Otvety_k_ekzamenu_po_dop_glavam

Теории множеств и отношениий

Вопрос №1. Элемент множества, подмножество, пустое и универсальное множества. Операции над множествами и их свойства.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком.

Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п. Совокупность объектов во множестве называется элементами множества. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.

Множество А называется подмножеством множества В, если любой элемент из А является

1. Объединением называется множество, содержащее все элементы, принадлежащие либо множеству A, либо B, либо им обоим. Объединение обозначается через A B;

2.Пересечением множеств A и B называется множество, которое обозначается через A ∩ B и содержит элементы, одновременно принадлежащие и множеству A, и множеству В;

3.Разность между множеством A и множеством B состоит из тех элементов первого множества, которые не принадлежат второму, и обозначается через A \ B;

4.Если A и B — и В А, то разность В\А называется дополнением множества А в В и обозначается

5.Симметрической разностью множеств A и B называется множество: A∆B = (A \ B) (B \ A).

Введенные выше операции над множествами обладают следующими свойствами:

Вопрос №2. Равные и равномощные множества, законы алгебры множеств.

Два множества А и В называются равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А .

Два множества называют равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого. f: A→ B. Понимать это можно так: множества равномощны, если в них одинаковое количество элементов.

10. Закон двойного дополнения

Вопрос №3. Булеан, битова строка, характеристические векторы.

Множество всех подмножеств множества называется булеаном (также степенью множества, показательным множеством или множеством частей) и обозначается или . Ясно, что

и .

Множество В состоит из последовательностей нулей и единиц длины n. Они называются строкой бит или битовой строкой длины n.

Пусть S = {s1, s2,... ,sn} причем элементы множества мы пометили числовыми индексами исключительно для удобства ссылок. Если А В , мы поставим ему в соответствие n-битную строку (b1, b2, …, bn), где bi = 1, если si € А и bi = 0 в противном случае. Такая строка бит называется характеристическим вектором подмножества А.

Вопрос №4. Декартово произведение множеств и его мощность. Декартова степень множества.

Если каждому элементу из множества A сопоставлен в соответствие определенный элемент из

множества B, то возникает множество, составленное из пар элементов множеств A и B декартово произведение множеств. Записывают декартово произведение множеств так:

A × B = {(a; b) | a A, b B}.

Мощность декартова произведения равна: |X1 × . . . × Xn| = |X1| · · · · · |Xn|

Произведения вида A×A,A×A×A,A×A×A×A и т.д. принято записывать в виде степени: A2,A3,A4 (основание степени — множество-множитель, показатель — количество произведений). Читают такую

запись как «декартов квадрат» (куб и т.д.). Существуют и другие варианты чтения для основных множеств. К примеру, Rn принято читать как «эр энное».

Вопрос №5. Мощность множества всех подмножеств конечного множества.

Число подмножеств конечного множества, состоящего из элементов равно . Доказательство проведем методом математической индукции:

1.База. Если , т. е. множество пусто, то у него только одно подмножество – оно само, и интересующее нас число равно .

2.Индукционный шаг. Пусть утверждение справедливо для некоторого n и пусть – множество с кардинальным числом . Зафиксировав некоторый элемент , разделим подмножества множества на два типа:

содержащие ,

не содержащие , то есть являющиеся подмножествами множества .

3.Подмножеств типа (2) по предположению индукции . Но подмножеств типа (1) ровно столько же, так как подмножество типа (1) получается из некоторого и притом единственного подмножества типа (2) добавлением элемента и, следовательно, из каждого подмножества типа (2) получается этим способом одно и только одно подмножество типа (1)

Вопрос №6. Формула включений и исключений для n-множеств.

Формула включений и исключений для n-множеств:

Вопрос №7. Бинарные отношения: способы задания и свойства.

