ИсследОпераций

i1, n ; j 1, n ;

– означает «равносильно» или «эквивалентно»;

– символ, означающий конец доказательства.

3

§ 2. Основные понятия и определения

Определение. Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица

Если число строк в матрице равно числу столбцов, то матрица An n называ-

ется квадратной матрицей n -го порядка.

Определение. Квадратная матрица E , у которой на главной диагонали стоят единицы, а на остальных местах нули, называется единичной матрицей

Определение. Суммой матриц A и B одинакового размера называется матрица C такого же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых матриц.

Cm n Am n Bm n , cij aij bij .

Определение. Произведением матрицы A на число называется матрица B того же размера, полученная умножением каждого элементы матрицы A на число .

Bm n Am n , bij aij .

Определение. Произведением матрицы Am e на матрицу Be n называется матрица Cm n , каждый элемент которой cij равен сумме попарных произведений элементов i -ой строки первой матрицы и элементов j -го столбца второй матрицы.

cij ai1 b1 j ai2 b2 j ... aie bej . Cm n Am e Be n .

Умножение матриц определено лишь для таких двух матриц, что число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго. Заметим, что AB BA даже когда оба произведения существуют.

Определение. Матрица AT , полученная из матрицы A заменой ее строк столбцами с теми же номерами, называется транспонированной к данной.

4

Р е ш е н и е.

Обратную матрицу имеет только невырожденная матрица. Способ нахождения матрицы, обратной к данной, будет рассмотрен в следующем параграфе.

Определение. Линейной системой m уравнений с n неизвестными называется запись вида

верное равенство. Если система имеет хотя бы одно решение, она называется совместной, в противном случае – несовместной.

Определение. Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных, называется «матрица системы»

6

Определение. Евклидово пространство En – это множество n -мерных векторов x x1, x2, ..., xn , в котором определены операции:

сложения

xy x1, x2, ..., xn y1, y2, ..., yn

x1 y1, x2 y2, ..., xn yn ,

умножения на число

x x1, x2, ..., xn ,

скалярное произведение векторов

x, y x1y1 x2 y2 ... xn yn .

Длина вектора вычисляется по формуле

x x12 x22 ... xn2 .

§ 3. Матрицы

При решении многих задач, связанных с матрицами, используются преобразования матриц, называемые жордановыми исключениями.

Определение. Пусть дана произвольная матрица A и aij – некоторый, отличный от нуля ее элемент. Жордановым исключением с ведущим элементом aij

называется переход от матрицы A к матрице B того же размера, осуществляемый по следующим правилам:

1) все элементы ведущей (содержащей ведущий элемент) строки делятся на

aij ;

2)все остальные элементы ведущего столбца заменяются нулями;

3)остальные элементы матрицы B bkl (k i , l j ) вычисляются по фор-

муле

bkl aijakl ail akj . aij

З а м е ч а н и е 1. Расчет по последней формуле удобно производить, пользуясь «правилом прямоугольника»: для вычисления элемента bkl матрицы B ,

стоящего на месте элемента akl исходной матрицы A , мысленно выделяем прямоугольник с вершинами на элементе akl и ведущем элементе aij со сторонами, идущими по строкам и столбцам исходной матрицы A ,

8

Ведущий элемент

Для нахождения bkl нужно из произведения элементов, стоящих в вершинах вы-

деленного прямоугольника на концах диагонали, содержащей ведущий элемент, вычесть произведение элементов, стоящих на концах другой диагонали, и полученную разность разделить на ведущий элемент.

Пример 1. Дана матрица

Выполнить жорданово исключение с ведущим элементом a23 2 .

Р е ш е н и е. В результате жорданова исключения получим матрицу B того же размера, т.е. содержащую 3 строки и 4 столбца. Вычисление элементов матрицы B удобно производить в том порядке, который указан в определении жорданова исключения.

1) Сначала заполняем вторую строку матрицы B (она соответствует ведущей строке матрицы A ). Для этого соответствующие элементы ведущей строки

2) Затем заполняем нулями третий (соответствующий ведущему) столбец матрицы B . Получим

9

При выполнении жорданова исключения ведущий элемент всегда будем выделять рамкой, а исходную матрицу A с полученной матрицей B часто будем соединять знаком . С учетом этих обозначений выполненное преобразование запишется в виде:

Жордановы исключения широко используются при решении многих математических задач (особенно в курсах линейной алгебры и математического программирования). Поэтому необходимо научиться выполнять эти преобразования быстро и безошибочно.

Кроме того, следует отметить, что во многих задачах требуется выполнить жорданово исключение, ведущий элемент которого может быть выбран неоднозначно. От выбора ведущего элемента зависит громоздкость как текущих, так и последующих вычислений. Осуществить удачный выбор ведущего элемента часто помогает следующее замечание.

З а м е ч а н и е. Если в ведущей строке (ведущем столбце) содержится нулевой элемент, то при выполнении жорданова исключения все элементы соответствующего столбца (строки) не изменяются. Так в примере 1 второй столбец матрицы A после выполнения жорданова исключения не изменился.

Пример 2. Дана матрица

Какой элемент этой матрицы следует взять в качестве ведущего, чтобы вычисления при соответствующем жордановом исключении были наиболее простыми? Выполнить жорданово исключение с выбранным ведущим элементом.

Р е ш е н и е. Если нет никаких дополнительных условий, при выборе ведущего элемента обычно руководствуются следующими соображениями:

1)ввиду того, что при выполнении жорданова исключения приходится делить на ведущий элемент, удобно (если это возможно) выбрать ведущий элемент, равный единице;

2)учитывая замечание, ведущий элемент следует выбрать так, чтобы в его строке и в его столбце было как можно больше нулей.

Учитывая оба указанных соображения, для данной матрицы A в качестве ведущего следует взять элемент a22 1.

Выполним жорданово исключение с выбранным ведущим элементом a22 .

При преобразовании матрицы A в матрицу B :

а) вторая (ведущая) строка не изменится, так как ведущий элемент равен единице;

б) второй (ведущий) столбец заполнится нулями:

в) не изменятся также первая строка, третий и четвертый столбцы матрицы A , ввиду замечания.

и по правилу прямоугольника, за счет удачного выбора ведущего элемента, придется вычислить только элемент

Рассмотрим теперь применение жордановых исключений для нахождения ранга и обращения матриц.

Пусть дана произвольная матрица A . Требуется найти ее ранг r A .

Алгоритм нахождения ранга матрицы.

1) Если все элементы данной матрицы A равны нулю, то задача решена, r A 0 .

11

2)Если среди элементов матрицы A имеются ненулевые, то любой из таких элементов выбираем в качестве ведущего.

3)Выполняем жорданово исключение с выбранным ведущим элементом.

4)У полученной матрицы помечаем (например, символом V ) строку, соответствующую ведущей строке выполненного исключения, а также все строки, которые в предшествующей матрице имели ту же пометку (в начале процесса таких строк нет, но они появятся по ходу вычислений).

5)В полученной матрице вычеркиваем строки, состоящие из одних нулей (если такие строки существуют).

6)Рассматриваем наличие пометок у строк полученной матрицы. Возможно два случая:

а) помечены не все строки. Тогда любой ненулевой элемент, стоящий в непомеченной строке, выберем в качестве ведущего и переходим к шагу 3 данного алгоритма;

б) помечены все строки. Тогда вычислительный процесс закончен. Ранг исходной матрицы A равен числу строк матрицы, полученной в результате вычислений.

Пример 3. Найти ранг матрицы

Прокомментируем предложенное решение, занумеровав матрицы, полученные в процессе вычислений.

В качестве ведущего элемента для первого жорданова исключения может быть выбран любой ненулевой элемент исходной матрицы №1. Для простоты вы-

12