5903

111

Лабораторная работа № 8

НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ. УСЛОВИЕ ПРОЧНОСТИ. ПОДБОР СЕЧЕНИЯ.

4.Введение. Цель работы

Вобщем случае прямого поперечного (простого) изгиба в поперечном сечении балки возникают нормальные и касательные напряжения (рис. 6, а) [1, 2]. Нормальные напряжения определяют по формуле

где J – момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси (н.о.), которая совпадает с главной центральной осью x; y – расстояние от расчетной точки поперечного сечения до нейтральной оси.

Касательные напряжения в симметричных поперечных сечениях открытого профиля приближенно можно вычислить по формуле Журавского

где Sотс – статический момент отсеченной части сечения (выделена штриховкой на рис. 6, а); by – ширина сечения на уровне расчетной точки.

112

Рис. 6. Напряжения при изгибе: а – напряжения в поперечном сечении балки; б – напряженное состояние в точке; в – главные напряжения

Напряженное состояние в точке балки считается плоским (рис. 6, б). В этом случае в точке действуют два главных напряжения 1 и 3 с разными знаками, которые могут быть определены с помощью зависимости

Направление одного из этих главных напряжений определяется углом 0 (рис. 6, в). Значение угла определяется из уравнения

Если угол 0 задает главную нормаль, проходящую через четверть плоскости изгиба yoz, в которой сходятся векторы касательных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках, то это нормаль 1 (рис. 6, в).

Проверка прочности в произвольной точке балки должна выполняться с учетом сложности напряженного состояния, т. е. с учетом всех главных напряжений. Такую проверку часто называют полной. Это делается с использованием одной из под-

113

ходящих теорий прочности. В случае балки из хрупкого материала применимы I теория или теория Мора. Для пластичных материалов рекомендуется использовать III или IV теории.

Например, при использовании III или IV теорий проверка прочности сводится к проверке выполнения условий

где – допускаемое напряжение при одноосном растяжении (основное).

В крайних точках сечения I и II, наиболее удаленных от н. о., напряженное состояние является линейным, а условие прочности преобразуется к виду

где I, II – модульные значения нормальных напряжений в наиболее растянутой или сжатой точках I и II (рис. 6, а); [ ]+, [ ]-– допускаемые напряжения материала балки на одноосное растяжение или сжатие; WI, WII – моменты сопротивления сечения при изгибе относительно растянутой или сжатой точек I и II, которые определяются по формулам

Подбор сечения балки по условию прочности заключается в назначении таких формы и размеров сечения, которые должны удовлетворять условиям

где Мmax – расчетный момент, равный модулю изгибающего момента в опасном сечении.

Опасным считается такое сечение, в котором напряженияI и II имеют наибольшие значения.

114

5.Примеры подбора сечений балок

Встуденческих расчетно-графических работах, как правило, ставятся задачи подбора сечений балок, изготовленных из пластичных металлов – малоуглеродистых сталей, алюминиевых сплавов и т. д. В этих случаях нормы рекомендуют считать допускаемые напряжения на растяжение и сжатие при изгибе оди-

наковыми ([ ]+ = [ ]- = [ ]). Задаваемые формы поперечных сечений можно разделить на следующие группы:

a.массивные сечения типа прямоугольника или круга, размеры сечений выражаются через некоторый параметр;

b.сечения из стандартных прокатных элементов – одиночных или составных;

c.тонкостенные сечения из листовых элементов посто-

янной толщины .

Для каждого варианта формы сечения можно применить оптимальную методику подбора размеров сечения. Некоторые из этих методик иллюстрируются ниже.

Для балки, рассмотренной в примере 3.1, подобрать сечения в виде одиночного прокатного двутавра по ГОСТ 8239-89 и массивного типа в соответствии с рис. 7, а. Материал балки – малоуглеродистая сталь марки Ст3, нормативный коэффициент запаса прочности n = 1,5.

а. Назначаем допускаемое напряжение. Для конструкций из Ст3 в качестве предельного (опасного) напряжения рекомендуется использовать предел текучести т. Принимаем т = 240 МПа в соответствии с [3, 4].

