Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южно-Уральский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2ая методичка МАТАН

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.05.2015

Размер:

857.4 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Преобразовав выражения, получим

	1				1			1
xt										,
			2

	2t 1					1 t			t

		arccos		t			1				1
		arccos		t			1				1

yt		2 1 t											.
		2 1 t					1 t 2					t

Подставим найденные значения в формулу (1.2) и упростим полученное выражение

2t 1 2

2 t 1 t arccos t 1

1 t

2t 1 2t 1 t arccost 1 .

	2t 1 2					2 1 t		1 .
					arccos
Ответ: yx		t	1	t	arccos		t

		2		1 t
		2		1 t

Задача 1.3. Найти производную данной функции указанного порядка в заданной точке.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

y x 1 ln x 1,

yIII (2) ?;

12)

y x 3 ln x 3 ,

yIII 4 ?;

y x2 ln2 x,

yIII 1 ?;

13)

y x3 ln2 x,

yIII 1 ?;

y xcosx2,

yIII ?;

14)

sin2x,

yIII ?;

ln x 1

yIII 2 ?;

15)

y x 4 ln x 4 ,

yIII 3 ?;

x 1

5) y

log

yIII 2 ?;

16)

y 3x 7 3 x,

yIII 1 ?;

ln 2x 5

17)

yIII 2 ?;

y 4x3

5 e2x 1,

yIII

2x 5

18)

y e

sin2x,

yIII ?;

III

lnx

x sin 5x

19)

, yIII 1 ?;

lnx

yIII 1 ?;

20)

y 1 3x ln 1 3x ,

yIII 0 ?;

yIII 1 ?;

y x2

3x e3x 2,

y 2xln2 x,

21)

yIII

y 1 x2 arctgx

yIII

y 5x 8 2 x,

yIII 1 ?;

10)

22)

ln x 2

yIII 3 ?;

11)

y 4x 3 2 x,

yIII 1 ?;

23)

x 2

lnx

yIII 1 ?;

y x3

3 e4x 3,

24)

28)

yIII

x 1

y 1 x x2 e 2

, yIII 1 ?;

25)

29)

y e2x

sin

, yIII

26)

ln 3 x

yIII 2 ?;

log3 x

yIII 3 ?.

3 x

yIII 0 ?;

30)

27)

y 2x3 1 cosx,

Пример 1.3

3x 2 e2x 3

Найти производную функции y x2

третьего порядка в

точке x

Решение

Сначала найдем производную первого порядка от заданной функции

y x2

x2 3x 2 e2x

3x 2 e2x 3

2x 3 e2x 3 x2 3x 2 2e2x 3 e2x 3 2x2 8x 7 .

Для того чтобы вычислить производную второго порядка, нужно найти производную от производной первого порядка. Таким образом,

	y											7 e2x 3 2x2
	y	y					e2x 3 2x2 8x					7 e2x 3 2x2				8x 7
2e2x 3 2x2 8x 7 e2x 3 4x 8 e2x 3 4x2 20x 22 .
Тогда производная третьего порядка будет иметь вид
										20x 22 e2x 3 4x2
y y							e2x 3 4x2			20x 22 e2x 3 4x2						20x 22
2e2x 3 4x2 20x 22 e2x 3 8x 20 e2x 3 8x2 48x 64 .
В полученное выражение вместо переменной подставим значение																	x	0		3	и
В полученное выражение вместо переменной подставим значение																	x				и
получим																			2
получим
3			2		3	3		3 2			3				18 72 64 154.
3			2			3		3 2			3
		e		2				8		48		64	e	0
				2										0
y											2
	2								2		2

Ответ: 154.

Задача 1.4. Вычислить предел функции, воспользовавшись правилом Лопиталя.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1) lim	5ln x x		2) lim	35x 27x		3) lim	ln 2x 5
		;			;				;
							3
	x2 1
x			x 0 arcsin2x x			x		8x 3