Бинарным отношением между множествами А и В называется подмножество R прямого произведения А х В. В том случае, когда А = В мы говорим просто об отношении R на А. Способ задания бинарного отношения:

1.Матрица бинарного отношения R на множестве Х = {а1, а2,…аn} определяется следующим образом. Порядок матрицы - n, элементы матрицы cij равны:

Свойства бинарных отношений

Отношение называется рефлексивным, если каждый элемент x A находится в этом отношении сам с собой: x x для всех x A;

Отношение называется симметричным, если из того, что x y , следует, что y x;

Отношение называется транзитивным, если из того, что x y и y z, следует, что x z;

Нерефлексивным

Несимметричным;

Нетранзитивным;

Антирефлексивным;

Антисимметричным;

Антитранзитивным.

Вопрос №8. Отношение эквивалентности и теорема о разбиении множества на классы эквивалетности.

Отношение эквивалентности. Некоторые х Х можно рассматривать в определенных случаях как эквивалентные, т.е. когда любой из этих элементов может быть заменен на другой из этого же множества. Например, «числа, делящиеся на 2» или «быть студентом группы №222» и т. д. Отношение эквивалентности обозначается символом «º».

Свойства отношений эквивалентности:

1.Рефлексивность;

2.Симметричность;

3.Транзитивность.

Таким образом, отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Теорема: каждое отношение эквивалентности, определенное на А, соответствует некоторому разбиению множества А. Всякое разбиение множества А соответствует некоторому отношению эквивалентности на множестве А.

Коротко: между классами всех определенных на множестве А отношений эквивалентностей и классом всех разбиений множества А существует взаимнооднозначное соответствие.

Вопрос №9. Кольцо вычетов по модулю 3.

Вопрос №10. Отношения частичного и линейного порядков. Диаграмма Хассе.

Рефлексивное, транзитивное, но кососимметричное отношение R на множестве А называется частичным порядком. Множества с частичным порядком принято называть частично упорядоченными множествами. Линейным порядком на множестве А называется отношение частичного порядка, при котором из любой пары элементов можно выделить предшествующий и последующий.

Непосредственных предшественников можно условно изобразить с помощью графа, известного как

диаграмма Хассе.

Вопрос №11. Отношения «k делитель n» и «А подмножество В».

Функции

Вопрос №1. Обратное отношение, композиция отношений, матрица композиций отношений.

Обратным к P отношением является множество P -1 = { (y, х) : (x,y) € P }, т. е. P -1 связывает те же пары элементов, что и отношение P, но в другом порядке.

Композицией R и S называется бинарное отношение между A и С, которое обозначается

S о R и определяется формулой: S о R = {(а, с): а € А, с € С и aRc, bSс для некоторого b € В}. Композиция - это применение одной функции к результату другой. Новое отношение устанавливает связь между элементами множеств А и С, используя элементы из В в качестве посредников.

Композицию бинарных отношений можно вычислить и с помощью матриц, их определяющих. Имея матрицы двух отношений, мы построим матрицу их композиции. Она называется логическим или булевым произведением матриц. Матрица отношения R строится:

М(i, j) = И если (аi, bj) € R, M{i, j) = Л если (аi, bj) € R.

Матрица отношения S строится:

N(i, j) = И если (bi, cj) € S,

N(i, j) = Л если (bi, cj) € S.

Матрица композиции строится:

Р(i, j) = [М(i, 1) и N(1, j)] или [М(i, 2) и N(2, j)]… или [М(i, n) и N(n, j)].

Вопрос №2. Функция на множестве А, область определения функции, множество значений функции, инъекция, сюръекция и биекция.

Функцией из множества А в множество В называется бинарное отношение, при котором каждый элемент множества А связан с единственным элементом множества В. В графических терминах функция описывается таким графом, у которого из каждой вершины, изображающей элементы множества

A, выходит ровно одна стрелка.

Область определения функции — множество, на котором задаётся функция f : А → B Множеством значений функции f называется подмножество в B, состоявшее из образов всех

элементов a € А. Оно обозначается символом f(A) и формально определяется так: f(А) = { f(x) : х € А}.

Инъекцией или взаимно однозначной функцией называется функция если:

F(a1) = f(a1) = a1=a2 для всех a1,a2 € А.

