Численное интегрирование

В общем случае задача численного интегрирования сводится к

нахождению интеграла I = òb f (x)dx с помощью приближенных

a

формул. Численные методы при решении задачи интегрирования используются в следующих случаях:

а) Функция задаётся в виде таблицы значений или её значение вычисляется, как решение другой задачи (функция задаётся неявным видом).

б) Функция задана явно, но первообразную не возможно записать в явном виде.

Методы, используемые для решения задачи численного интегрирования можно разделить на однократные и многократные.

Однократный метод реализуется путем замены интегрируемой функции на ее аппроксимацию, которая имеет явную первообразную. Это дает возможность указать явную формулу для вычисления определенного интеграла.

Многократный метод - используем однократный метод, но весь отрезок интегрирования от а до b делим на n частей с шагом h=(b-a)/n c помощью точек xi = a + ih.

На каждом участке [xi-1, xi] интеграл вычисляется однократным методом, а затем используя свойство аддитивности интегралов общий интеграл вычисляется как сумма интегралов на отдельных участках:

Таким образом, основа формулы многократного метода – формула метода однократного. Смысл использования многократного метода – увеличение точности вычисления. Как правило формулы однократных методов таковы, что их

103

погрешность быстро уменьшается при уменьшении отрезка интегрирования.

Одним из основных вариантов получения формул однократного метода является метод интегрирования интерполяционных полиномов. Если использовать полином Лагранжа, то получаются формулы, которые принято называть формулами Ньютона-Котеса:

* òn Õ (x'− j)dx'

0 i¹ j

этого выражения для коэффициентов необходимо подставить в интеграл формулу полинома Лагранжа для равноотстоящих узлов. Затем делается замена переменных x’= n*(x-a)/(b-a) => и находим выражения, которые необходимо подставить в интеграл (xi–xj)=(b-a)*(i - j)/n, (x–xj)=(b-a)*(x’ - j)/n, dx’ = n*dx/ (b-a).

Свойства коэффициентов Котеса.

интегрирования.

104

Частные случаи формул:

1)Если порядок полинома n=0, то C0 =1 => I= (b-a)*f(a) - формула левого прямоугольника или I= (b-a)*f(b) - формула правого прямоугольника.

формула парабол или Симпсона.

Название этих формул имеет геометрический смысл. Как известно, интеграл равен площади фигуры, ограниченной графиком функции и осью Х. Полином нулевого порядка – константа => его график прямая параллельная оси Х. Это значит, что в методе прямоугольников мы заменяем площадь фигуры прямоугольником. Его основание – отрезок интегрирования [a,b], а высота – значение функции f(x). Значение функции можно выбирать на левом конце отрезка f(a) или на правом f(b).

Для метода трапеций полином имеет 1-й порядок – это прямая, которая имеет наклон (f(a) + f(b)/2). Таким образом, мы заменяем площадь фигуры трапецией.

Для метода Симпсона полином имеет 2-й порядок – это парабола, которая должна проходить через 3 точки. Поэтому, мы вынуждены кроме точек a и b брать еще точку середины отрезка с=(a+b)/2.

Характерно, что формула трапеции может быть получена как среднее (полу сумма) формул левых и правых прямоугольников. Теперь эти формулы можно использовать для получения многократных методов.

105

n− 1

Iпрямn = å f (a + i * h) * h – многократный метод i= 0

левых прямоугольников h= b −n a

n

Iпрn = å f (a + i * h) * h - многократный метод правых

i= 1

прямоугольников

i= 1

Более сложно выглядит формула метода парабол. Здесь необходимо учитывать, что формула Симпсона требует не четного количества узлов (четного количества отрезков n), либо дополнительного включения промежуточных узлов. Таким образом, если число отрезков n- четно, то все узлы кроме крайних делятся на четные и нечетные:

106

Здесь суммирование ведется либо по узлам с четным, либо с нечетным номером.

Замечание. Следует учитывать, что для многократного метода погрешность является суммой погрешностей каждого отрезка. Поэтому, общая погрешность будет больше и даже уменьшится порядок точности.

107

41.Основные виды задач оптимизации и методы их решения. Линейное программирование. Основные этапы решения задачи симплекс-методом.

Постановка задачи оптимизации «Дана некая функция f(x1,x2,…,xn), которую принято называть целевой. Необходимо найти либо максимум, либо минимум этой функции при условии выполнения некоторых дополнительных ограничений. Задачи поиска max и min легко преобразуются друг к другу (умножением целевой функции на -1). Дополнительные ограничения вводятся в

общем виде как некие нелинейные неравенства:

gi(x1,x2,…,xn)³0 pi(x1,x2,…,xn)=0

ограничения могут представляться в виде неравенств, и в виде равенств.

Общая задача оптимизации.

Найти max/min целевой функции f(x1,x2,…,xn) при наличии ограничений в виде

∙неравенств gi(x1,x2,…,xn)³0

∙равенств pi(x1,x2,…,xn)=0

По виду целевой функции и ограничения задачи оптимизации принято делить на следующие виды.

1. Если целевая функция линейная и ограничения тоже линейные, то такая задача называется задачей линейного программирования. Задачи ЛП изучены хорошо, поэтому существует метод линеаризации – преобразования задач нелинейных к линейному виду.

2. Если целевая функция представляется квадратичной формой, то задача называется задачей квадратичного программирования. Нелинейные задачи тоже часто приводят к квадратичной, поскольку решить квадратичную задачу часто легче, чем задачу общего вида.

В настоящее время продолжает развиваться теория

кубического программирования. Она еще до конца не разработана.

108