III этап. Деление на двузначное и трехзначное число.
При делении многозначных чисел на двузначное и трехзначное число пользуются свойством деления суммы на число. Для нахождения цифр частного пользуются приемом замены делителя разрядным числом. Во всех предыдущих случаях не приходилось изменять делитель, а поэтому найденную цифру частного записывали сразу. При делении же на двузначное и трехзначное число, округлив делитель, получаем так называемую пробную цифру, которую надо проверять.
При ознакомлении с делением на двузначное число сначала решаются примеры на деление без остатка и с остатком трехзначных чисел, когда цифру частного находят в результате одной пробы и когда в частном получают однозначное число. Здесь ученики знакомятся с приемом замены делителя ближайшим разрядным числом. Рассмотрим объяснение приема вычисления:
315 разделить на 63. Чтобы найти цифру частного, заменим делитель ближайшим меньшим разрядным числом 60 и будем делить 315 на 60, для этого достаточно разделить 31 на 6, получим 5.
Цифра 5 не окончательная, а пробная, потому что надо было 315 делить на 63, а не на 60. Цифру 5 проверим: умножим 63 на 5 (устно), получим 315, значит, цифра 5 верна.
Далее рассматриваются случаи деления четырех-, пяти- и шестизначных чисел на двузначные, когда цифра частного получается в результате одной пробы. Здесь можно цвести краткое объяснение, например: 3456 разделить на 54.
Первое неполное делимое —345 дес, в частном 2 цифры. Делю 34 на 5, получится 6. Умножу 54 на 6, получится 324. Вычту 324 из 345, получится 21. Делю 216, для этого делю 21 на 5, получится 4. Умножу 54 на 4, получится 216. Частное 64. Закрепив знание рассмотренного приема, надо включить такие случаи деления трехзначных чисел на двузначные, когда в частном получается однозначное число, а цифра частного находится в результате нескольких проб. При этом важно, чтобы дети поняли необходимость проверки цифры частного и овладели приемом такой проверки.
Пробная цифра частного проверяется устно, и в этом основная трудность деления на двузначное число.
После того как будут рассмотрены разнообразные случаи деления трехзначных чисел, можно переходить к делению любых четырех-, пяти- и шестизначных чисел. При этом наряду с общими случаями деления без остатка и с остатком включаются частные случаи и объяснение постепенно сокращается.
Покажем, как следует объяснять письменное деление многозначного числа на двузначное:
4042 разделить на 47.
Первое неполное делимое — 404 десятка, в частном 2 цифры. Найду цифру десятков: разделю 40 на 4, получится 10, но 10 брать нельзя, так как в разряде наибольшее число единиц — 9. Беру 9. Проверю: умножу 47 на 9, получится 432, цифра 9 не подходит (можно так проверить подбор цифры: 4 умножу на 9, получится 36, да от умножения единиц еще 6, всего 42, а в неполном делимом только 40, значит, цифра 9 не подходит). Беру 8. Проверяю: умножу 47 на 8, получится 376. Цифра 8 подходит и т. д.
В школьной практике часто двузначный делитель в одних случаях заменяют меньшим разрядным числом, а в других большим разрядным числом в зависимости от того, к какому из указанных чисел делитель ближе. Так, делитель 63 заменяют числом 60, а делитель 67 — числом 70.
Опыт показывает, что при письменном делении на двузначное число целесообразнее в большинстве случаев заменять делитель ближайшим меньшим разрядным числом. При этом меньше изменений вносится в делитель: сохраняется число десятков, изменяется только число простых единиц; не надо усваивать два способа нахождения цифр частного, отпадает необходимость в выборе нужного способа. Прием замены делителя меньшим разрядным числом становится универсальным. Самое главное преимущество состоит в том, что легче обнаружить неправильный выбор частного в случае уменьшения делителя (часто достаточно выполнить только умножение, и получаем число больше неполного делимого), чем в случае его увеличения (здесь обязательно, кроме умножения, приходится выполнять и вычитание).