4) lim e3x e 2x x 0 2arcsinx sinx

5)lim x3 1 ;

x1ln x

6) lim	e5x e3x
		;

x 0 sin2x sinx

7)lim ln x 1 ;

x4 2x 3

8) lim	e2x e3x	;

x 0 arctgx x2

9)lim 4 ;

x3x x4

10) lim e4x e 2x

x 0 2arctgx sinx

11) lim 3x ex ;

x 0 1 ln x

12) lime7x e 2x ;

x 0 sinx 2x

Пример 1.4

	lim		ln x2 3
; 13)								;

	x 2 x2 x 2
	lim	4x			27x
14)						;

	x 0 tg3x x
	lim			4ln x x
15)							;

	x 0				x 1
16)	lim			102x 7 x

x 0 2tgx arctgx

17) lim	x3	8	;

x 2 ln x 1

18)lim 5ln x ;

xx 1

; 19)	lim	e4x	e2x
				;

	x 0 2tgx sinx
20)	lim	32x 7x

x 0 arcsin3x 5x

21)lim 2x 1 ;

xx5 x4

	lim	6ln x	x2
22)				;

	x 0 x2		1
23)	lim	x3	8		;

	x 2 ln x 1
24)	lim	ex e3x					;

	x 0sin3x tg2x
; 25)	lim	9x 23x				;

x 0 arctg2x 7x

26)lim 2 x x3 ;

x 5

27)lim35x 2 7x ;

x 0	2x tgx
28) lim	ln x2
		;

x 1 x2 3x 4

;29) lim e2x ex ;

x 0 x tgx2

30) lim	23x 32x
		.

x 0 x arcsinx3

Вычислить предел функции, воспользовавшись правилом Лопиталя

lim 5x2 7x.

x e2x 1

Решение

При непосредственном вычислении заданного предела получаем неопределен-

ность вида , следовательно, можно использовать правило Лопиталя для вы-

числения предела функции, т.е.

5x2 7x

5x2

10x 7

lim

2x 1

e2x 1

x 2e

Поскольку снова получили неопределенность вида , то еще раз восполь-

зуемся правилом Лопиталя

10x 7

10x

lim

2x 1

x 2e

x 2e2x 1

x 4e

Ответ: 0.

Задача 1.5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y f x

на отрезке a;b .

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1) f x							1										,									1		;	1
																															;
			x				2																						2		;
			x									1														2			2
2) f x tg x														x,																;
																																	;
																												4			4		;
						1															5							4			4
3)	f x					1					x3										5				x2 6x 7,									1;5 ;
3)	f x										x3										2				x2 6x 7,									1;5 ;
		3																			2
4)	f x			1					x3 2x2 3,																							1;2 ;
4)	f x								x3 2x2 3,																							1;2 ;
		3																												2;2 ;
5)	f x x4 8x2 3,																													2;2 ;
6)	f x				1						x3								7					x2 12x 1,										1;5 ;
6)	f x										x3													x2 12x 1,										1;5 ;
		3																			2													0;6 ;
7)	f x x3 9x2 15x 3,																																	0;6 ;
8)	f x										1		x4 2x2 5x,																				3;4 ;
8)	f x												x4 2x2 5x,																				3;4 ;
							4																										3;5 ;
9)	f x 2x3 3x2 3x,																																3;5 ;
10)		f x x3												3x 2,																2;3 ;
11)		f x 2x3 3x2 6,																														3;2 ;
12)		f x												x								,				3;3 ;
12)		f x																				,				3;3 ;
										x2 1																		0;2e ;
13)		f x x ln x 1,																										0;2e ;
14)		f x										8x											,			3;4 ;
14)		f x																					,			3;4 ;
										x2 4																	0;4 ;
15)		f x 2																x,
15)		f x 2													x			x,
16)		f x x4												2x2												4,						2;2 ;
17)		f x						x								5				,						6;6 ;
17)		f x																		,						6;6 ;
							5									x

18)

f x

2x2 3x 1,

0; 4 ;

0;2 ;

19)

f x sin2x,

20)

f x

x2,

3;1 ;

4;1 ;

21)

f x x3 6x2

9x,

22)

f x

2x2,

3;3 ;

1;e ;

23)

f x x ln x,

24)

f x 2x3 3x2,

2;2 ;

f x 2x cos 2x,

25)

;

26)

f x

6x 7, 1;4 ;

27)

f x

4;3 ;

x2 4

0;2 ;

28)

f x cos2x,

29)

f x x4

3x2 4,

4; 4 ;

30)

f x

4;4 .

x2 9

Пример 1.5

Найти наибольшее и наименьшее значение функции f x sin2x 1 на отрезке ;3 .

Решение

Функция f x sin2x 1 определена на заданном отрезке. Вычислим первую

производную

f x sin2x 1 2sinxcosx sin2x.

Найдем точки, в которых производная функции равна нулю f x 0 при условии, что sin2x 0,

откуда, решив тригонометрическое уравнение, получаем множество корней

x	n	,	n N.

