Минимальная степень n=0, тогда полином просто равен значению функции.

Замечание. Следует учитывать, что интерполяционный полином N-го порядка, заданный на N-1 узле интерполяции единственный. Поэтому вычисления полинома Лагранжа или полинома Ньютона дают одинаковый результат. Но форма полиномов и расчет их отличается, поэтому отличается погрешность и скорость вычисления. Вычисление по схеме Эйткена не выделяют вид полинома, поэтому эта схема вычисляет некий абстрактный интерполяционный полином.

Оценка погрешности для полинома Лагранжа

Используя вид полинома Лагранжа и свойства производных для полинома, можно построить оценку для погрешности интерполяционного полинома. Это не вычислительная, а неустранимая (та, которая зависит от полученных значений) погрешность, связанная с неточностью замены одной функции на другую. Вычислительная погрешность тоже существует и должна быть добавлена к неустранимой. Правда для малых порядков полиномов она гораздо меньше и может не учитываться для полиномов Лагранжа и Ньютона. Для оценки погрешности интерполяционного полинома получают формулу вида:

полином с равными 1 коэффициентами для оценки выберем

93

Полином Ньютона

Ньютон предложил другую форму записи интерполяционного полинома (полиномы Лагранжа, Ньютона – это один и тот же полином, но в разной форме записи). Каждая форма записи определяет свой вариант эффективного вычисления полинома. Для полинома Лагранжа используется прямой метод вычисления. Полином в форме Ньютона получает новое достоинство – возможность последовательного добавления новых узлов, при сравнительно простом пересчете значения (добавляется элемент суммы). Общая форма полинома Ньютона и вычисление неизвестных коэффициентов Ак :

1)Ln (x) = A0 + A1 (x − x0 ) + A2 (x − x0 ) *(x − x) + ....

n= 1

+ An P (x − xi )

i= 0

2)Ln (x0 ) = f0 = A0

3)Ln (x1 ) = f1 = A0 + A1 (x1 − x0 )

4)Ln (x2 ) = f2 = A0 + A1 (x2 − x0 ) + A2 (x2 − x0 ) *(x2 − x1 )

....... .....

Для эффективного вычисления коэффициентов Ак построено несколько схем вычисления – таблицы разделенных и конечных разностей, схема Эйткена и т.д..

94