ИсследОпераций

Р е ш е н и е. Для решения поставленной задачи сначала определим все базисы опорных решений данной системы, а затем найдем опорные решения, соответствующие каждому из полученных базисов.

В данной системе m 2 ,

Базис любого опорного решения этой системы состоит из двух линейно независимых столбцов Ak , из столбцов матрицы данной системы можно составить три

набора, каждый из которых содержит два вектора: 1) A1, A2 ; 2) A1, A3 ; 3) A2 , A3 . Но столбцы A1 и A3 линейно зависимы и поэтому не являются базисом опорного решения. Таким образом, мы определили два набора столбцов A1, A2 и A2 , A3 , яв-

ляющихся базисами опорных решений данной системы.

Найдем опорное решение, соответствующее базису Ошибка! Ошибка связи.. Учитывая, что базис образуют столбцы, соответствующие неизвестным x1, x2 , положим x3 0. Исходная система уравнений примет вид

2x1 3x2 1,x1 2x2 10.

Отсюда x1 4, x2 3. Таким образом, мы нашли опорное решение x 1 4,3,0 .

Аналогично, полагая x1 0 , находим опорное решение x 2 0,3, 2 , соответствующее базису A2 , A3 .

Рассмотренный в примере 2 метод отыскания всех опорных решений системы, связанный с перебором всех возможных базисов опорных решений, легко реализовать для систем, содержащих только два уравнения. Для систем с большим числом уравнений подобный подход ведет к громоздким вычислениям. Попытаемся, сохранив идею перебора всех возможных базисов, видоизменить метод отыскания опорных решений так, чтобы он был связан с меньшим объемом вычислений.

Определение. Пусть дана система с единичным базисом. Рассмотрим единичные столбцы, соответствующие базисным неизвестным. Опорное решение, соответствующее базису, образованному из этих столбцов, будем называть основным опорным решением данной системы.

Пример 3. Найти основное опорное решение системы

2x1 x3 3x4 5,x1 x2 5x4 1,

3x1 2x4 x5 3.

Р е ш е н и е. В данной системе базисные неизвестные x2, x3, x5 , а свободные – x1, x4 . Столбцы

33

образуют базис основного опорного решения. Полагая свободные неизвестные (соответствующие столбцам, не входящим в базис) равными нулю, получаем основное опорное решение

xосн 0, 1,5,0,3 .

После этого примера становится понятной структура основного опорного решения любой системы с единичным базисом. В этом решении все компоненты, соответствующие свободным неизвестным, равны нулю, а каждая компонента, соответствующая базисному неизвестному, равна свободному члену того уравнения системы, в котором содержится это неизвестное.

Теперь сформулируем алгоритм метода отыскания всех опорных реше-

ний системы.

Пусть дана система m линейных уравнений с n n m неизвестными,

ранг матрицы которой равен m .

1. Перечисляем все наборы столбцов Ak , каждый из которых содержит m

векторов. В полученном списке заведомо содержатся базисы всех опорных решений данной системы. (Для тех, кто знает комбинаторику, заметим, что число та-

ких наборов равно числу сочетаний из n элементов по m , т.е. Cnm ).

2. Записываем расширенную матрицу данной системы и, аналогично методу Жордана-Гаусса, находим расширенную матрицу равносильной системы с единичным базисом. Столбцы Ak исходной системы, соответствующие получен-

ным единичным столбцам, линейно независимы и образуют базис, который будем называть текущим.

3.Находим опорное решение, соответствующее текущему базису. (Оно является основным опорным решением полученной матрицы). В составленном на шаге 1 списке помечаем набор, совпадающий с текущим базисом.

4.Если в составленном списке имеются непомеченные наборы, еще не исследованные на линейную зависимость, то выбираем из них те, которые отличаются от текущего базиса лишь одним вектором. По теореме о замене базисного вектора делаем вывод о линейной зависимости каждого из выбранных векторов. Наборы столбцов Ak , оказавшиеся линейно зависимыми, вычеркиваем из списка.

5.Проверяем наличие пометок у наборов списка:

а) если помечены все наборы, то процесс закончен: найдены все опорные решения исходной системы;

б) если помечены не все наборы, то выбираем в качестве нового текущего базиса любой непомеченный набор списка, уже проверенный на линейную независимость. Выполняя преобразование однократного базисного замещения, получаем расширенную матрицу новой равносильной системы уравнений, в которой

34

единичные столбцы (т.е. базисные неизвестные) соответствуют новому текущему базису, и переходим к шагу 3 данного алгоритма.

