МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный экономический университет»

Институт управления (ИНЖЭКОН)

Кафедра логистики и организации перевозок

Утверждаю

Заместитель директора

по учебно-методической работе

и качеству образования

д.э.н., профессор

______________А.Г. Бездудная

«_____» _____________20__ г.

Рег. № __________

Экономико-математические методы в логистике

Методические указания

к выполнению лабораторных работ

для студентов всех форм обучения

Б3.В.ОД.3

Направление подготовки 080200 - Менеджмент

Профиль подготовки – Логистика

Отраслевая специализация –

Квалификация – бакалавр

Санкт-Петербург

2013

Допущено

редакционно-издательским советом СПбГЭУ

в качестве методического издания

Составители

д-р экон. наук, проф. Е.И. Зайцев

канд. техн. наук Е.В. Носкова

Подготовлено на кафедре

логистики и организации перевозок

Отпечатано в авторской редакции с оригинал-макета,

представленного составителями

© СПбГЭУ, 2013

Содержание

Общие положения ……………………………………………….	4
Лабораторная работа №1 Определение номенклатуры деталей критических по надёжности. Технико-экономический подход..…………….……..	5
Лабораторная работа №2 Прогнозирование продаж с использованием логистической модели тренда и модели сезонных колебаний спроса….………………………………………….	12
Лабораторная работа №3 Метод относительных предпочтений в задачах выбора. .........................................................................................................	22
Лабораторная работа №4 Оптимальная дислокация промежуточных складов сети распределения на плоскости…………………………………..	30
Список литературы ..……………………………………….……	37

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

В соответствии с учебным планом дисциплины студент должен выполнить цикл лабораторных работ. Выполнению лабораторных работ должна предшествовать углублённая проработка теоретического материала разделов курса, связанных с моделями анализа и группировки запасов, прогнозированием, оптимизацией и решением задач выбора. Условием успешного выполнения лабораторных заданий является умение работать на персональном компьютере с офисными приложениями.

Лабораторные работы выполняются в компьютерном классе. Технология расчётов ориентирована на возможности табличного процессора Excel с предустановленными расширениями «Анализ данных» и «Поиск решений», доступными через пункт меню «Сервис». Подготовка и настройка программного обеспечения заключается в проверке наличия этих инструментов на компьютере. Следует позаботиться и о резервном копировании файлов с данными и результатами расчётов на съёмный носитель. Каждая работа после выполнения и проверки преподавателем должна заканчиваться отчётом в электронной форме с выводами. Отчёты хранятся у преподавателя.

Следует обратить особое внимание на сохранность копий файлов с расчётами и промежуточными результатами для последующего оформления отчёта и защиты работ.

Лабораторная работа №1

Определение номенклатуры деталей критических по надёжности. Технико-экономический подход.

Цель работы: изучение методов ранжирования и группировки товаров по экономическим критериям.

Решаемые задачи:

• закрепление теоретических знаний, полученных на лекционных и практических занятиях по теме «Модели и моделирование в логистике: задача об упорядочении номенклатуры товаров, хранимых на складе»;

• освоение методов расчёта технико-экономических критериев, используемых для ранжирования товаров;

• освоение технологии сортировки и ранжирования товаров по выбранному критерию с помощью инструментов Excel.

1.1. ОПИСАНИЕ ЗАДАЧИ

Деталями, критическими по надёжности транспортного средства (ДКН), называются те, отказ которых приводит к наиболее экономически значимым последствиям. Замечено, что номенклатура таких деталей ограничена и, в принципе, отвечает известному правилу Парето 80/20. То есть, около 80% издержек, связанных с отказами техники, приходятся на примерно 20% номенклатуры деталей. Естественно, при организации работы склада запасных частей этот факт необходимо учитывать, обращая внимание, прежде всего, на группу деталей категории ДКН. В целом, эта задача связана с формированием ранжированной по важности номенклатуры запасов на складе. В теории управления запасами подобные задачи рассматриваются с точки зрения спроса или стоимости запасов (А-В-С и X-Y-Z анализ) и не имеют чёткого алгоритма решения.

