Е. В. Прейс.

Номера задач контрольных работ студент должен выбрать по таблице ›Выбор номеров контрольных задач следующим образом:

найти строку, соответствующую первой букве фамилии;

найти столбец, соответствующий последней цифре шифра;

на пересечении найденных строки и столбца взять номера задач контрольной работы № 9, и номер первой задачи соответствует номеру столбца X в контрольной работе № 10.

Контрольные работы, выполненные не по своему варианту, возвращаются непроверенными.

ПРОГРАММА курса •Математика”

для инженерно-технических специальностей (IV семестр)

1. Случайные события

1.1.Основные понятия теории вероятностей. Испытания и события. Классическое определение вероятности. Формулы комбинаторики.

1.2.Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Теорема сложения вероятностей совместных событий. Полная группа событий. Противоположные события.

1.3.Теорема умножения вероятностей. Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность появления хотя бы одного события.

1.4.Формула полной вероятности. Вероятности гипотез. Формулы Бейеса.

1.5.Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная теорема Лапласа. Интегральная теорема Лапласа. Формула Пуассона.

2. Случайные величины

Выбор номеров задач контрольных работ

2.1.Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.

2.2.Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.

2.3.Непрерывная случайная величина. Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

2.4.Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Математическое ожидание. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.

2.5.Виды распределений. Равномерное распределение. Показательное распределение. Нормальное распределение.

3. Элементы математической статистики

3.1.Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.

3.2.Статистические оценки параметров распределения. Выборочная средняя. Выборочная дисперсия. Выборочное среднее квадратическое отклонение.

4. Элементы теории корреляции

4.1.Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости.

4.2.Выборочный коэффициент корреляции. Корреляционная таблица.

4.3.Выборочные уравнения регрессии. Отыскание параметров выборочного уравнения регрессии по сгруппированным данным.

5. Статистическая проверка статистических гипотез

5.1.Нулевая и конкурирующая гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Критическая область. Область принятия гипотезы.

5.2.Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий Пирсона.

5.3.Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны.

6. Статистические оценки параметров распределения

6.1.Точность оценки. Доверительная вероятность. Доверительный интервал.

6.2.Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ

Контрольная работа № 9

В данную работу включены задачи по теории вероятностей [1, гл.1; 2, гл.1-4].

При вычислении вероятностей событий по классической формуле [1, гл.1, п. 3; 2, гл.1, п.1, с. 7] в задачах № 1–30 выбор нужного элемента комбинаторики удобно производить по схеме:

если все элементы входят в соединение, то это число перестановок Pk k! 1 2 3 k ;

если не все элементы входят в соединение и порядок эле-

если не все элементы входят в соединение и порядок эле-

Пример. На семи карточках написаны буквы а, з, е, к, м, н, э. Карточки тщательно перемешиваются и случайным образом раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово ›экзамен ?

Обозначим событие А – в ряду получится слово ›экзамен . Так как все семь элементов (карточек) входят в соединение, то общее число исходов n P7 7! 5040 . Число благоприятных исходов m 1 – среди букв нет одинаковых. Тогда

n5040

Пример. Какова вероятность того, что наугад названное трёхзначное число, все цифры которого различны и начинается с цифры 2, будет то, что мы задумали?

При составлении трёхзначных чисел, начинающихся с цифры 2, используют три цифры, то есть к цифре 2 добавляются оставшиеся две из девяти (0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), и так как важен порядок, то общее число исходов находится как число размещений

Благоприятный исход один, то есть m 1 .

P A m 1 0,014 . n 72

Пример. Из 17 студентов группы, в которой 8 девушек, отобраны 7 человек для работы на овощной базе. Какова вероятность того, что среди отобранных будут 4 девушки?

Решение. Введём событие A – среди 7 отобранных студентов 4 девушки. Общее число исходов

Случай, благоприятствующий событию A , представляет собой группу из 4 девушек и 3 юношей. Число подгрупп по 4 девушки из 8 равно C48 – число сочетаний из 8 по 4. Число всевозможных подгрупп по 3 юноши из 9 равно C93 – число сочетаний из 9 по 3, так как порядок внутри групп не важен. Каждая подгруппа из 4 девушек может быть объединена с любой подгруппой из 3 юношей, следовательно, число благоприятных исходов равно

Для решения задач № 31–60 необходимо сложное событие представить в виде суммы или произведения более простых событий и использовать соответствующие теоремы теории вероятностей [1, гл. 2–4; 2, гл. 2].

Пример. Из 10 изделий цеха 7 изделий первого сорта. Какова вероятность того, что наугад взятые два изделия будут изделиями первого сорта?

Решение. Введём события: A – два наудачу взятых изделия будут изделиями первого сорта; B – первое взятое изделие первого сорта; C – второе взятое изделие первого сорта. Тогда A B C . Так как B, C зависимые события, то

тые наудачу из ящика, содержащего 6 красных и 3 синих носка, будут одного цвета.

Используем теорему сложения несовместных событий. Введём события: A – два наудачу взятых носка одного цвета; B – взяты два красных носка; C – взяты два синих носка. Тогда A B C . Так как B, C несовместные, то

Если событие A может наступить лишь после наступления одного из нескольких событий H1 ,H2 , , Hn , образующих полную группу, то следует использовать формулу полной вероятности или формулу Бейеса [1, гл.4, п. 2-3; 2, гл.2, п.3-4].

Пример. Партия деталей изготовлена двумя рабочими. Первый изготавливает деталей в два раза больше, чем второй. Вероятность брака для первого рабочего 1 %, а для второго 10 %. На контроль взяли одну деталь. Какова вероятность того, что она бракованная?

Введём события: A – взятая деталь бракованная, H1 – деталь изготовлена первым рабочим, H2 – деталь изготовлена вторым рабочим.

Здесь мы применили формулу полной вероятности. Предположим, что в предыдущей задаче деталь, взятая на контроль, оказалась бракованной. Определим вероятность того, что она изготовлена вторым рабочим. Для этого применяем формулу Бейеса

Решение задач № 61– 90 следует начинать с изучения условий, в которых используются формулы Бернулли, Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа [1, гл. 5, п. 1–3; 2, гл. 3, п. 1–3].

Если число n повторных испытаний мало, то вероятность появления события k раз следует определять по формуле Бернулли.

Пример. Найти вероятность того, что из 5 изготовленных рабочим деталей не менее 4 годных, если известно, что рабочий изготавливает на станке однотипные детали, вероятность брака для каждой 0,1.

Решение. Так как число независимых испытаний n 5 мало и q 0,1 0, p 1 q 1 0,1 0,9 , то применяем формулу Бернулли. Событие A – из 5 деталей не менее четырёх годных – наступит, если среди 5 деталей 4 годные или все 5 годные, то есть

P A P k 4 P5 4 P5 5 C45p4q1 C55p5q05 0,9 4 0,1 0,9 5 0,93.

Если число n независимых испытаний велико, а вероятность появления события не близка к нулю, то следует использовать локальную или интегральную теорему Муавра – Лапласа.

Пример. В мартеновском цехе не каждая плавка отвечает требованиям, обусловленным в заказе. По заказу нужно выплавить 90 плавок, а запланировано 100. Какова вероятность того, что заказ будет полностью выполнен, если вероятность получения каждой плавки по заказу равна 0,9?

Решение. Заказ будет полностью выполнен, если из 100 плавок будут соответствовать заказу 90 плавок и более, то есть нужно определить P100 90,100 . n 100 (велико), и так как нас интересует вероятность появления события не менее 90 раз, то применим интегральную теорему Муавра – Лапласа

P100 90,100 x2 x1 ,

где

По [2, прил. 2] определяем 0 0; 3,33 0,4995 .

P100 90,100 3,33 0 0,4995 0 0,4995 .

Замечание. При определении функции Лапласа, следует учитывать, что она нечётная, то есть x x , и что при

x 5 x 0,5 .

Формулу Пуассона следует применять, если n велико, а вероятность p близка к нулю.

Пример. Какова вероятность того, что из 10000 лотерейных билетов не менее двух выигрышных, если вероятность выигрыша по одному лотерейному билету 0,0002?

Решение. Так как n 10000, p 0,0002 , то используем формулу Пуассона. Введём событие A – не менее двух билетов выигрышных, противоположное к нему событие A – менее двух билетов выигрышных, то есть один билет выигрышный или ни одного. Тогда