TIPOVOJ_RASChET_6_MAJ

В а р и а н т

21

1

y

e

1

1.

Измените порядок интегрирования: ∫dy∫ f (x, y)dx +∫dy ∫ f (x, y)dx .

0

0

1

ln y

2.

Вычислите интеграл, перейдя к полярным координатам. Постройте

3

3+ 9−x2

область интегрирования: ∫dx

∫

36 − x2 − y2 dy .

с помощью тройного интеграла.

5. Найдите работу силы FG при перемещении вдоль линии L от точки M

JG

G

x2 G

к точке N : F

= (xy − x)i +

j , L : y = 2 x, M (0; 0), N (1; 2) .

2

V : x2 + y2 = z2 , x2 + y2 = 4,

x = 0, y = 0, z = 0

(x ≥ 0,

y ≥ 0, z ≥ 0), µ =

5

(x2 + y2 ) .

В а р и а н т

22

2

1.

Измените порядок интегрирования:

1

x2

2

2−x2

f (x, y)dy .

∫dx ∫

f (x, y)dy + ∫dx

∫

0

0

1

0

2.

Вычислите интеграл, перейдя к полярным координатам. Постройте

область интегрирования: ∫0

4−y2

dy

∫ (x2 + y2 +1)dx .

−2

0

3.

Найдите объем тела, ограниченного поверхностями:

z =1−

x2

−

y2

, x2 + y2 = 4, x2 + y2 =1, z = 0

4

9

x2 + y2 = 4 2 y,

z = x2 + y2 −16, z = 0 (z ≥ 0)

с помощью тройного интегралаG.

5.

Найдите работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки M

к точке

JG

M (0; 0), N(2;8) .

N : F = −yiG+ xjG, L : y = x3 ,

6.

Найдите центр тяжести фигуры, ограниченной окружностями:

ρ = a cosϕ, ρ =b cosϕ (a >b > 0) .

7.

Тело V задано ограничивающими его поверхностями, µ - плотность.

Найдите массу тела:

= 4 (x2 + y2 ≤ 4), z = 0 ( z ≥ 0), µ = 2z .

V : x2 + y2 + z2 =9, x2 + y2

В а р и а н т

23

π

π

1.

Измените порядок интегрирования: ∫4

dxsin∫x

f (x, y)dy + ∫2

dxcos∫x

f (x, y)dy .

0

0

π

0

4

2.

Вычислите интеграл, перейдя к полярным координатам. Постройте

0

0

область интегрирования: ∫dy

∫ (16 − x2 − y2 )dx .

−2

− 4−y2

3.

Найдите объем тела, ограниченного поверхностями:

x2 + y2 + z2 = 4, x2 = x2 + y2 ,

(z ≥ 0)

с помощью двойного интеграла.

4.

Найдите объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:

x2 + y2 +2x = 0, z =17 − y2 ,

z = 0 с помощью тройного интеграла.

5.

4

G

при перемещении вдоль линии L от точки M

Найдите работу силы F

JG

y

2

к точке

N : F = −xiG+ yjG,

L : x2 +

=1 (x ≥ 0, y ≥ 0), M (1; 0), N (0;3) .

9

6.

Найдите центр тяжести фигуры, ограниченной линиями y2 = 4x +4 и

y = 2 − x . расположенной выше оси OX.

7.

Тело V задано ограничивающими его поверхностями, µ - плотность.

Найдите массу тела:

V : x2 + y2 =1, x2 + y2 =3z, x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0), z = 0, µ =15x .

В а р и а н т

24

−1

0

0

0

1.

Измените порядок интегрирования: ∫

dy ∫

f (x, y)dx + ∫dy∫ f (x, y)dx .

−

2

− 2−y2

−1

y

2.

Вычислите интеграл, перейдя к полярным координатам. Постройте

область интегрирования:

∫0

4−y2

ex2 +y2 dx .

dy

∫

−2

−

4−y2

3.

Найдите объем тела, ограниченного поверхностями:

z =1− x2 ,

y = 1

, z = 0,

y = 2

с помощью двойного интеграла.

x

4.

Найдите объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:

x2 + y2 =9x, x2 + y2 =12x, z = 0, z = x2 + y2 , y = 0 ( y ≥ 0)

с помощью тройного интегралаG.

5.

Найдите работу силы F

при перемещении вдоль линии L от точки M

к точке

JG

2

2

G

2

2

G

x2

y2

N : F

= (x

− y

)i +(x

+ y

) j ,

L :

+

=

1

( y ≥ 0), M (3; 0), N(−3; 0) .

9

4

6.

Найдите координаты центра тяжести однородной пластинки, ограни-

ченной верхней половиной эллипса

x2

+

y2

=1

и его большой осью.

a2

b2

7.

Тело V задано ограничивающими его поверхностями, µ - плотность.

Найдите массу тела:

µ = 5z .

V : x2 + y2 + z2

=16, x2 + y2 =9z2 , x = 0,

y = 0

(x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0),

В а р и а н т

25

1.

Измените порядок интегрирования:

1

x3

2

2−x

∫dx ∫

f (x, y)dy +∫dx ∫

f (x, y)dy .

0

0

1

0

2.

Вычислите интеграл, перейдя к полярным координатам. Постройте

область интегрирования:

∫8

8 y−y2

dy

∫ 64 − x2 − y2 dx .

z2 = x2 + y2 ,

z =

x2 + y2

+1

4

с помощью тройного интегралаG.

5.

Найдите работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки M

к точке

JG

L : x2 + y2 = 4 ( y ≥ 0), M (2; 0), N(−2; 0) .

N : F = (x − y)iG+ Gj ,

6.

Найдите центр тяжести плоской фигуры, ограниченной кривыми. На-

рисуйте чертеж. y = − 3 x2 +

3 x +2, 3x −2 y +1 = 0 .

2

2

7.

Тело V задано ограничивающими его поверхностями, µ - плотность.

Найдите массу тела:

V : 4(x2 + y2 ) = z2 , x2 + y2 =1, y = 0, z = 0 ( y ≥ 0, z ≥ 0), µ =10(x2 + y2 ) .