Прием деления на трехзначное число аналогичен приему деления на двузначное, при этом делитель заменяется для нахождения цифр частного трехзначным числом. Например, при делении на 643 делитель заменяем числом 600 и цифры частного находим путем последовательного деления числа на 100 и на 6.
Цифра частного проверяется устно, и в этом основная трудность деления. Можно объяснить детям, что при трехзначном делителе нет надобности умножать на цифру частного все трехзначное число. Достаточно умножить только две цифры высших разрядов и сопоставить полученный результат с неполным делимым. Такого рода устные вычисления учащимся III класса доступны.
Навыки письменного умножения и деления, особенно умножения и деления на двузначное и трехзначное число, являются сложными. Поэтому, чтобы они успешно формировались, ученик должен выполнить большое количество разнообразных упражнений в течение длительного времени. Эта работа продолжается до конца III класса и в IV классе.
Методика изучения приемов внетабличного умножения в концентре 100.
Случаи внетабличного умножения и деления изучаются в следующем порядке:
свойства умножения числа на сумму и суммы на число;
умножение и деление чисел, оканчивающихся нулем, вводится умножение двузначного числа на однозначное и умножение однозначного числа на двузначное;
свойство деления суммы на число, на основе которого раскрывается прием деления двузначного числа на однозначное;
деление двузначного числа на двузначное.
При изучении этой темы вводится проверка умножения и деления.
Методика изучения свойств умножения и деления суммы на число и умножения числа на сумму сходна с той, которая уже использовалась в I классе при раскрытии свойств прибавления числа к сумме, вычитания числа из суммы и др.
Подготовкой к изучению свойства умножения числа на сумму будет хорошее знание конкретного смысла действия умножения и правил о порядке выполнения арифметических действий в выражениях без скобок.
При знакомстве со свойством умножения числа на сумму можно использовать такой прием. Учащиеся читают выражение 4 * (3 + 2) и вычисляют его значение уже известным способом:
4 * (3 + 2) = 4 * 5 = 20
Этот способ полезно еще раз пояснить с помощью следующего рисунка:
Пользуясь этим же рисунком, ученики могут отыскать и другой способ: сначала узнаем, сколько черных кружков (4 * 3), потом сколько белых кружков (4 * 2), наконец, сколько всего кружков (4 * 3 + 4 * 2).
Запись: 4 * (3 + 2) = 4 * 3 + 4 * 2 = 12 + 8 = 20
В этом случае умножили число на каждое слагаемое и полученные результаты сложили. Сравнив полученные результаты при решении примера разными способами, учащиеся замечают, что они одинаковые.
На этом основании они делают вывод, что умножать число на сумму можно разными способами, получая одинаковые результаты: можно вычислить сумму и умножить число на полученный результат, а можно умножить число на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
Для закрепления знания свойства предлагаются такие упражнения:
Вычислите результат разными способами: 10 * (6 + 2). Дети решают пример двумя известными им способами.
Вычислите результат удобным способом:
8 * (10 + 2) 9 * (6 + 4) 5 * (4 + 2)
Ученики устанавливают, что
в первом случае удобнее умножить число 8 на каждое слагаемое и сложить результаты; во
втором— вычислить сумму и умножить на нее число 9;
в третьем — оба способа одинаково удобны.
3) Замените сумму произведений произведением числа на сумму:
6 * 4 + 6 * 5.
Рассуждение: число 6 берется слагаемым 4 раза, а затем это же число 6 берется слагаемым еще 5 раз, всего (4 + 5) раз, можно записать:
6 * 4 + 6 * 5 = 6 * (4 + 5).
Надо обратить внимание учащихся на условие, при котором такая замена возможна, т.е. на равенство первых множителей. Поэтому полезно предлагать и такие произведения, в которых первые множители разные, например:
4 * 3 + 5 * 6.
Дети должны убедиться, что такую сумму двух произведений нельзя заменить произведением числа на сумму.