Пример 4. Найти все опорные решения системы

x1 2x2 2x3 3,

2x1 x2 x3 5x4 1,x1 x2 3x3 x4 0.

Р е ш е н и е. Рассмотрим столбцы A1, A2, A3, A4 данной системы и составим

из них все набору, содержащие по три столбца. Получим список из четырех наборов:

1) A1, A2, A3 ; 2) A1, A2, A4 ; 3) A1, A3, A4 ; 4) A2, A3, A4 .

Каждый из этих наборов в случае его линейной независимости будет являться базисом некоторого опорного решения данной системы.

Методом Жордана-Гаусса перейдем от расширенной матрицы данной системы к расширенной матрице равносильной системы с единичным базисом.

В ходе вычислений столбцы A1, A2, A3 преобразовались в единичные столбцы.

Следовательно, набор столбцов Ошибка! Ошибка связи. линейно независим и образует базис некоторого опорного решения (текущий базис).

Рассмотрим матрицу A1, полученную в результате вычислений.

Для наглядности над столбцами этой матрицы записаны соответствующие им неизвестные, а перед каждой строкой – базисное неизвестное, входящее в состав уравнения, определяемого этой строкой.

Основное опорное решение системы с расширенной матрицей A1 имеет вид x 1 1, 2, 1,0 .

35

Это решение является опорным решением исходной системы, соответствующим базису A1, A2, A3 . Пометим (например, подчеркнем) набор 1, совпадающий с те-

кущим базисом, указывая, что для этого набора опорное решение уже найдено. Остальные три набора списка отличаются от текущего базиса лишь одним

вектором. Поэтому все они могут быть исследованы на линейную зависимость на этом этапе решения задачи. При переходе к матрице A1 столбцы A1, A2, A3 преоб-

разовались в единичные, поэтому (см. замечание 3) четвертый столбец этой матрицы содержит коэффициенты разложения вектора A4 по текущему базису. Это

разложение имеет вид

A4 2 A1 0 A2 1 A3 .

Рассматривая коэффициенты записанного разложения, по теореме о замене базисного вектора делаем вывод, что наборы 2) A1, A2, A4 ; 4) A2, A3, A4 линейно

независимы и являются базисами некоторых опорных решений. Набор A1, A3, A4 ,

ввиду его линейной зависимости, вычеркиваем из списка.

В результате в списке осталось два базиса (наборы 2 и 4), для которых еще не найдены опорные решения. Выбираем любой из них, например, набор 4) A2, A3, A4 , в качестве нового текущего базиса.

Перейдем от матрицы A1 к матрице новой равносильной системы, в которой базисные неизвестные будут соответствовать новому текущему базису. В системе с матрицей A1 базисные неизвестные x1, x2 , x3 , а в нужной нам системе ба-

зисными должны быть неизвестные Ошибка! Ошибка связи.. Значит, неизвестное x4 должно быть введено в число базисных вместо x1 . Для этого над матри-

цей A1 выполним жорданово исключение с ведущим элементом в 1-ой строке (соответствующей выводимому – из числа базисных неизвестному x1 ) и в 4- ом столбце (соответствующем неизвестному x4 )

Основное опорное решение системы с расширенной матрицей A2 имеет

вид

x 2 0, 2, 1/ 2, 1/ 2 .

Так как это решение x 2 и является опорным решением для базиса A2, A3, A4 ,

помечаем набор 4 списка и выбираем в качестве нового текущего базиса последний непомеченный набор A1, A2, A4 .

Для отыскания соответствующего опорного решения найдем равносильную систему с единичным базисом, в котором базисными будут неизвестные

36

x1, x2, x4 . Переход к расширенной матрице требуемой системы возможен как от матрицы A1, так и от матрицы A2 . Для простоты вычислений выполним переход от матрицы A1 (в ней все элементы – целые числа). В число базисных неизвестных нужно вместо x3 ввести x4 , поэтому выполняем жорданово исключение с ведущим элементом во 2-ой строке и 4-ом столбце. Получаем

Основное опорное решение системы с расширенной матрицей A3 x 3 1, 2,0, 1

и является опорным решением для базиса A1, A2, A4 .

Таким образом, заданная в условии задачи система имеет три опорных ре-

шения: x 1 1, 2, 1,0 , x 2 0, 2, 1 / 2, 1 / 2 , x 3 1, 2,0, 1 .

37

39

Часть II. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Введение.

Постановка задачи математического программирования

Пусть дано некоторое множество D En и функция f x , определенная в

каждой точке множества D . Задачей математического программирования (ЗМП) будем называть задачу нахождения наибольшего или наименьшего значения

функции f x на множестве D , а также хотя бы одной точки x D , в которой

это значение достигается.

Условимся записывать ЗМП в виде

min f x

x D

и называть функцию f x – целевой функцией, множество D – допустимым множеством, любую точку x множества D – допустимой точкой или планом, а

искомую точку x – оптимальной точкой или оптимальным планом.

З а м е ч а н и е. Здесь и далее мы рассматриваем только задачу нахождения наименьшего значения (задачу минимизации), так как задача максимизации функции f x равносильна задаче минимизации функции f x .

Обычно допустимое множество D задается при помощи нескольких уравнений или неравенств, называемых ограничениями

D x : gk x 0, k 1,l; i x 0, i 1,m .

В зависимости от наличия ограничений, определяющих допустимое множество, можно выделить следующие типы ЗМП:

а) задача безусловной минимизации (задача без ограничений, т.е. D En );

б) задача условной минимизации (задача с ограничениями).

Обсудим теперь вопрос о существовании решения ЗМП. Для этого рассмотрим примеры простейших ЗМП с целевыми функциями, одного переменного.

Пример 1. min y 2x 1.

x E1

Очевидно, что эта задача безусловной минимизации не имеет решения, так как целевая функция не ограничена снизу.

Пример 2. min y x2 .

x 0,1

Эта задача также не имеет решения, хотя в данном случае целевая функция ограничена на допустимом множестве.

Пример 3. min y sin x .

x E1

40

Наименьшее значение данной целевой функции равно 1, но это значение достигается не в единственной точке, а в бесконечном множестве точек допустимого множества.

Учитывая рассмотренные примеры, условимся, что под словами «решить ЗМП» будем подразумевать: либо установить, что задача не имеет решения, либо найти наименьшее значение целевой функции и указать хотя бы одну точку, в которой это значение достигается.

Сформулируем теперь теорему Вейерштрасса, выделяющую класс ЗМП, заведомо имеющих решение.

Теорема. Если функция f x непрерывна в каждой точке замкнутого

ограниченного множества D , то она достигает на этом множестве наименьшего и наибольшего значений.

Доказательство этой теоремы можно найти в любом курсе анализа. В заключение параграфа введем понятие эквивалентных ЗМП.

Определение. Две задачи математического программирования будем называть эквивалентными или равносильными, если либо они обе не имеют решения, либо они обе имеют решение, причем, зная оптимальную точку любой одной из них, можно найти оптимальную точку другой при помощи конечного числа арифметических действий.

Приведем примеры эквивалентных ЗМП.

Очевидно, что задачи а) и б) данного примера эквивалентны.

41

ГЛАВА I. ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМУМА

§ 1. Понятия локальных и глобального экстремумов Определение. Пусть функция f x определена в каждой точке множества

Очевидно, что любой глобальный минимум функции на некотором множестве является и ее локальным минимумом на этом множестве.

Рассмотрим, например, график функции одного переменного, определенной на отрезке a,b .

y

Локальными минимумами этой функции на отрезке a,b являются точки a , x2 , b ; локальными максимумами – точки x1, x3 ; глобальным минимумом – точка a ; глобальным максимумом – точка x3 .

Обсудим вопрос о применении введенных понятий для решения ЗМП.

Пусть дана задача минимизации min f x . Если известно, что эта задача имеет

x D

оптимальное решение, то для нахождения этого решения (глобального минимума), можно найти все локальные экстремумы целевой функции на допустимом множестве, сравнить значения f x в этих точках и выбрать из них наименьшее.

Отметим, что этот подход к решению ЗМП гарантирует правильный результат лишь в случае, когда обосновано существование оптимального решения.

42