Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южно-Уральский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2ая методичка МАТАН

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.05.2015

Размер:

857.4 Кб

Скачать

☆

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

51(07) Н192

МАТЕМАТИКА

Методические указания к выполнению семестрового задания

Часть 2

Челябинск

2007

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Южно-Уральский государственный университет Кафедра «Общеобразовательные дисциплины»

51(07) Н192

МАТЕМАТИКА

Методические указания к выполнению семестрового задания

Часть 2

Челябинск Издательство ЮУрГУ

2007

УДК 510(022)(075.8) Н192

Одобрено учебно-методической комиссией международного факультета

Рецензент Е.А. Суховиенко

Математика: методические указания к выполнению семестрового Н192 задания / составитель Е.И. Назарова. – Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2007. –

Ч. 2. – 68 с.

Целью методических указаний является систематизация заданий по темам, соответствующим учебному плану дисциплины «Математика» второго семестра, а также оказание помощи студентам при выполнении семестрового задания № 2. В методических указаниях приведен основной круг задач, удовлетворяющих требованиям к уровню освоения содержания дисциплины «Математика» для различных специальностей международного факультета, представлены образцы решения и оформления задач, приведен библиографический список [1–11].

Методические указания предназначены для самостоятельной работы студентов первого курса очного обучения международного факультета ЮУрГУ в течение второго семестра по всем специальностям.

УДК 510(022)(075.8)

Издательство ЮУрГУ, 2007

ВВЕДЕНИЕ

Семестровая работа является одним из видов самостоятельной работы студентов, входит в учебный план дисциплины «Математика» как обязательный элемент учебной деятельности.

Данные методические указания включают подборку заданий по темам, соответствующим учебному плану дисциплины «Математика» второго семестра для всех специальностей, а именно «Дифференциальное исчисление функции одной переменной», «Интегральное исчисление функции одной переменной», «Функции многих переменных».

Для выполнения работы студент должен знать перечень заданий, которые необходимо выполнить, и номер своего варианта.

Набор заданий, которые будут включены в семестровую работу студентов каждой из специальностей, определяет преподаватель.

Номер варианта определяется порядковым номером студента в списке, представленном в журнале группы. Номер каждого задания состоит из двух частей: первое число определяет номер раздела, к которому относится задание, второе число – порядковый номер задания в данном разделе.

Работа выполняется в отдельной тетради (12–18 листов) в клеточку. Обложка тетради оформляется в печатном виде в соответствии с образцом,

представленном в приложении 1. В местах пропусков должны быть внесены соответствующие данные выполнившего работу студента и преподавателя, который будет проверять семестровое задание. Регистрационные данные вносится секретарем кафедры при поступлении работы.

На последнюю страницу тетради (обложку) клеится лист проверки, представленный в приложении 2. На листе проверки необходимо указать данные студента, а также номера заданий, которые были включены в семестровую работу.

Требования при выполнении работы:

условие каждой задачи вклеивается в тетрадь в печатном виде (или пишется от руки разборчивым почерком),

приводится полное решение с необходимыми пояснениями, вычислениями и расчетами,

после решения записывается ответ (если задание содержит несколько пунктов, то ответ необходимо записывать для каждого пункта решения),

графические построения выполняются карандашом,

текст решения всех задач должен быть в письменном виде,

для отметок и замечаний преподавателя должны быть оставлены поля (3–4 см),

решение задач должно быть представлено по порядку.

Семестровая работа сдается на кафедру «Общеобразовательные дисциплины (108 аудитория 8 корпуса) до указанного преподавателем срока и регистрируется секретарем кафедры. Работа принимается на проверку только в том случае, если

содержит все задания, которые были включены в семестровую работу, и удовлетворяет требованиям к оформлению.

На проверку семестрового задания преподавателю необходимо не менее 10 дней со дня сдачи работы.

Результаты проверки семестровой работы преподаватель заносит в списки, находящиеся на кафедре, по мере проверки работ.

Если семестровая работа содержит все задания, удовлетворяет предъявляемым требованиям к оформлению и выполнена без серьезных ошибок, то она считается допущенной к экзамену, иначе возвращается на доработку. Для чего семестровую работу следует взять у преподавателя (или у секретаря кафедры) выполнить в течение 2–3 дней работу над ошибками в этой же тетради и сдать для повторной проверки на кафедру «Общеобразовательные дисциплины».

Рекомендуется выполнение заданий семестровой работы по мере изучения соответствующих тем, поскольку это способствует более глубокому усвоению полученных знаний и своевременному формированию умений. Необходимо отметить, что правильное своевременное выполнение семестровой работы является одним из основных параметров, определяющих успешность освоения предмета.

