5903

11

В некоторых практически важных и часто встречающихся случаях задача определения главных центральных осей и главных моментов инерции существенно упрощается. К ним относятся сечения, у которых есть оси или центр симметрии. У таких сечений центр тяжести расположен на осях симметрии или в центре симметрии. Центробежный момент инерции сечения, найденный с использованием оси симметрии, всегда равен нулю. Это значит, что любая ось симметрии не только центральная, но и главная. Очевидно, что всегда надо использовать оси симметрии как центральные и главные, а вычисления по формулам (2.11) и (2.12) в этих случаях теряют смысл.

Нахождение положения главных центральных осей и величин главных центральных моментов инерции можно выполнить в следующем порядке:

1.после определения центра тяжести всего сечения (см. п. 2) надо задать произвольные центральные оси xc и yc;

2.с помощью справочных данных ( см. ПРИЛОЖЕНИЕ к данным указаниям или [4,5,7]) определить моменты инерции простых элементов сечения Jxi, Jyi, Jxi yi относительно их собственных центральных осей xi и yi;

3.по справочным данным и результатам нахождения центра тяжести С всего сечения определить координаты центров тяже-

сти простых элементов сечения xci и yci относительно центральных осей всего сечения xc и yc;

4.определить моменты инерции всего сечения Jxc, Jyc, Jxc yc по формулам (2.9);

5.решить уравнение (2.11) и найти угол поворота 0 главной оси max (или min) относительно оси xc;

6.определить какую главную ось (max или min) задает угол 0;

7.с помощью формул (2.11) или (2.12) определить величины главных центральных моментов инерции Jmax и Jmin.

12

3. Примеры расчетов геометрических характеристик

3.1. Несимметричное сечение

Для расчета принято составное сечение (рис. 4) из стандартных прокатных профилей:

1.неравнополочного уголка № 10/6,3 с толщиной стенки 8

мм(ГОСТ 8510-86);

2.полосы из листовой стали с сечением 200 20 мм;

3.швеллера № 18 (ГОСТ 8240-97).

Значения геометрических характеристик уголка и швеллера взяты из ПРИЛОЖЕНИЯ. На эскизе сечения (рис. 4) показаны центры тяжести элементов и их центральные оси xi и yi, направление которых может не совпадать с направлением осей на эскизах в сортаментах. Это обстоятельство надо иметь в виду и тщательно контролировать при выборке справочных значений.

Для уголка (ПРИЛОЖЕНИЕ п. 1.2.а): F1 = 12,6 см2; Jx1 = 127 см4; Jy1 = 39,2 см4; Jx1 y1 = 40,5 см4; расстояния до центра тяжести x01 = 15 мм = 1,5 см, y01 = 33,2 мм = 3,32 см.

Для швеллера (ПРИЛОЖЕНИЕ п. 1.2.б): F3 = 20,7 см2; Jx3 = 86,0 см4; Jy3 = 1090 см4; Jx3 y3 = 0; расстояние до центра тяжести y03 = 19,5 мм = 19,5 см.

Для полосы (ПРИЛОЖЕНИЕ п. 1.1): F2 = 20 2 = 40 см2; Jx2 = 2 203/12 = 1333 см4; Jy2 = 20 23/12 = 13,3 см4; Jx2 y2 = 0.

I. Определение центра тяжести сечения

Определяются координаты центров тяжести элементов сечения 1, 2, 3 во вспомогательных осях x',y'(рис. 4):

x1' = 6,3 – 1,5 = 4,8 см; y1'= 3,32 см; x2' = 6,3 + 1 = 7,3 см; y2'= 10 см;

x3'= 6,3 +2 + 9 = 17,3 см; y3'= 20 – 1,95 см.

Отметим, что на рис. 4 все размеры указаны в сантиметрах, то есть в единицах, в которых ведутся вычисления.

x’C = 9,67

Рис. 4. Определение центра тяжести несимметричного сечения

По формулам (2.4) определим координаты центра тяжести всего сечения С во вспомогательных осях x',y'

Рис. 5. Определение главных центральных осей и главных моментов инерции несимметричного сечения

Положение центра тяжести сечения С показано на рис. 4. Для возможностей визуальной проверки результатов расчетов настойчиво рекомендуем изображать все исходные размеры и полученные координаты на эскизе сечения в одном масштабе. Отметим, что в рассматриваемом примере точка С должна находиться внутри треугольника с вершинами 1, 2, 3.

