document(3)

Задача. Построить точку пересечения проецирующей линии с плоскостью общего положения.

Даныплоскостьθ (KLМ)общегоположенияигоризонтально-проецирующая прямая g (рис. 41). Точка G их пересечения одновременно принадлежит плоскости θ и линии g, следовательно, принадлежит любой прямой l, проведенной

§3. Пересечение поверхностей 

спроецирующей плоскостью и с прямой линией

Линия пересечения поверхности с плоскостью представляет собой плоскую замкнутую линию. При проецирующей секущей плоскости одна проекция линии пересечения совпадает с проекцией секущей плоскости, а вторая проекция строится по точкам. При этом сначала строят опорные точки, а также точки на ребрах, а затем, если необходимо, промежуточные точки. Найденные точки соединяют с учетом видимости и характера линии сечения.

41

3.1. Пересечение многогранника с проецирующей плоскостью

Линия пересечения многогранника с плоскостью является плоской ломаной линией, вершины которой — точки пересечения ребер, а стороны — линии пересечения граней многогранника с плоскостью.

На рис. 42 показано построение линии пересечения прямой шестигранной призмы с проецирующей плоскостью Σ. Фронтальные проекции 12, 22, 32 ...

точек пересечения ребер призмы с плоскостью находятся в точках пересечения фронтальных проекций ребер и фронтальной проекции плоскости. Горизонтальные проекции 11, 21, 31 ... точек совпадают с горизонтальными проекциями ребер. Таким образом, фронтальная проекция искомой линии — отрезок 1242, а горизонтальная проекция — шестиугольник 112131415161. Профильные проекции точек находятся по линиям связи на профильных проекциях ребер.

На рис. 43 показана задача на построение линии пересечения пирамиды с горизонтально-проецирующей плоскостью.

42

3.2.Пересечение поверхности вращения

спроецирующей плоскостью

Линия пересечения кривой поверхности с плоскостью представляет собой плоскую кривую.

Для построения этой кривой определяют точки пересечения ряда образующих поверхности с секущей плоскостью. К опорным точкам линии относятся: экстремальные точки (высшая и низшая относительно Π1, ближняя и дальняя относительно Π2), а также очерковые (проекции которых принадлежат очеркам горизонтальной и фронтальной проекций фигур), в рассматриваемых задачах они одновременно являются точками смены видимости.

Рассмотрим пересечение цилиндра вращения с плоскостью. Если секущая плоскость пересекает все образующие поверхности и неперпендикулярна оси вращения (рис. 44, а), то линия пересечения — эллипс. На чертеже (рис. 45) плоскость Γ непараллельна оси i и пересекает цилиндр по эллипсу. На плоскость Π2 эллипс проецируется в отрезок А2В2 = Γ2; на плоскость Π1 — в окружность, совпадающую с проекцией цилиндрической поверхности; на плоскость Π3 — в эллипс. Профильные проекции точек, принадлежащих эллипсу, строятся по двум заданным (горизонтальной и фронтальной). В первую очередь определяют профильные проекции высшей и низшей точек (А и В), очерковых относительно Π3 (С и D), а затем — промежуточных, например, 1 и 2. Соединив полученные точки плавной кривой с учетом видимости, получим эллипс, являющийся профильной проекцией фигуры сечения.

Если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения (рис. 44, б), то линия пересечения — окружность. На чертеже (см. рис. 45) плоскость ∆   i и, следовательно, пересекает цилиндр по окружности. На плоскости Π2 и Π3 окружность проецируется в отрезки прямой, совпадающие с соответствующей проекцией секущей плоскости. На Π1 проекция окружности сечения совпадает с проекцией цилиндрической поверхности.

Если секущая плоскость параллельна образующим поверхности (рис. 44, в), то в пересечении получаются прямые линии — образующие. На чертеже (см. рис. 45) плоскость Σ || i. Проекции образующих на плоскость Π2 совпадают с проекцией плоскости, а на плоскость Π1 проецируются в точки,

43

принадлежащие окружности, являющейся проекцией цилиндрической поверхности. По двум проекциям (горизонтальной и фронтальной) построена третья проекция образующих.

При пересечении конуса вращения с плоскостью можно получить все виды кривых второго порядка: эллипс, параболу и гиперболу.

Рис. 45

44

Если плоскость Σ (рис. 46, а) пересекает все образующие конуса, то в сечении получается эллипс. В частном случае, когда плоскость займет положение Σ ′, перпендикулярное оси конуса вращения, получается окружность.

Если плоскость Σ параллельна одной образующей l конуса (рис. 46, б), то в сечении получается парабола.

Если плоскость Σ параллельна двум образующим l и l1′ конуса (рис. 46, в), то в сечении получается гипербола. В частном случае, когда плоскость Σ, перемещаясь параллельно самой себе, займет положение Σ ′ (пройдет через вершину конуса), гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых (см.