Раздел I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

В данный раздел включены основные типы задач, которые рассматриваются в теме «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»: вычисление производной явно, неявно и параметрически заданной функции, производные высших порядков, кроме того, приведены задачи на применение дифференциального исчисления к нахождению пределов и исследованию функций. Раздел содержит задачи с экономическим содержанием, при решении которых применяется дифференциальное исчисление.

При решении задач этого раздела необходимо знать правила дифференцирования и таблицу производных; рекомендуется повторить теоретический материал, рассмотренный на лекциях по данной теме. Дополнительный материал по применению дифференциального исчисления к решению задач можно найти в учебной литературе следующих авторов: Н. Ш. Кремер, В.А. Малугин, Д.Т. Письменный, В.И. Малыхин, М.С. Красс и Б.П. Чупрынов. Практикумы и задачники В.И. Ермакова, Г.Н. Бермана и Н. Ш. Кремера помогут при самостоятельной работе по теме, при подготовке к практическим и лекционным занятиям, а также при подготовке к экзамену.

Задача 1.1. Найти производную указанной функции Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1) y 1 x2 8 x2 4 x2 arcsin 2, x 0;

2) y

4x 1

arctg

;

16x2 8x 3

3)y 2x ln1 1 e4x e 2x arcsin e2x ;

4)y 9x2 12x 5 arctg 3x 2 ln(3x 2 9x2 12x 5);

	2													1		2x x2
	2													1		2x x2
5)	y				2x x2						ln							;
5)	y	x 1			2x x2						ln					x 1		;
		x 1														x 1
	y	x2	arcsin				3		1			x2 18
6)		x2					3		1								x2 9, x 0;
6)							x										x2 9, x 0;
	81						x	81
7)	y	1		arctg		3x				1			1			3x 1			;
7)	y			arctg															;
	2							2			3				3x2 2x 1

8)y 3x ln1 1 e6x e 3x arcsin e3x ;

9)y ln 4x 1 16x2 8x 2 16x2 8x 2 arctg 4x 1 ;

		1 2		x x2			4
		1 2		x x2			4
10)	y ln														x x2 ;
10)	y ln		2x 1						2x 1						x x2 ;
			2x 1						2x 1
	y 2x 3 4			arcsin			1					2	4x2 12x 11					2x 3 0;
11)							1					2					x2 3x 2,
11)						2x 3											x2 3x 2,
						2x 3				3
12)	y		x 2		1			arctg			x			2		;
12)	y							arctg								;
		x2 4x 6			2					2

13)y 5x ln1 1 e10x e 5x arcsin e5x ;

14)y x2 8x 17 arctg x 4 ln(x 4 x2 8x 17);

1 3 4x x2

15)

y ln

3 4x x2 ;

2 x

y 3x2 4x 2

3x 2 4 arcsin

, 3x 2 0;

16)

9x2 12x 3

x 1

3x 2

17)

arctg

;

x2 2x 3

18)y ln e5x e10x 1 arcsin e 5x ;

19)y ln 2x 3 4x2 12x 10 4x2 12x 10 arctg 2x 3 ;

				1 3 4x x2						2
				1 3 4x x2						2
20)	y ln												3 4x x2 ;
20)	y ln				x 2					x 2			3 4x x2 ;
		2			x 2					x 2				1
	y			4x2 4x 3					2x 1 4 arcsin						,	2x 1 0;
21)							x2 x
21)							x2 x
	3				2x 1	1					2x	1		2x 1
22)	y				2x 1	1		arctg			2x	1	;
			4x2 4x 3					arctg
						2
						2				2

23)y arcsin e 4x ln e4x e8x 1 ;

24)y ln 5x 25x2 1 25x2 1 arctg 5x ;

1 3 12x 9x2

25)

3 12x 9x2 ln

;

3x 2

y 3x 1 4

arcsin

3x2

2x 1

3x 1 0;

26)

9x2 6x

3x 1

27)

arctg

2x 1

;

4x2 4x 3

28)y ln e3x e6x 1 arcsin e 3x ;

29)y 49x2 1 arctg 7x ln(7x 49x2 1);

30) y 11 4x2 ln1 1 4x2 . x 2x

Пример 1.1

Найти производную функции

y x2 3x 2 arctg x 2 ln(x 2 x2 3x 2).

