19.Масса системы. Центр масс.

Масса системы равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образующих систему: М=m. Геометрическая точка С, координаты которой определяются формулами x(c)=(1/M)m(k)x(k), y(c)=(1/M)m(k)y(k), z(c)=(1/M)m(k)z(k), называется центром масс или центром инерции механической системы. Если центр масс определяется радиус- вектором, то получается: r(c)=(1/M)m(k)r(k), где r(k)- радиус- векторы точек, образующих систему.

20.Момент инерции тела относительно оси. Радиус инерции.

Моментом инерции тела (системы) относительно данной оси Oz( или основным моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек тела( системы) на квадраты их расстояний от этой оси: Jz=m(k)h(k)^2. В случае сплошного тела правильной формы: Jz=(h^2)dm (по объему)=(h^2)dV. Радиусом инерции тела относительно оси Oz называется линейная величина (z), определяющаяся равенством: Jz=М(z)^2 радиус инерции- равен расстоянию от оси той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела.

21.Моменты инерции однородных тел.

1. Тонкий однородный стержень( длина l и масса М, относительно оси перпендикулярной стержню и проходящей через его конец А): J(A)=(x^2)dm=(интеграл от 0 до l)=(x^2)dx= (l^3)/3(где =M/l)=>J(A)=(Ml^2)/3.

2. Тонкое круглое однородное кольцо( радиус R массы М, относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр): Jz=m(k)R^2=(m(k))R^2=MR^2.

3. Круглая однородная пластина или цилиндр( радиус R массы М, относительно оси перпендикулярной пластине и проходящей через ее центр): выделим элементарное кольцо радиусом r и шириной dr. Площадь этого кольца 2rdr, а масса dm=2rdr, где =M/(r^2)- масса единичной площади пластины. J(С)=(r^2)dm=2(r^3)dr(от 0 до R)= (R^4)/2=(MR^2)/2

4.Сплошная прямоугольная пластина массой М со сторонами a,b x-направлена по a, y-по b: J(x)=(Mb^2)/3, J(y)=(Ma^2)/3

5. Круглый конус: J(z)=0.3MR^2

6. Шар: J(z)=0.4MR^2.

22. Моменты инерции тела относительно параллельных осей. Теорема Гюйгенса.

Проведём через центр масс C оси: Cx`y`z`, и через любую т. O на оси Cx` – оси Oxyz (Oy||Cy`, Oz||Cz`). Расстояние между Cz` и Oz=d. Тогда: Joz=mk(xk^2+yk^2), Jcz`=mk(x`k^2+y`k^2) (xk= x`k –d, xk^2=x`k^2+d^2-2x`kd, yk=y`k)->Joz=mk(x`k^2+y`k^2)+( mk)d^2-(mkx`k)2d (mk(x`k^2+y`k^2)= Jcz`, mk=M, mkx`k=0, т.к. C-нач. коорд. и x`c=0)-> Joz =Jcz`+Md^2-теор. Гюёгенса.

23. Центробежные моменты инерции. Главные оси инерции.

Если через т. O провести корд. оси Oxyz, то по отнош. к этим осям центроб. мом. инерции наз. вел-ны Jxy=mk*xk*yk, Jyz=mk*yk*zk, Jzx=mk*zk*xk, mk-массы т., xk, yk, zk-коорд.. Для сплошных тел: Jxy=ρxydV по V. Ось Oz, для кот. центр. мом. инерции Jxz, Jyz, содерж. в своих индексах наименов. этой оси, =0, наз. главной осью инерции тела для т. O.=>Если тело имеет ось симм., то эта ось явл. гл. осью инерции тела для любой своей т. Если тело имеет плоскость симм, то любая ось,  этой пл-ти, будет гл. осью инерции для т. O, в кот ось пересекает плоскость.

24. Дифференциальные уравнения движения системы.

mk*ak=F^ek+Fⁱk-для любой т.=> m1*a1=F^e1+Fⁱ1, m2*a2=F^e2+Fⁱ2… mт*aт=F^en+Fⁱn-дифф. ур-ия движ сист.

25. Теорема о движении центра масс. Закон сохранения движения центра масс.

1)Сложим почленно левые и правые части 24.: mk*ak=F^ek+Fⁱk ((mk*rk=Mrc)``= mk*ac=Mac, Fⁱk=0)->Mac=F^ek-теор. о движ. масс сист. 2) 1.Если F^ek=0, то ac=0->vc=const; 2.Если F^ekx=0, то ac=0->vcx=const. –закон сохр. движ. ц. масс.

26. Количество движения системы.

Кол-во движ. сист.: Q=mk*vk ((mk*rk=Mc*rc)/dt->mk*drk/dt=M*drc/dt->mk*vk=M*vc)->Q=M*vc.

27. Теорема об изменении количества движения системы (дифференциальная и интегральная формы). Закон сохранения количества движения.

1)mk*ak=F^ek+Fⁱk (Fⁱk=0, mk*ak=d/dt*mk*vk=dQ/dt)->dQ/dt=F^ek-теор. об изм. кол-ва движ. сист. (дифф. форма), Q1-Q0=S^ek-инт форма. 2) 1.Если F^ek=0, то Q=const; 2.Если F^ekx=0, то Qx=comst-закон сохр. кол-ва движ.

28. Главный момент количества движения системы. Кинетический момент вращающеюся тела.

Гл. мом. кол-ва движ.: Ko=mo(mk*vk). Он может рассматр. как хар-ка вращ. движ. сист. Кин. мом. вращ. движ.: Kz=Jz*.

29. Теорема об изменении главного момента количества движения системы.

Теор. мом. для одной мат. т. будет справедлива для каждой из т. сист.: d/dt*[mo(mk*vk)]=mo(F^ek)+mo(Fⁱk) (сложим все)-> d/dt*[mo(mk*vk)]= mo(F^ek)+ mo(Fⁱk) (mo(Fⁱk)=0)->dKo/dt=mo(F^ek)-теор. об изс. гл. мом. кол-ва движ. сист.

30. Теорема моментов относительно центр масс.

Пусть Oxyz-неподв. оси, а Счёнёяё-оси, перемещ. с системой, при этом оси имеют ускор. aс, равное ускор-ю центра масс (по ур-ию. 29.)->dKc/dt=mc(F^ek)+ mc(F^иkпер), Kc=mc(mk*v`k) (из 28.), v`k-скор. точек сист. относ. к осям Cx`y`z`. F<sup>и</sup>kпер=-mk*akпер, а т.к. Cx`y`z`движ. поступ., то akпер=ac => F^иkпер=-mk*ac и mc(F^иkпер)=r`k(- mk*ac)=-mk*r`kac (mk*r`k=Mr`c)-> mc(F^иkпер)=-Mr`cac=0, т.к. С явл. нач. коод. для Счёнёяё и r`c=0 => dKc/dt=mc(F^ek)

31. Закон сохранения главного момента количества движения системы.

Закон сохр. гл. мом. кол. дв.: 1.Пусть mo(F^ek)=0, то Ko=const; 2.mz(F^ek)=0, то Kz=const. Случай вращ. сист.: ось z: Kz=Jz*, и если mz(F^ek)=0, то Jz*=const => а)если сист. неизменяема, то Jz*=const->=const; б)если сист. изменяема, то при измен. Jz должна меняться .