Karmazin_-_Teoria_Igr_Uchebnik / P3_3

Тема 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ СИМПЛЕКС-МЕТОДОМ

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИСКУССТВЕННОГО БАЗИСА

Для начала работы симплекс-алгоритма необходимо знать некоторое опорное решение задачи. Поэтому обычно каноническую задачу (1)  (3) из темы 2, введением искусственного базиса сводят к решению вспомогательной задачи линейного программирования с очевидным опорным решением, причем с единичным базисом.

Предположим, что задача записана в виде:

(1)

где . Здесь выделены переменные с различными единичными векторами ( таких переменных может и не быть, тогда ).

Рассмотрим вспомогательную задачу:

(2)

Здесь  некоторое достаточно большое положительное число. Переменные называются искусственными переменными, а соответствующие им единичные векторы  искусственными векторами. Задачу (2) будем называть M-задачей. Легко видеть, что задача (2) имеет опорное решение с единичным базисом . Следовательно, можно использовать для решения задачи (2) симплекс алгоритм. При этом найти оптимальное решение или убедиться в неограниченности целевой функции M-задачи можно, не придавая M конкретного значения.

В самом деле, и критерий оптимальности опорного решения, и признак неограниченности целевой функции связаны со знаками оценок , вычисляемых по формуле из темы 2. Так как среди коэффициентов целевой функции задачи (2) есть коэффициенты вида M, и так как M не входит в коэффициенты ограничений, то можно представить в виде:

(3)

где и уже не зависят от M. Из (3) видно, что

(4)

Легко видеть также, что номер s, для которого среди , определяется следующим образом:

для

или же, если все для , то

для .

Теорема 1. Если задача (2) имеет при достаточно больших M неограниченную сверху на допустимом множестве целевую функцию, то целевая функция задачи (1) также не ограничена сверху на допустимом множестве, если оно не пусто. Если же задача (2) разрешима и  некоторое её оптимальное опорное решение, то возможны два случая:

1. , тогда задача (1) не имеет допустимых решений;

2. , тогда вектор является оптимальным опорным решением задачи (1).

Пример 1. Решить симплекс-методом каноническую задачу линейного программирования (2), где

Рассмотрим M-задачу:

Опорным решением M-задачи является вектор с единичным базисом . Будем решать M-задачу симплекс-методом. Результаты вычислений оформляем в виде симплекс-таблиц. В табл. 1 находится симплекс-таблица, соответствующая опорному решению .

Таблица 1

	№	Базис	Сбаз	A0	6	-1	2	-1	1	-M	-M
					A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7
	1	A6	-M	2	-1	"1"	1	0	0	1	0
	2	A4	-1	11	5	2	1	1	1	0	0
	3	A7	-M	6	3	2	0	0	1	0	1
	4	-	-	-11	-11	-1	-3	0	-2	0	0
	5	-	-	-8	-2	-3	-1	0	-1	0	0

В данной таблице в столбце содержатся числа а в 4-й и 5-й позициях этого столбца  числа .

При этом числа определяют по формуле (3), а числа по формуле

.

Анализируя табл. 1, видим, что отрицательными оценками являются , причем  наименьшая из них: . При этом ни для одной из отрицательных оценок все числа соответствующего столбца не являются неположительными. Это означает, что данное опорное решение не оптимально, и нет основания утверждать, что целевая функция задачи не ограничена сверху на допустимом множестве. Таким образом, вектор следует ввести в базис (этот факт отмечен стрелкой сверху). Затем ищем вектор, который следует вывести из базиса. Для этого находим отношения:

Минимальное отношение =2. Следовательно, из базиса выводим первый (по занимаемому месту) вектор . Этот факт отмечен стрелкой слева. Ведущий элемент выделен жирным шрифтом и кавычками.

Заполняем симплекс-таблицу, соответствующую новому опорному решению. Для этого используем основные симплекс-формулы. При этом, сначала, заполняем 1-ю строку таблицы, полагая

Из табл. 2 следует, что текущий базис не оптимальный, в новый базис вводим вектор . Находим отношения:

Следовательно, и вектор выводим из базиса.

Таблица 2

	№	Базис	Сбаз	A0	6	-1	2	-1	1	-M	-M
					A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7
	1	A2	-1	2	-1	1	1	0	0	1	0
	2	A4	-1	7	7	0	-1	1	1	-2	0
¬	3	A7	-M	2	"5"	0	-2	0	1	-2	1
	4	-	-	-9	-12	0	-2	0	-2	1	0
	5	-	-	-2	-5	0	2	0	-1	3	0

Заполняем новую симплекс-таблицу. При этом обращаем внимание на то, что новый базис не содержит искусственных базисных векторов (т.е. и ), а значит 5-я строка симплекс-таблицы не нужна (она будет состоять из нулей) и столбцы , не нужны и в дальнейшем не используются.

Таблица 35

	№	Базис	Сбаз	A0	6	-1	2	-1	1
					A1	A2	A3	A4	A5
	1	A2	-1	12/5	0	1	3/5	0	1/5
¬	2	A4	-1	21/5	0	0	"9/5"	1	-2/5
	3	A1	6	2/5	1	0	-2/5	0	1/5
	4	-	-	-21/5	0	0	-34/5	0	2/5
									¯
¬	1	A2	-1	1	0	1	0	-1/3	"1/3"
	2	A3	2	7/3	0	0	1	5/9	-2/9
	3	A1	6	4/3	1	0	0	2/9	1/9
	4	-	-	35/3	0	0	0	34/9	-10/9
	1	A5	1	3	0	3	0	-1	1
	2	A3	2	3	0	2/3	1	1/3	0
	3	A1	6	1	1	-1/3	0	1/3	0
	4	-	-	15	0	10/3	0	8/3	0

Указанный факт означает, что получено опорное решение непосредственно исходной задачи и дальнейшие итерации симплекс-метода состоят в его улучшении (т.е. решается непосредственно исходная, а не M-задача). Из табл. 3 следует, что все оценки неотрицательны, а значит на 4-й итерации симплекс-метода получено оптимальное опорное решение x^* = (1, 0, 3, 0, 3), а оптимум l^* = 15. Заметим, что нулевые оценки в последней таблице соответствуют только базисным векторам. Откуда следует единственность оптимального опорного решения в данной задаче.

Задание. В задачах 3.1  3.102 для заданных

, и

решить симплекс-методом каноническую задачу линейного программирования

;

3.1 A=; B=.	3.2 A=; B=.
3.3 A=; B=.	3.4 A=; B=.
3.5 A=; B=.	3.6 A=; B=.

27