рис. 46, в).

Фронтальные проекции эллипса (см. рис. 46, а), параболы (см. рис. 46, б) и гиперболы (см. рис. 46, в) на поверхности конуса совпадают с фронтальными проекциями секущих плоскостей. Построение горизонтальных проекций точек, принадлежащих эллипсу, параболе и гиперболе, выполнены при помощи образующих или параллелей.

Сферу плоскость пересекает по окружности. В зависимости от положения секущей плоскости относительно плоскостей проекций окружность может проецироваться в прямую, окружность (рис. 47) или эллипс (рис. 48).

На рис. 48 показано построение линии пересечения сферы с фронтальнопроецирующей плоскостью Φ. Окружность сечения проецируется на Π2 в виде отрезка прямой А2В2 = Φ2, а на Π1 — в виде эллипса, который строится по точкам. Точки А и В являются экстремальными относительно Π1: В — высшая точка, А — низшая. Фронтальные их проекции А2 и В2 совпадают с точками пересечения фронтальной проекции плоскости с очерком фронтальной проекции сферы (проекции главного меридиана). Их горизонтальные проекции находим по линиям связи на горизонтальной проекции главного меридиана. Фронтальные проекции М2 и N2 точек М и N (точек смены видимости относительно Π1) на пересечении Φ2 с фронтальной проекцией экватора сферы. Их горизонтальные проекции находим по линии связи на очерке горизонтальной проекции сферы (горизонтальная проекция экватора). Экстремальные относительно Π2 точки С и D (самая ближняя и самая дальняя) определяются при помощи общей плоскости симметрии Γ, которая проводится через центр сферы перпендикулярно плоскости Φ. Отмечаем фронтальные проекции С2 = D2 точек С и D, которые совпадают с точкой пересечения Γ2 и Φ2. Для нахождения горизонтальных проекций С1 и D1

45

точек С и D воспользуемся параллелью m (m1,m2), проходящей через точки С и D. Аналогичным образом находим проекции промежуточных точек. Например, проекции точек 1 и 2 строим при помощи параллели n (n1,n2). На Π2 эта параллель проецируется в горизонтальную прямую, пересекающую фронтальную проекцию линии пересечения в точке 12 = 22. Строим горизонтальную проекцию параллели — окружность радиусом R. В точках пересечения этой окружности с вертикальными линиями связи отмечаем проекции 11 и 21 точек 1 и 2.

3.3. Пересечение поверхностей с прямой линией

Возможное количество точек пересечения поверхности с прямой линией соответствует порядку поверхности. Например, сферу, конус, цилиндр

— поверхности второго порядка — прямая линия может пересекать в двух точках; тор — поверхность четвертого порядка — в четырех. Построение точек пересечения поверхностей (независимо от их вида) c прямой линией выполняют по следующей схеме (рис. 49, а):

1) через прямую l проводят вспомогательную секущую плоскость ∆; 2) строят линию m пересечения этой плоскости ∆ с заданной поверхно-

стью Φ;

3) отмечают точки А и В пересечения данной прямой l с построенной линией пересечения m, которые являются искомыми.

В символической записи схема имеет следующий вид:

1)∆   l,

2)m = ∆ ∩ Φ,

3)A = (l ∩ m)   B = (l ∩ m).

Как правило, вспомогательные секущие плоскости частного положения дают наиболее простое решение. При решении задач на пересечение прямой линии с кривой поверхностью вспомогательную плоскость следует проводить так, чтобы в сечении получились линии, проекции которых были бы прямыми или окружностями. Видимость проекций прямой находят по видимости поверхности или по конкурирующим точкам.

48

Задача . Построить точки пересечения прямой общего положения с пирамидой (см. рис. 49, а).

На основании общей схемы составляется алгоритм решения. Алгоритм — совокупность однозначных последовательных операций, которые необходимо выполнить для решения данной задачи. Схема преобразуется в алгоритм, если точно указать положение вспомогательной плоскости. В качестве вспомогательной плоскости выберем горизонтально-проецирующую плоскость ∆ (можно выбрать ∆   Π2).

б

Рис. 49

Алгоритм:

1)∆   l,∆   Π1,т.е.черезпрямуюl проводимгоризонтально-проецирующую плоскость ∆;

2)1–2–3–4–1 = Φ ∩ ∆, т. е. определяем звенья ломаной линии пересечения поверхности пирамиды Φ с плоскостью ∆;

3)А = (1–2) ∩ l, В = (3–4) ∩ l, т. е. отмечаем точки А и В пересечения звеньев (1–2) и l, (3–4) и l, которые являются искомыми.

Графическая реализация алгоритма дана на рис. 49, б.

49