Http://mech.Math.Msu.Su/department/algebra

7. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля) линейная алгебра: учебные аудитории для проведения лекционных и семинарских занятий, доступ студентов к компьютеру с Microsoft Office и с математическим пакетом Mathcad.

8. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации

Контрольные работы оцениваются по пятибалльной системе. Экзамены оцениваются по системе: неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо, отлично. На практических занятиях контроль осуществляется при ответе у доски и при проверке домашних заданий.

Варианты контрольных работ:

Контрольная работа № 1:

1. Вычислить определитель четвертого порядка разложением по строке либо по столбцу.

2. Решить методом обратной матрицы алгебраическую систему третьего порядка.

3. Определить ранг матрицы 4*5 приведением к ступенчатому виду.

Контрольная работа № 2:

В трехмерном пространстве заданы прямая и плоскость

1. Найти точку пересечения прямой (1) с плоскостью (2). 2. Найти угол между прямой (1) и плоскостью (2). 3. Задать параметрические уравнения прямой (1). 4. Определить расстояние от точки Мо до плоскости (2). 5. Задать уравнение плоскости, проходящей через Мо параллельно плоскости (2).

Типы задач по линейной алгебре для экзамена Матрицы и определители ([1], гл. 1).

1. Вычислить определитель матрицы второго-четвертого порядков.

2. Определить ранг матрицы 4×5.

3. Определить максимальное количество линейно независимых векторов-строк или векторов-столбцов из заданной системы векторов в пространстве .

Системы линейных алгебраических уравнений ([1], гл. 2)..

4. Решить алгебраическую систему третьего порядка

а) методом Крамера;

б) методом обратной матрицы.

5. Решить алгебраическую систему четвертого порядка методом Гаусса.

6. Методом Гаусса найти все решения алгебраической системы уравнений с неквадратной матрицей 4×5.

7. Найти фундаментальную систему решений системы линейных однородных алгебраических уравнений порядка 4×5 или 5×5. Записать общее решение совместной неоднородной системы с той же матрицей.

Аналитическая геометрия на плоскости ([3], гл. 3, §1-4, §6-7).

8. Разделить отрезок на плоскости в заданном отношении.

9. Построить уравнение прямой на плоскости

а) по двум точкам;

б) по точке и направляющему вектору;

в) по точке и вектору, перпендикулярному искомой прямой;

г) по угловому коэффициенту и точке.

10. Определить угол между двумя прямыми на плоскости.

11. Определить расстояние от заданной точки до прямой на плоскости.

12. Определить расстояние между параллельными прямыми.

Комплексные числа[3], гл. 9).

13. Найти корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами и с отрицательным дискриминантом.

14. Для пары комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, вычислить сумму, разность, произведение и частное.

15. Комплексное число, записанное в алгебраической форме, представить в тригонометрической форме.

16. Возвести в натуральную степень или извлечь корень из заданного комплексного числа.

Аналитическая геометрия в пространстве ([3], гл. 10, §1-9).

17. Для пары векторов в трехмерном пространстве проверить ортогональность либо коллинеарность.

18. Для трех векторов в трехмерном пространстве проверить компланарность.

19. Выписать каноническое уравнение прямой, заданной в трехмерном пространстве пересечением пары плоскостей.

20. Определить угол между двумя прямыми в трехмерном пространстве.

21. Построить уравнение прямой в трехмерном пространстве

а) по двум точкам;

б) по точке и направляющему вектору;

в) по точке и параллельной прямой.

22. Определить угол между прямой и плоскостью.

23. Определить угол между двумя плоскостями.

24. Определить расстояние от заданной точки до плоскости в трехмерном пространстве.

25. Определить расстояние между параллельными плоскостями.

26. Построить уравнение плоскости по

а) трем заданным точкам;

б) двум заданным точкам и вектору, параллельному искомой плоскости;

в) одной заданной точке и двум векторам, параллельным искомой плоскости;

г) одной заданной точке и прямой, перпендикулярной искомой плоскости.

д) прямой, принадлежащей искомой плоскости, и одной заданной точке вне этой прямой;

е) двум параллельным прямым.

27. Проверить параллельность прямой и плоскости. Определить расстояние между ними.

Линейные пространства, линейные операторы, квадратичные формы

28. В заданной системе векторов найти максимальную линейно независимую подсистему.

29. В арифметическом пространстве , данывекторов. Показать их линейную независимость. Для данного векторанайти представление в базисе.

30. Найти базис и размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений снеизвестными. Выписать общее решение системы.

31. Для данного линейного отображения (например, поворот координатных осей на заданный угол) написать матричное представление в заданном базисе. Найти матрицу обратного преобразования, а также матрицу данного отображения в новом базисе.

32. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы второго или третьего порядка.

33. Привести матрицу линейного оператора к диагональному виду, если это возможно.

34. Заданную квадратичную формы двух или трех переменных привести к каноническому виду выделением полных квадратов.

35. Для данной квадратичной формы двух или трех переменных найти ортонормированный базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид. Выписать матрицу перехода и канонический вид квадратичной формы.