Аналогично вводятся другие свойства — умножение суммы на число и деление суммы на число.
Заметим, что учащиеся, ознакомившись со свойствами умножения числа на сумму и суммы на число, иногда смешивают их с ранее усвоенными свойствами прибавления суммы к числу и числа к сумме, например:
(10 + 6) * 4 = 10 * 4 + 6.
Здесь учащиеся умножили на число 4 только первое слагаемое, а затем прибавили второе, т.е. они поступили так же, как и прибавляя число к сумме. Поэтому полезно вводить специальные упражнения, которые предупредили бы смешение изученных свойств.
Так, можно предлагать решение и последующее сравнение пар примеров вида: (6 + 4) * 3 и (6 + 4)+3;
целесообразно включать упражнения, в которых требуется закончить запись, например:
8 * (10 + 2) = 8 * 10 + …
8 + (10 + 2) = (8+10) +. . . и др.
При сравнении надо выделить существенное различие: прибавляя сумму к числу, прибавляем к нему одно из слагаемых и к результату прибавляем другое слагаемое, а при умножении числа на сумму умножаем число на каждое из слагаемых и результаты складываем.
Изученные свойства лежат в основе соответствующих вычислительных приемов внетабличного умножения и деления.
Сначала вводятся приемы для случаев умножения и деления чисел, оканчивающихся нулем. Решение таких примеров сводится к умножению и делению однозначных чисел, выражающих число десятков, например:
20 * 3
2 дес. * 3 = 6 дес.
20 * 3 = 60
При умножении однозначных чисел на двузначные разрядные числа используется прием перестановки множителей (4 * 20 = 20 * 4).
Деление двузначных чисел, оканчивающихся нулем, выполняется способом подбора частного на основе связи между компонентами и результатом деления.
Например, чтобы 60 разделить на 20, надо подобрать такое число, при умножении которого на 20 получится 60.
Сначала пробуем; 2 — мало, 3 — подходит, так как 20 * 3 = 60.
Значит, 60 : 20 = 3.
После изучения свойства умножения числа на сумму и суммы на число вводятся приемы, основанные на этих свойствах.
Прием умножения двузначного числа на однозначное не требует особых разъяснений. Учащиеся могут самостоятельно отыскать способ решения новых примеров: 12 * 4, 24 * 3 или же самостоятельно объяснить ход решения нового примера по развернутой записи его решения:
12 * 3 = (10 + 2) * 3 = 10 * 3 + 2 * 3 = 36
Учащиеся должны сами выделить три основных этапа, из которых складывается решение примера:
заменить первый множитель суммой разрядных слагаемых;
прочитать полученное выражение (10 + 2) * 3 и
вычислить произведение удобным способом: умножить на число каждое слагаемое в отдельности и полученные произведения сложить.
Можно использовать и переместительное свойство умножения:
6 * 12 = 12 * 6 = 72
Полезно сопоставить умножение двузначного числа на однозначное и умножение однозначного на двузначное, обратив внимание учащихся на большое сходство этих случаев умножения. Целесообразно также сравнить приемы умножения и сложения, например:
3 * 14 = 3 * (10 + 4) = 3 * 10 + 3 * 4 = 42
30 +14 = 30 + (10 + 4) = 30 + 10 + 4 = 44
При делении двузначного числа на однозначное используется свойство деления суммы на число. Этот случай внетабличного деления усваивается учащимися труднее, чем умножение двузначного числа на однозначное. Дело осложняется тем, что при делении двузначного числа на однозначное встречаются разные группы примеров:
46 : 2 = (40 + 6) : 2 = 40 : 2 + 6 : 2 = 20 + 3 = 23
50 : 2 = (40 + 10) : 2 = 40 : 2 + 10 : 2 = 20 + 5 = 25
72 : 6 = (60 + 12) : 6 = 60 : 6 + 12 : 6 = 10 + 2 = 12
В первом примере (46 : 2) приходится делимое заменять суммой разрядных слагаемых (40 + 6),
во втором (50 : 2) — суммой удобных слагаемых, которыми будут разрядные двузначные числа (40 + 10),
в третьем (72 : 6) — суммой двух чисел, одно из которых — двузначное разрядное число, а другое — двузначное неразрядное (60 + 12).
Во всех примерах данные слагаемые будут удобными в том смысле, что при делении их на данный делитель получаются разрядные слагаемые частного. Именно нахождение удобных слагаемых часто затрудняет учащихся.
После подготовительной работы сначала рассматриваются примеры первой группы, при решении которых приходится делимое заменять суммой разрядных слагаемых, например: 36 : 3 = (30 + 6) :3 = 30 : 3 + 6 : 3 = 12. Этот материал для детей является легким, а поэтому они могут сами установить способ решения новых примеров или дать объяснение по развернутой записи их решения.
Затем изучаются примеры второй группы, при решении которых приходится делимое заменять суммой удобных слагаемых, например:
30 : 2 = (20 + 10) :2 = 20 : 2 + 10 : 2 = 15
78 : 6 = (60 + 18) : 6 = 60 : 6 + 18 : 6 = 13
Здесь подобрать удобные слагаемые труднее, чем в примерах первой группы. Поэтому следует уделить большое внимание замене делимого суммой удобных слагаемых и выбору самого удобного способа. Так, пример 42 : 3 может быть решен разными способами:
42 : 3 = (30 + 12) : 3 = 30 : 3 + 12 : 3 = 14
42 : 3 = (27 + 15) : 3 = 27 : 3 + 15 : 3 = 14
42 : 3 = (24 + 18) : 3 = 24 : 3 + 18 : 3 = 14 и др.
К самому удобному способу здесь надо отнести первый способ, так как при делении удобных слагаемых (30 и 12) получаются разрядные слагаемые частного (10 + 4 = 14).
Учащимся надо сказать, что при делении двузначных чисел на однозначные делимое заменяем суммой удобных слагаемых, при этом первым удобным слагаемым надо выделять число, которое выражает наибольшее число десятков, делящееся на делитель; вычтя это число из делимого, найдем второе удобное слагаемое, например:
96 : 4 = (80 + 16) : 4 = 80 : 4 + 16 : 4 = 24
Работе над приемами для случаев вида 96 : 4 надо уделить особое внимание, поскольку они являются наиболее трудными для усвоения.
К внетабличному делению относится также деление двузначного числа на двузначное. В этом случае, как и при делении на двузначные разрядные числа, используется способ подбора частного, который основан на связи между компонентами и результатом действия деления: подбирают частное, а затем умножают на него делитель и смотрят, получилось ли делимое. Так, при решении примера 81 : 27 ставится вопрос:
На какое число надо умножить делитель 27, чтобы получить делимое 81? (На число 3.)
Значит, 81 : 27 = 3.
При делении двузначного числа на двузначное следует показать детям некоторые приемы подбора частного.
Учащиеся сначала находят частное медленно, берут числа по порядку: 2, 3, 4 и т.д.
Постепенно число проб будет сокращаться, если учитель будет учить детей подбирать частное.
Так, при делении 77 на 11 нет необходимости перебирать много чисел, здесь надо внимательно посмотреть на делимое и делитель, и будет ясно, что в частном получится 7.
При делении 90 на 15 также после первой пробы (15 * 2 = 30) полезно сравнить числа 30 и 90. (Если 2 раза взять по 15, то получится 30, а если нам нужно, чтобы получилось 90? Сколько же раз надо взять по 15? 2 раза, еще 2 раза и еще 2 раза, а всего 6 раз. Проверим: 15 * 6 = 90, значит, 90 : 15 = 6.)
Для формирования навыка подбора частного большое значение имеют также упражнения тренировочного характера и знание наизусть некоторых случаев внетабличного умножения.
В процессе изучения внетабличного умножения и деления вводится проверка умножения и деления. Деление ученики проверяют устно. Если при делении произведения на один из двух множителей не получится другой множитель, значит, в вычислениях допущена ошибка.
Понятие простой задачи и методика обучения их решению.
Под задачей в начальном курсе математики подразумевается специальный текст, в котором обрисована некая житейская ситуация, охарактеризованная численными компонентами. Ситуация обязательно содержит определенную зависимость между этими численными компонентами. Таким образом, текст задачи можно рассматривать как словесную модель реальной действительности.
Непосредственно ситуация обычно задается в той части задачи, которая называется условием.
Завершается ситуация требованием найти неизвестный компонент. Требование может быть выражено в форме вопроса. Одни численные компоненты в задаче заданы – они называются данные, другие необходимо найти – их называют искомые.
В условии задачи указываются связи между данными числами, а также между данными и искомым — эти связи определяют выбор арифметических действий, необходимых для решения задачи.
Решить задачу — значит раскрыть связи между данными и искомым, заданные условием задачи, на основе чего выбрать, а затем выполнить арифметические действия и дать ответ на вопрос задачи.
Согласно этому определению, для полноценной работы над задачей учащийся должен:
1) уметь хорошо читать и понимать смысл прочитанного;
2) уметь анализировать текст задачи, выявляя его структуру и взаимоотношения между данными и искомым;
3) уметь правильно выбирать и выполнять арифметические действия (и, следовательно, быть хорошо знакомым с ними);
4) уметь записывать решение задачи с помощью соответствующей математической символики.
Переход от жизненной ситуации к арифметическим действиям определяется в разных задачах различными связями между данными и искомым.
Все арифметические задачи по числу действий, выполняемых для их решения, делятся на простые и составные. Задача, для решения которой надо выполнить одно арифметическое действие, называется простой. Задача, для решения которой надо выполнить 2 и более действий, связанных между собой, называется составной.
Простые задачи можно разделить на ВИДЫ:
в зависимости от действий, с помощью которых они решаются (простые задачи, решаемые сложением, вычитанием, умножением, делением),
в зависимости от тех понятий, которые формируются при их решении (позже мы подробнее рассмотрим эти виды).
Для составных задач нет такого единого основания классификации, которое позволило бы с пользой для дела разделить их на определенные группы. Однако по методическим соображениям целесообразно выделить из всего многообразия задач некоторые ГРУППЫ, сходные
либо математической структурой (например, задачи, в которых надо сумму разделить на число),
либо способом решения (например, задачи, решаемые способом нахождения значения постоянной величины),
либо конкретным содержанием (например, задачи, связанные с движением).
В начальном курсе математики рассматриваются простые задачи и составные преимущественно в 2-4 действия.
Научить детей решать задачи – значит, научить их устанавливать связи между данными и искомым и в соответствии с этим выбирать, а затем и выполнять арифметические действия.
Т.О., центральным звеном в умении решать задачи, которым должны овладеть учащиеся, является усвоение связей между данными и искомым.
От того, насколько хорошо усвоены учащимися эти связи, зависит их умение решать задачи.
Учитывая это, в начальных классах ведется работа над ГРУППАМИ ЗАДАЧ, решение которых основывается на одних и тех же связях между данными и искомым, а отличаются они конкретным сюжетным содержанием и числовыми данными. Группы таких задач будем называть ЗАДАЧАМИ ОДНОГО ВИДА. Работа над задачами не должна сводиться к натаскиванию учащихся на решение задач сначала одного вида, затем другого и т.д.
Главная ее цель – научить детей осознанно устанавливать определенные связи между данными и искомым в разных жизненных ситуациях, предусматривая постепенное их усложнение.
Чтобы добиться этого, учитель должен предусмотреть в методике обучения решению задач каждого вида такие ступени:
подготовительную работу к решению задач;
ознакомление с решением задач;
закрепление умения решать задачи.