Аналитические методы расчета

Аналитическими называются методы решения, базирующиеся на аналитическом интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих состояние нелинейной цепи с использованием аналитических выражений характеристик нелинейных элементов.

Основными аналитическими методами, используемыми при решении  широкого круга задач электротехники, являются:

–  метод условной линеаризации;

–  метод аналитической аппроксимации;

–  метод кусочно-линейной аппроксимации.

 

Метод условной линеаризации

Метод условной линеаризации применяется в случаях, когда в нелинейном уравнении одно из слагаемых в левой части мало по сравнению с другими, вследствие чего, без внесения существенной погрешности, его можно соответствующим образом линеаризовать. Благодаря этому все уравнение становится линейным для одной из переменных, определяющих характеристику нелинейного элемента, например. С использованием этой характеристики находится затем временная зависимостьдля второй определяющей ее переменной по алгоритму:

.

Метод отличается простотой, однако получаемое с его использованием решение является достаточно приближенным, вследствие чего он в основном применяется для ориентировочных расчетов.

В качестве примера использования метода определим максимальное значение тока в цепи  на  рис. 1, если ,  где;;;. Вебер–амперная  характеристика  нелинейной  катушки  индуктивности  приведена  на  рис. 2.

 

1.  Запишем  уравнение  состояния  цепи  после  коммутации

.

(1)

2. Используя  метод  условной  линеаризации, определим  второе слагаемое в левой  части (1) как

,

(2)

где ;и-  амплитуды  потокосцепления  и  тока  в  установившемся  послекоммутационном  режиме;.

3. Подставив  (2)  в  (1),  получим  линейное  дифференциальное  уравнение

,

решением  которого  на  основании  классического  метода  расчета  переходных  процессов  является

.

4.  Принужденная  составляющая  определяется  соотношением

,

где  .

Для  определения  ипредположим (с  последующей  проверкой),  что.  При  этом  условиии.  По  зависимостидля  полученного  значениянайдем.Тогдаи,  т.е.  сделанное  выше  предположение  корректно.

Следует  отметить,  что  в  общем  случае  значения  имогут  быть  определены,  например,  итерационным  методом.

 Определив  ,  запишем

.

Поскольку  по  условию  ,  то.

Таким  образом,

.

(3)

6.   Не  решая  трансцендентное  уравнение,  будем  считать,  что  максимальное  значение  потокосцепления  имеет  место  примерно  через  полпериода  своего  изменения,  т.е.  при  .  Подставив  это  время  в  (3),  получим:

По  кривой  длянайдем  максимальное  значение  тока,  которое  враз  превышает  амплитуду  тока  в  установившемся  послекоммутационном  режиме.  Напомним,  что  для  линейной  цепи

Примечания: 1.  Обычно  при  использовании  метода  условной  линеаризации  для  расчета  переходного  процесса  при  подключении  нелинейной  катушки  индуктивности  к  источнику  синусоидального  напряжения  эквивалентная  линейная  индуктивностьопределяется  исходя  из  амплитудных  значений  тока  и  потокосцепления  в  установившемся  послекоммутационном  режиме,  как  это  и  было  сделано  в  рассмотренном  выше  примере.  Однако  если  необходимо  оценить  максимально  возможное  значение  тока,  то  величину  индуктивности  следует  определять  по  начальному  участку  вебер–амперной  характеристики,  гдемаксимальна.

2. Если  сопротивление  резистора  в  ветви  с  нелинейной  катушкой  достаточно  велико,  так что  ,  то  следует  пренебречь  нелинейностью  слагаемого,  положив.  В  этом  случае  нелинейное  уравнение  (1)  сводится  к  линейному  вида

,

и  соответственно  кривая  определяется  по  кривыми.