Функция сюръективна, если множество ее значений совпадает с областью значений. Это означает, что для каждого b € В найдется такой

а € А что b = f(a).

Функция биективна, если она как инъективна, так и сюръективна.

Вопрос №3. Обратимая и обратная функция, необходимое и достаточное условие обратимости функции.

Обратимая функция — это функция, которая принимает каждое своё значение в единственной точке области определения.

Обратная функция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x.

Функция обратима тогда и только тогда, когда она биективна.

Вопрос №4. Принцип Дирихле. Обобщённый принцип Дирихле.

Принцип Дирихле гласит, что если |А| > |В|, то по крайней мере одно значение встретится более одного раза. Проще говоря, найдется пара элементов аi ≠ aj для которых f(аi) = f(aj).

Принцип можно обобщить следующим образом. Рассмотрим функцию f : А → B, где А и В — конечные множества. Если |А| > k|В| для некоторого натурального числа k, то найдется такое значение функции f, которое она будет принимать, по крайней мере, (k + 1) раз.

Комбинаторика

Вопрос №1. Правило суммы, правило произведения, правило взаимно-однозначного соответствия.

Правило суммы гласит, что если А и В — несвязанные события, и существует n1 возможных исходов события A, и n2 возможных исходов события B, то возможное число исходов события

«А или B» равно сумме n1+n2.

Правило произведения утверждает, что если дана последовательность k событий с n1 возможными исходами первого, n2 — второго, и т. д., вплоть до nk возможных исходов последнего, то общее

число исходов последовательности k событий равно произведению n1+n2 + … + nk.

Само решение требует достаточно большого числа вычислений, однако они не очень сложные. Важно понять, как их сократить.

Найдем — число билетов, у которых сумма первых трех цифр равна сумме трех последних цифр и равна . Ясно, что может принимать значения от (три ) до (три “девятки’’).

Сначала докажем, что . В самом деле, каждой последовательности из трех десятичных цифр с суммой цифр от до можно поставить в соответствие последовательность из трех десятичных цифр с суммой цифр следующим образом: каждую цифру в исходной последовательности заменим на цифру . Тем самым, каждой последовательности из трех десятичных цифр с суммой цифр от до будет соответствовать одна и только одна последовательность из трех десятичных цифр с суммой цифр , принимающей значения от до . Значит, таких последовательностей с суммой цифр , где столько же, сколько последовательностей с суммой цифр ().

Далее нам понадобится число способов представления целого неотрицательного числа в виде

суммы трех целых неотрицательных слагаемых. Это можно сделать способами. Действительно, число способов равно числу сочетаний с повторениями из по (или иначе, разбиваем единиц на три группы — три слагаемых, в качестве разделителей используем нули, всего элемента, из которых нужно выбрать нуля, см. сочетания с повторениями).

Число способов получить сумму от до можно вычислить по полученной формуле: : (впрочем, это и так очевидно, , иначе никак),

: ,

: ,

: ,

: ,

: ,

: ,

: ,

: ,

: .

Теперь перейдем к . Здесь все немного сложнее, потому что цифры не существует, и нам нужно из всех способов разбиения числа не три целых неотрицательных слагаемых вычесть те способы, в которых одно из слагаемых равно . Подсчитать эти способы можно довольно легко. Мы первое слагаемое в разложении числа на сумму трех слагаемых положим равным , а дальше подсчитаем количество способов представить оставшееся число () в виде суммы трех целых неотрицательных

слагаемых (этих способов ). Получаем (с учетом того, что слагаемое может стоять на трех разных местах)

: .

Для поступаем точно так же. Сначала находим число способов представить в виде суммы трех целых неотрицательных слагаемых — оно равно , а затем вычитаем те способы, в которых одно из слагаемых больше либо равно десяти — их всего . Итак, : , : ,

: .

Число билетов, у которых сумма первых трех цифр равна сумме последних трех цифр и равна ,

находится как (независимо от способа выбора первых трех цифр с суммой мы можем выбрать три последние цифры, сумма которых также равна ).