2

Выберем из полученной серии корней те, которые принадлежат отрезку

;2 :

n 2,	x ;	n 3,	x	3	;	n 4,	x 2 .

			2

Определим значение функции в найденных точках и на концах заданного отрезка (в нашем примере эти значения совпали) и выберем среди них наибольшее и наименьшее

f sin2 1 1,				3			3		f 2 sin22 1 1,
				f	sin2			1 2,
				f	sin2	2		1 2,
следовательно,				2		2
следовательно,	3
	3
f			2 – наибольшее значение функции,
f	2		2 – наибольшее значение функции,
	2
f f 2 1 – наименьшее значение функции.
Ответ: fнаиб f	3			2,	fнаим	f f 2 1.

		2
р;2р		2			р;2р

Задача 1.6. Провести полное исследование функции и построить ее график.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1)y x e x ;

2)y x lnx; x

3)y x2 e2x ;

4)y x 1 2 ;

5) y ex x 1 ;

x 1 3

6) y x 2 2 ;

7) y x2 1;

x2 4

8) y x arctg3x;

9) y 4x 1;

x2 4

10) y 2x lnx;

11)y x arctgx;

12)y 2 lnx ;

13)y x2 4; ex

14)y 1 3 x 1 2 ;

15)y x2 e x;

16)y 3x 4; x2 1

17)y 2 3x; x2

1 2x

18) y 1 x 2 ;

19) y 4x2 1;

x2 9

20) y 1 2lnx ;

32x

21)y x 2 2 ;

22)y x3 e x;

23)y 1 2x;

24)y x2 4;

x2 1

25)y 1 2x ;

26) y 2x lnx;

x 1 3

27)y x2 1 ;

28)y 2x e 2x;

29) y ex x 1 ;

30) y 2x 1.

Следовательно, y x3 e2x

Пример 1.6

Провести полное исследование функции y x3 e2x и построить ее гра-

фик.

Решение

Проведем полное исследование функции по следующей схеме: 1. Область определения.

D y ; .

2. Четность и нечетность.

Область определения функции симметрична относительно нуля. Найдем

y x

y x x 3 e2 x x3e 2x .

Поскольку y x y x , то функция не является четной, кроме того, y x y x , значит, функция не является нечетной.

– функция общего вида.

3. Периодичность.

Функция не является периодичной, т.к.

x3 e2x x T 3e2 x T ,

таким образом,

y x y x T ,

для любого значения T, отличного от нуля.

4. Точки пересечения с осями координат и промежутки знакопостоянства. С осью Ox: y 0, т.е. необходимо решить уравнение

x3 e2x 0,

откуда находим,

x 0.

Точка пересечения с осью Ox: 0;0 .

С осью Oy: x 0, т.е. в уравнение функции вместо аргумента подставим значение ноль и получим

y 03 e2x 0.

Точка пересечения с осью Oy: 0;0 .

Отметим на числовой прямой найденную точку пересечения с осью Ox (рис. 1), в каждом из полученных промежутков проверим знак функции

–

Рис. 1

y 1 1 3 e2 1 e 2 0,

y 1 13 e21 e2 0.

Следовательно,

y 0 при x ;0 ; y 0 при x 0; .

5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы функции и точки экстремума.

Найдем производную первого порядка исследуемой функции

y x3 e2x x3 e2x x3 e2x 3x2e2x x3 2e2x e2x 3x2 2x3 .

Найдем точки, в которых производная обращается в ноль, и отметим их на числовой прямой (рис. 2)

e2x 3x2 2x3 0, e2x 0, 3x2 2x3 0, x2(3 2x) 0,

	x 0,	x	3	.

		2
–	min	+
	+				х

Рис. 2

Проверим знак первой производной функции в каждом из полученных промежутков

y 2 e2 2 3 2 2 2 2 3 4e 4 0, y 1 e2 1 3 1 2 2 1 3 e 2 0, y 1 e2 1 3 12 2 13 5e2 0.

Если значение производной функции на промежутке отрицательно, то функция убывает, если положительно, то функция возрастает. Точка, в которой производная меняет знак, является точкой экстремума. Следовательно,

												3
функция убывает при x								;					,
функция убывает при x								;				2	,
												2
функция возрастает при x										3
											;			,
										2	;			,
										2
x	min		3	, y	min		27		e 3.
x				, y					e 3.
		2				8

6. Промежутки выпуклости функции и точки перегиба. Найдем производную второго порядка исследуемой функции

y e2x 3x2 2x3 e2x 3x2 2x3 e2x 3x2 2x3

2e2x 3x2 2x3 e2x 6x 6x2 2e2x 2x3 6x2 3x .