Рис. 7. Массивное сечение к примеру 5.1:

а – эскиз сечения; б – определение геометрических характеристик

Значение допускаемого напряжения [ ] = 240 / 1,5 = 160 МПа. Опасным является сечение Слев, а расчетный момент для подбора сечения Мmax = 18 кН м. Находим нижнюю границу возможных значений момента сопротивления при изгибе по формуле (9)

б. Подбор двутаврового сечения выполняем по сортаменту для прокатных двутавров [3,4]. Принимаем двутавр №16, для которого W = Wx = 109 см3. Это сечение имеет размеры несколько меньше требуемых. Перегрузка балки в этом случае определяется величиной W/W = (113-109)/113 = 0,035 << 1. Обычно такая перегрузка считается приемлемой.

Отметим, что в случае подбора составного сечения, состоящего из нескольких прокатных элементов, необходимо использовать метод последовательных приближений. Он за-

116

ключается в том, что предварительно назначаются некоторые размеры сечения и они проверяются по условиям (8). Если расчетные напряжения I или II чрезмерно отличаются от соответствующих допускаемых напряжений в большую или меньшую стороны, то на следующем этапе расчета размеры прокатных элементов должны быть увеличены или уменьшены, а проверка прочности повторяется. Эти действия выполняются до тех пор, пока расчетные и допускаемые напряжения станут отличаться на 3 – 5 %.

в. Подбор массивного сечения, размеры которого заданы через параметр «а» (рис. 7, а), начинаем с определения геометрических характеристик.

Положение центра тяжести относительно вспомогательной оси x

2 0,75a2 (0,53a)2 3a2 (1,03a)2 10,7a4.

Момент сопротивления сечения при изгибе

Отсюда следует: а 2,98 см. Окончательно принимаем а

=3 см.

Взавершение данного примера заметим, что в случаях, когда материал балки по-разному сопротивляется растяжению и сжатию, размеры сечения надо определять по условиям прочности как в растянутой, так и в сжатой точках опасного сечения.

118

в. Определяем геометрические характеристики. Положение центра тяжести сечения находим приближенно, полагая что ожидаемое значение параметра а будет намного больше толщины листов . Это допущение позволяет пренебрегать величиной при суммировании его с параметром а (а + а). Тогда

Момент инерции поперечного сечения

J 3a 3 (3a)3 2a 3 3 a (1,31a)2 3 a (0,19a)2 2 a (1,69a)2. 12 12 12

На основании допущения о малости толщины листа пре-

небрегаем слагаемыми содержащими 3. Тогда окончательно имеем J = 12,89 a3.

Момент сопротивления сечения при изгибе

Определим отношение величин и а: /a = 0,08/32 = 0,0025 << 1. Полученная величина отношения /a подтверждает правильность допущения о малости и позволяет окончательно принять а = 32 см.

6.Примеры анализа напряженного состояния

иполной проверки прочности

При выполнении задания в данном пункте почти всегда рассматриваются сечения из одиночного двутавра прокатного профиля. Поэтому ниже рассматриваются только двутавровые балки.

120

Для определения касательного напряжения вычисляем статический момент отсеченной части Sотс. На рис. 9, б показана отсеченная часть в упрощенном виде, состоящая из двух прямоугольников 1 и 2. Черными точками показаны центры тяжести прямоугольников.

Sотс = 8,1 0,78 7,6+0,5 4,2 5,1 = 58,7 см3.

На рис. 9, а показаны направления и в точке А.

г. Величины и направления главных напряжений находим по формулам (5) и (6)

1 4,8МПа, 3 18,5 МПа,

0 12arctg2 12arctg2( 1310,7,6) 28036 .

Направления главных напряжений показаны штрихпунктирными стрелками на рис. 9, а, б.

6.2. Произвести полную проверку прочности балки, рассмотренной в предыдущем примере. Материал балки - Ст3, допускаемое напряжение [ ] = 160 МПа. Проверку выполнить по IV теории.

Подбор данного сечения был выполнен ранее в примере 5.1. Он производился по формулам (8) из условий прочности в точках I и II. Поэтому в данном примере производить проверку прочности этих точек нет необходимости.