Осталось найти общую сумму:

.

Итак, всего есть “счастливых’’ билета.

Вопрос №9. Мультиномиальные коэффициенты.

Мультиномиальные (полиномиальные) коэффициенты — коэффициенты в разложении по мономам :

Группы, кольца, поля

Вопрос №1. Группа, кольцо, поле. Примеры числовых групп, колец, полей.

Множество с алгебраической операцией называется группой, если выполняются следующие условия:

1.Операция в ассоциативна: ;

2.В существует нейтральный элемент ;

3.для каждого элемента существует обратный ему элемент

. Примеры групп:

Все целые, все рациональные, все действительные и все комплексные числа являются группами относительно операции сложения чисел, играющего роль групповой операции умножения;

Все рациональные, все действительные и все комплексные числа, исключая число 0, являются

группами относительно операции умножения чисел.

Если операция коммутативна, то группа называется коммутативной, или абелевой. В противном случае группа называется некоммутативной.

Множество , на котором заданы две операции — сложение и умножение , называется кольцом, если выполняются следующие условия:

1.Относительно операции сложения множество — коммутативная группа, т.е.

операция сложения коммутативна: ;

операция сложения ассоциативна: ;

существует нулевой элемент ;

для каждого элемента существует противоположный ему элемент ;

2.Операция умножения во множестве ассоциативна;

3.Операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности.

Если операция умножения коммутативна: , то кольцо называется коммутативным, в противном случае кольцо называется некоммутативным. Если для операции умножения существует единичный элемент , то говорят, что кольцо — есть кольцо с единицей.

Примеры колец при обычных операциях сложения и умножения кольцом является:

1.Множество целых чисел;

2.Множество рациональных чисел;

3.Множество действительных чисел;

4.Множество рациональных чисел;

5.Множество, состоящее лишь из одного числа 0;

6.Множество четных чисел и вообще множество целых чисел, кратных некоторому числу n;

7.Множество комплексных чисел a + bi с целыми a и b (так называемое кольцо целых комплексных чисел).

Множество , на котором заданы две операции: сложение и умножение , называется полем, если выполняются следующие условия:

1. — коммутативное кольцо с единицей ;

2.Для каждого элемента , отличного от нулевого , существует обратный элемент

.

Поле — это множество, в котором определены четыре операции: сложение, умножение, вычитание и деление. Полями, например, являются множества рациональных и действительных чисел.

Примеры полей:

1.Множество комплексных чисел a + bi с любыми рациональными a, b;

2.Множество всех рациональных функций с действительными коэффициентами от одного или нескольких переменных;

3.Множество из двух элементов, которые обозначим через 0 и 1, при следующем определении операций:

Вопрос №2. Группа подстановок (биекций), циклическая запись подстановок, циклическая группа.

Множество всех подстановок множества X (т.е. биекций X →X) с операцией композиции образуют группу, которая называется симметрической группой или группой подстановок X.

Обычно обозначается S(X). Если X = {1, 2,..., n}, то S(X) обозначается через Sn.

Подстановки удобно записывать в циклической форме. При такой записи индексы, остающиеся на месте, обычно не пишутся. Так, подстановка a имеет следующие переходы индексов: 0 → 0, 1 → 4 → 2 → 1, 3 → 3, 5 → 6 → 5. Следовательно, в циклической форме она запишется следующим образом:

а = = (0)(142)(3)(56) = (0)(142)(3)(56)(7)(8)... = (142)(56).

Группа называется циклической, если существует такой элемент , что любой элемент

записывается в виде для некоторого . При этом элемент называется образующей циклической группы.

Вопрос №3. Действие группы на множестве, орбита элемента, подгруппа, теорема Лагранжа о порядке подгруппы.

Группа действует на , если любых и определено действие элемента на элемент (обозначаемое ), обладающее следующими свойствами:

1.,

2.Для любых выполнено ,

3.Для любого выполнено .

Действие группы: