Математическая статистика

Генеральная совокупность – большое множество объектов (в идеале все), обладающие данным признаком; множество значений признака, каждый из которых проявляется у соответствующего объекта.

Выборочная совокупность – выборка – часть генеральной совокупности.

Объём выборки – число отобранных в выборку значений. Обозначается N.

Варианта – одно из значений, отобранных выборку.

Репрезентативная выборка – выборка, точно отражающая основные закономерности генеральной совокупности (случайный отбор вариант, достаточно большой объём).

Простой статистический ряд – последовательность вариант, перечисленная в порядке их получения.

Ранжированный статистический ряд – последовательность вариант, расположенных в порядке их возрастания (убывания).

Вариационный ряд – последовательность расположенных в порядке возрастания вариант с указанием соответствующих им частот.

Относительная частота – отношение абсолютной частоты варианты к объёму выборки. Обозначается: W.

- условие нормировки.

Графическое изображение выборки – полигон частот или относительных частот (ось абсцисс – значения Х, ось ординат – частоты или относительные частоты).

Алгоритм построения интервального вариационного ряда (если N велик):

1. определение размаха распределения Х_max – X_min

2. определение разумного числа интервалов

3. расчёт ширины интервала (шага разбиения)

4. нахождение границ интервалов

5. подсчёт числа вариант в каждом интервале.

Графическое изображение интервального вариационного ряда – гистограмма частот, относительных частот или плотности – это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основанием каждого прямоугольника является соответствующий интервал, а высота равна частоте, относительной частоте или плотности.

Плотность относительных частот:

(кривая, проведённая через середины вершин всех прямоугольников – аналог кривой распределения)

Характеристики выборки:

Выборочная средняя – среднее арифметическое всех вариант:

Выборочная дисперсия – характеризует рассеяние вариант вокруг среднего значения выборки (вокруг средней выборочной):

Выборочное среднеквадратическое отклонение:

Мода – наиболее часто встречающаяся варианта. Обозначается Мо.

Медиана – варианта, находящаяся в середине ранжированного ряда, делящая его пополам. Обозначается Ме.

Точечные оценки параметров распределения (приближ. с погрешностью и случайные):

Приближённым значением средней генеральной является средняя выборочная:

Приближённым значением генеральной дисперсии явл. исправленная выб. дисп.

Приближённым значением генерального среднеквадратического отклонения является стандартное отклонение: .

Доверительная вероятность () – вероятность того, что параметр генеральной совокупности будет заключён в пределах окрестности своей точечной оценки.

Доверительный интервал – случайный интервал с доверительной вероятностью , включающий данный параметр.

Интервальная оценка – оценка параметра с помощью указания его доверительного интервала.

Уровень значимости () – вероятность того, что доверительный интервал не включит соответствующий параметр генеральной совокупности. .

Алгоритм построения доверительного интервала для средней теоретической нормально распределённой величины:

1. вычислить

2. по заданной рассчитать значение

3. по значению в таблице (Стьюдента при малых N) распределения найти значение t.

4. рассчитать точность оценки по формуле:

5. определить границы доверительного интервала: ()

Определение минимального объёма выборки, характеризующего оценку средней теоретической с заданной точностью и надёжностью:

«Нулевая» гипотеза – исходная гипотеза.

Критерий – контрольная случайная величина, значения которой зависят от значений сравнивающих параметров.

Наблюдаемые значения – значения, вычисляемые по результатам данной выборки.

Критические значения – значения, определяемые исходя из надёжности.

Критерий согласия Пирсона (хи - квадрат): , где

m – число интервалов

n_k – частота

n_k^/ - теоретическая частота, , где

- вероятность попадания значений исследуемой величины в к-ый интервал.

Критическое хи-кв. находят по и по числу степеней свободы .

Если , то гипотеза принимается.

Оценка достоверности различия выборочных средних:

Нулевая гипотеза: мат ожидания одинаковы

Критерий: T – критерий.

, причём S² – исправленные выборочные дисперсии.

Если , то гипотеза о равенстве теоретических средних верна.

Функциональная связь – каждому значению Х соответствует опред. значение У.

Статистическая связь – изменение значений Х ведёт к изменению закона распределения У.

Корреляционная связь – изменение значений одной величины приводит к изменению среднего значения другой.

Коэффициент корреляции

Если k=0,то связи нет. Если k- корреляционная связь есть.

Свойства коэффициента корреляции:

. Если 1 – линейная связь. Если k > 0 – положит. связь.

Если k < 0 – отрицательная связь.

Выборочный коэффициент корреляции:

Слабая связь – меньше 0,3; сильная – выше 0,7; ост – средняя.

Множественная корреляция – связь между 3 и более величинами – определяют при помощи частного коэффициента корреляции с исключённым влиянием остальных величин.