II. Определение главных центральных осей и главных моментов инерции.

Эскиз сечения, связанный с этим этапом вычислений, приведен на рис. 5.

где Jx, Jy, Ju – осевые моменты инерции неравнополочного уголка относительно его осей x, y и u (min) (см. ПРИЛОЖЕНИЕ, эс-

киз в п. 1.2.в);

Jx0, Jy0 – осевые моменты инерции равнополочного уголка относительно его осей x0 (max) и y0 (min) (см. ПРИЛОЖЕНИЕ, эскиз в п. 1.2.г).

Определим координаты центров тяжести простых элементов сечения в произвольных центральных осях всего сечения xc, yc

(рис. 5):

xc1 = x1' xc'= 4,8 – 9,71 = - 4,91 см; yc1 = y1' – yc' = 3,32 – 11,1 = 7,78 см.

Далее аналогично находим

xс2 = 7,3 – 9,71 = - 2.41 см; yс2 = 10 – 11,1 = - 1,11 см; xc3 = 17,3 – 9,71 = 7,59 см; ус3 = 18,05 – 11,1 = 6,95 см.

По формулам (2.9) вычисляем моменты инерции относительно произвольных центральных осей всего сечения

Jxc = 127 + 1333 + 86 + 12,6 (-7,78)2 +40 (-1,11)2 + 20,7 6,952 = = 3374 см4;

Jyc = 39,2 + 13,3 + 1090 + 12,6 (-4,91)2 +40 (-2,41)2 +20,7 7,592 = = 2870 см4;

Jxc yc = 40,4 + 0 + 0 +12,6 (-4,91) (-7,78) + 40 (-2,41) (-1,11) + + 20,7 7,59 6,95 = 1720 см4.

Отметим, что найденный центробежный момент инерции Jxc yc не равен нулю. Это значит, что центральные оси сечения не являются главными.

Определим угол поворота одной из главных центральных осей с помощью уравнения (2.11)

По условию Jxc = 3374 см4 > Jyc = 2870 см4 устанавливаем, что угол 0 задает положение оси max (см. рис. 5).

17

Величины главных центральных моментов инерции определим с помощью формулы (2.12)

Jmax 4860см4; Jmin 1384см4.

Для проверки полученных результатов вычислим центробежный момент инерции относительно главных центральных осей с помощью третьей формулы (2.10)

Jmaxmin 0,5(Jxc Jyc )sin2 0 Jxc yc cos2 0

0,5(3374 2870) sin( 81,66 ) 1720 cos( 81,66 )

252 ( 0,989) 1720 0,145 249 249 0.

Равенство нулю центробежного момента инерции относительно главных осей является достаточным для проверки правильности решения.

3.2. Симметричное сечение

Эскиз сечения с вертикальной осью симметрии, принятого для расчета, показан на рис. 7.

Сечение разбито на два простых элемента: равнобедренный треугольник – 1 и прямоугольник – 2.

Геометрические характеристики простых элементов (см. ПРИЛОЖЕНИЕ п. 1.1).

Для равнобедренного треугольника: F1 = 4 12/2 = 24 см2; Jx1

= 12 43/36 = 21,33 см4; Jy1 = 4 123/48 = 144 см4; Jx1 y1 = 0.

Для прямоугольника: F2 = 4 10 = 40 см2; Jx2 = 4 103/12 =

333 см4; Jy2 = 10 43/12 = 53,3 см4; Jx2 y2 = 0.

Вспомогательные оси x',y'для определения положения центра тяжести всего сечения включают вертикальную ось симметрии (рис. 7). В этом случае имеет смысл определять только вертикальную координату центра тяжести yc'.

I. Определение центра тяжести сечения

19

4. Задания для самостоятельной работы

Для выполнения расчетно-графической работы «Геометрические характеристики плоских сечений» из таблицы 1 необходимо выбрать расчетную схему, а из таблицы 2 взять необходимые данные.

Таблица 1

20

Таблица 2