Найдем точки, в которых вторая производная обращается в ноль, и отметим их на числовой прямой (рис. 3)

2e2x 2x3 6x2 3x 0, 2e2x 0, 2x3 6x2 3x 0, x(2x2 6x 3) 0,

x 0,	x 3 3,		x 3 3 .
	2		2
–	+	–	+	х
3 3	3	3	0

2 2

Рис. 3

Проверим знак производной второго порядка функции в каждом из полученных промежутков

					2 3								3				2						6
									2 3 6 3									3 3 2e							9 0,
	y 3 2e								2 3 6 3									3 3 2e							9 0,
							2 1						3					2						2
										2 1				6 1					3 1 2e							1 0,
			y 1 2e							2 1				6 1					3 1 2e							1 0,
		1				1						1	3			1		2			1						1
				2
				2
			2e			2		2					6						3			2e				1			0,
						2																				1
y		2										2				2
		2										2				2					2							4

											2 1		3		2					2
												2 1 6 1 3 1 2e 11 0.
				y	1 2e							2 1 6 1 3 1 2e 11 0.

Если значение второй производной функции на промежутке отрицательно, то функция выпукла вверх, если положительно, то функция выпукла вниз. Точка, в которой вторая производная меняет знак, является точкой перегиба. Следовательно,

						3				3			3		3
функция выпукла вверх при x
					;											;0 ,
					;	2								2		;0 ,
						2								2

функция выпукла вниз при x					3		3	;	3				3	0; ,
					3		3		3				3
					2
					2						2

		3	3			3				3
xперег		3	3	yперег		3				3		0,12,
			,
			,		y	2
	2					2

		3	3			3				3
xперег		3	3	yперег		3				3		0,07,
			,
			,		y	2
	2					2

xперег 0, yперег y 0 0.

7. Асимптоты.

Функция определена на всей числовой прямой, значит вертикальных асимптот нет.

Наклонные асимптоты находим в виде (1.3)

где	y kx b,			(1.3)
где		f x
k lim		f x	,	(1.4)
k lim			,	(1.4)
	x	x
b	lim f x kx .			(1.5)
	x

Если значения пределов (1.4) и (1.5) существуют и конечны, то у функции есть наклонные асимптоты. Если значение предела (1.4) равно нулю, значение предела (1.5) существует и конечно, то из формулы (1.3) получаем уравнение горизонтальной асимптоты (1.6)

y b.

(1.6)

В формулу (1.4) подставим исследуемую функцию и найдем значение k

k lim

x3e

lim x2e2x 0 lim

x e

после проведенных преобразований можно использовать правило Лопиталя для вычисления предела

k lim

lim

x e

x 2e

x 4e

Найдем значение b, воспользовавшись формулой (1.5)

b lim x3e2x 0 x lim x3e2x 0 lim

x e

вычислим предел с помощью правила Лопиталя

b lim

3x2

lim

x e

x 2e

x 4e

lim 8e 2x 0.

Поскольку значение k равно нулю, то, подставив найденное значение b в формулу (1.6), получим уравнение горизонтальной асимптоты функции при

y 0.

Аналогично определим наклонную асимптоту x . Найдем коэффициент

k lim	x3e	2x	lim x2e2x ,
	x
x			x

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.08.201996.82 Кб12_-_bolshie.docx
#
01.12.2018499.2 Кб22_01.doc
#
22.09.2019603.65 Кб32_chast_praktika.doc
#
08.05.201577.82 Кб222_kurs_Proizvod_praktika.doc
#
24.11.2018228.86 Кб102_Lektsia_Semya_i_sexualnost.doc
#
09.05.2015857.4 Кб92ая методичка МАТАН.pdf
#
28.08.20192.06 Mб22Вариант-пример.doc
#
18.11.2019145.13 Кб13 вопрос.rtf
#
08.05.2015269.31 Кб143 Вопросы, тесты и приложения.doc
#
01.09.201964.51 Кб13 июля 964 года дружина Великого князя Киевског...doc
#
08.09.2019176.13 Кб23 Методиические рекомендации МОИ от Смирнова.doc