Решение
Напомним формулу	нахождения		производной сложной		функции: ес-
ли y f t , t t x , где	f t и u x имеют производные, то
	y			,	(1.1)
	y	f t t		,	(1.1)

Найдем производную заданной функции в соответствии с правилами и формулами нахождения производных, а также в соответствии с формулой (1.1)

y x2 3x 2 arctg x 2 ln(x 2 x2 3x 2)

x2 3x 2 arctg x 2 ln(x 2 x2 3x 2)x2 3x 2 arctg x 2 x2 3x 2 arctg x 2

3x 2

ln(x 2 x2

3x 2)

arctg x 2

x2 3x 2

x 2

x2 3x 2

x 2

1 x 2 2

x2 3x 2

2x 3

arctg x 2

x2 3x 2

x2 4x 5

2 x2 3x 2

2x 3

x2 3x 2

arctg x 2

2 x2 3x 2 x 2 x2 3x 2

2 x2 3x 2

x2 3x 2

2x 3

x2 4x 5

2 x2 3x 2 x 2

x2 3x 2

Вынесем общий множитель за скобку

2x 3

3x 2

arctg x

2 x2 3x 2

4x 5

x 2

x2 3x 2

Ответ:

2x 3

3x 2

arctg x

2 x2 3x 2

4x 5

x 2

x2 3x 2

Задача 1.2. Вычислить производную функции у по переменной х, если функция заданна параметрически.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

		3t2 1
	x		,
		3t3
1)
		t3

	y sin		t ;

		3

x 1 t2 ,

y tg1 t;

x 2t t2 ,

;

3 1 t 2

x 1 cos2 t 2,

cos t

;

sin2 t

x ln t

t2 1

y t t2 1;

2t t2

y arcsin t 1;

1 t

x arctg

1 t arcsin t;

x ln ctgt ,

;

cos

x arctg e2

t4 ,

10)

y arcsin1 t2 ;

1 tx ln 1

	x	1 t2 ,
11)			t
11)			t
	y			;

		1 t2
		1 t2

x arcsin 1 t2 ,

y arccos t 2;

x t ,

1 t2

13)

1 t2

y ln

;

14)

x arcsin sint ,

y arccos cost ;

1 t

15)

x ln

1 t

;

x arccos

16)

t2 1

arcsin

;

17)

lnt

1 t2

y ln

;

x ctg 2et ,

y ln tg et ;

	x t	t2 1,
19)
				2
		1	1 t	2
	y ln	1	1 t		;
	y ln		t		;
			t

x arctgt,

20)

1 t2

y ln

;

t 1

x ln 1 t2 ,

21)

1 t2 ;

y arcsin

t 1

22)

x arctg

t 1

1 t

;

y arcsin

1 sint

x ln

1 sint

23)

t lncos t;

x arcsin

24)

x ln tgt ,

25)

;

sin

t2 lnt

1 t2

26)

arcsint;

1 t

x ln t

1 t2

27)

1 t

y ln

;

			t						arcsint				2				1	t
	x				arcsint,	29)	x							,		x ln					,


															30)		1
		1 t2						y			t				30)		1	t
28)												;
			t																2
																			2
	y				;					1 t2						y 1 t				.


			1 t	2
			1 t

Пример 2.2

Вычислить производную функции у по переменной х функции:

	1 t,
x arcсtg

y 1 t arccost.

Решение																																		yx найдем по форму-
Функция задана параметрически, поэтому производную																																		yx найдем по форму-
ле																			yt
														yx					yt
																								.														(1.2)
																			xt					.														(1.2)
Найдем yt и xt ,					учитывая, что y y t и x x t сложные функции:


					1										1 t
					1										1 t

	xt									2						t						,
	xt					1 t				2												,
						1 t
			1
			1
							t
							t

			1																															1
			1																															1
yt							1 t						arccos							t						1 t												t ;

																																	1				2
		2 1 t																																			2
		2 1 t																																		t

таким образом,
												1					1
				x								1					1									1 t
																															,
																												t

					t							1 t							1 t
								1
								1					t	2
													t	2									t

									1																					1 t				1
				yt					1					1 arccos											t					1 t				1		;


					2					1 t																			1 t			2	2		t
																																2

													t								t					1 t 1 t 1
				xt																															,
																															t2

										t 1 t 2 1 t

								arccos							t		1								1
								arccos							t		1								1
				yt																									.

									2																2		t
									2		1 t							1 t							2		t

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.08.201996.82 Кб12_-_bolshie.docx
#
01.12.2018499.2 Кб22_01.doc
#
22.09.2019603.65 Кб22_chast_praktika.doc
#
08.05.201577.82 Кб222_kurs_Proizvod_praktika.doc
#
24.11.2018228.86 Кб102_Lektsia_Semya_i_sexualnost.doc
#
09.05.2015857.4 Кб82ая методичка МАТАН.pdf
#
28.08.20192.06 Mб22Вариант-пример.doc
#
18.11.2019145.13 Кб13 вопрос.rtf
#
08.05.2015269.31 Кб143 Вопросы, тесты и приложения.doc
#
01.09.201964.51 Кб13 июля 964 года дружина Великого князя Киевског...doc
#
08.09.2019176.13 Кб23 Методиические рекомендации МОИ от Смирнова.doc