Используя табличный процессор Excel, необходимо решить задачу о номенклатуре ДКН, используя в качестве критерия совокупные затраты, связанные с отказом деталей. Необходимо также разделить всю номенклатуру деталей на три группы (условно это группы А-В-С). Самыми важными следует считать детали, отказы которых приводят к наибольшим совокупным издержкам. Экономические последствия отказа определяются суммой трёх составляющих:

• затратами на приобретение новой детали;

• затратами на ремонт (замену детали) и эксплуатационные материалы;

• упущенной выгодой из-за простоя техники в ремонте.

Расчёт выполняется на основе статистической информации об отказах деталей за некоторую заданную наработку L. Общее количество отказов за наработку L равно:

(1.1)

где m_i – количество отказов детали i-го наименования за наработку L; n – общее количество наименований деталей (номенклатура).

1.2. АЛГОРИТМ

Расчёт затрат. Общие затраты, связанные с отказом детали, включают три составляющих, определяемых по следующим формулам.

1. Затраты на приобретение новых деталей взамен отказавших

, (1.2)

где С_дi – стоимость детали i-го наименования (руб./шт.).

2. Затраты на восстановление работоспособности транспортного средства путём ремонта

, (1.3)

где С_рi и t_рi – соответственно удельная стоимость ремонта (руб./ч) и время простоя в ремонте (час) по причине отказа детали i-го наименования. Удельная стоимость ремонта зависит от его сложности и оценивается по тарифной сетке для слесарей-ремонтников.

3. Потери от простоев транспорта из-за отказов (упущенная выгода)

, (1.4)

где С_лi – себестоимость перевозок (руб./ч); t_лi – потери линейного времени из-за отказа детали i-го наименования (час); S_шi – штраф за нарушение условий поставки (руб.).

Суммарные издержки, связанные с отказом детали i-го наименования, определяются по формуле

, (1.5)

где _д , _р , _п – коэффициенты значимости составляющих издержек (весовые коэффициенты). Весовыми коэффициентами можно учитывать особенности условий эксплуатации и сложившегося рынка транспортных услуг. Например, сложности в поставках запасных частей, проблемы качества ремонта или высокий риск потери клиентуры.

Преобразование затрат. Номенклатура ДКН по группам А‑В-С определяется аналитически и графически в виде диаграммы Парето. Последовательность расчёта следующая.

1. Используя исходные данные (табл.1.1), по формулам (1.1 – 1.5) вычисляются суммарные издержки по всем деталям номенклатуры (см. форму табл.1.1). Получим вектор издержек

.

2. Полученный вектор издержек путём сортировки преобразуется в убывающий вариационный ряд

.

3. Для преобразования следует использовать функции сортировки Excel по столбцу суммарных издержек, представленному в числовом формате.

4. Вычисляются общие затраты по всей номенклатуре за наработку L

.

5. Полученный вариационный ряд издержек удобнее представлять в процентах (%). Поэтому он преобразуется путём нормировки по формуле

.

6. Вычисляется вектор накопленных издержек в виде кумулятивного ряда (%)

для всех k=1,2,…. n.

Результаты сортировки и преобразований представляются в форме табл.1.1.

Таблица 1.1

Форма для вычисления затрат

№	Деталь	mi	Сдi, $/шт.	tpi, час	tлi, час	Sдi, $	Spi, $	Sпi, $	Суммарные издержки
									$	%	%
									Si	Ri	Vk
1	Стартер	5	100	1	1
2	Генератор	4	120	1	0
3	Карданный шарнир	10	50	2	0
4	Рессора	12	70	3	3
5	Сальник КПП	28	3	6	2
6	Диск сцепления	6	10	5	1
7	Тормозная накладка	15	3	2	0
8	Форсунка	12	7	1	0
9	Подшипник ступицы	4	9	1	0
10	Рулевая тяга	3	11	3	0
11	Фильтр топливный	7	3	1	0
12	Топливопровод	9	2	1	2
13	Стремянка рессоры	15	2	3	2
14	Масляный фильтр	8	3	1	0
15	Топливный насос	2	170	1	0
16	Вкладыши	4	10	6	3
17	Прокладка блока	7	5	3	1
18	Реле поворотов	12	4	1	1
19	Привод спидометра	5	3	1	1
20	Амортизатор	6	5	3	1
Сумма, S0=										100	100

Аналитический способ группировки ДКН. К деталям категории ДКН будем относить все те, для которых уровень затрат превышает среднее значение по всей номенклатуре за заданную наработку. Средний уровень удельных (на одну условную деталь) затрат определяется по формуле

, (%).

Следовательно, к категории ДКН (группа А) следует отнести все детали из вариационного ряда, для которых

R_j  P₀. (1.6)

Группы деталей категорий В и С находятся следующим образом:

• подсчитывается количество деталей группы А n_A с учётом (1.6) и соответствующие этой группе деталей издержки в % по кумулятивному ряду P_A;

• вычисляются средние издержки по оставшимся деталям

.

К категории В следует отнести все детали, для которых выполняется правило

P₀ > R_j  P₁. (1.7)

Остальные детали составляют группу С.

Графический способ группировки ДКН. Для графического способа деления деталей на группы А-В-С необходимо средствами Excel построить график накопленных издержек (кумулятивная кривая) V(k), соединив точки плавной выпуклой кривой (рис.1.1). Затем необходимо соединить прямой линией начальную и конечную точки (0–n). Касательная к выпуклой кривой накопленных издержек V(k), параллельная прямой (0–n), отсекает слева от точки касания группу деталей категории А. Если далее соединить прямой точку касания с конечной точкой и провести параллельно ей новую касательную к кумулятивной кривой издержек, то новая точка касания разделит оставшиеся детали на группы В (слева) и С (справа).

1.3. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Исходные данные для выполнения лабораторной работы следующие.

1. Количество наименований деталей (номенклатура): n=20.

2. Весовые коэффициенты: _д = 0,8; _р = 0,5; _п = 1,2.

3. Удельная стоимость ремонта и себестоимость перевозок постоянны и равны соответственно: C_р=5 $/ч; C_л=10 $/ч.

4. Штрафные санкции за нарушения контрактных условий не применяются: все S_шi = 0.

Остальная, необходимая для расчётов, информация приведена в табл.1.1. Эта же таблица представляет собой форму для вычислений затрат.

1.4. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Выполнение лабораторной работы начинается с внимательного прочтения описательной части задачи и изучения алгоритма. После завершения ознакомительного этапа последовательно выполняются следующие подготовительные, расчётные и отчётные операции.

1. Создать новый файл Excel и в заголовке первого листа напечатать информацию о разработчиках:

дата, группа, подгруппа, фамилии и инициалы.

2. Подготовить таблицу для расчётов по форме табл.1.1 и ввести в неё исходные данные.

3. В той же таблице произвести необходимые промежуточные расчёты затрат по формулам (1.1 – 1.5).

4. Выполнить сортировку с построением убывающего вариационного ряда R_j.

5. Вычислить суммарные издержки нарастающим итогом V_j (кумулятивные издержки).

6. Вычислить уровни средних удельных затрат Р₀ и Р₁. Далее аналитическим способом разделить детали на группы.

7. Решить ту же задачу графическим способом, как показано на рис.1.1.

 Рис.1.1. Диаграмма Парето: экран Excel А-В-С анализа

По завершении расчётов оформить краткие выводы по работе и записать результаты в виде файла на указанный преподавателем диск.

Лабораторная работа №2

Прогнозирование продаж с использованием логистической модели тренда и модели сезонных колебаний спроса

Цель работы: изучение методов прогнозирования продаж товаров с учётом сезонности.

Решаемые задачи:

• закрепление теоретических знаний, полученных на лекционных и практических занятиях по теме «Методы прогнозирования в задачах логистики: метод наименьших квадратов»;

• освоение методов расчёта параметров трендовых моделей для прогнозирования продаж товаров;

• освоение технологии прогнозирования на основе аддитивной логистических моделей с сезонностью при помощи аналитических инструментов Excel.

2.1. ОПИСАНИЕ ЗАДАЧИ

Используя табличный процессор Excel, по данным учёта продаж в объёмных единицах заданного товара (штуки) и в денежном выражении, полученных из базы данных магазина и представленных в таблице исходных данных, построить математическую модель для прогнозирования поквартальных продаж на длительную перспективу. Для прогнозирования на длительный период следует учитывать качественное изменение динамики показателей. Наилучшим образом для этого подходит модель жизненного цикла, формальное представление которой связано с S - образными кривыми. Следует воспользоваться логистической моделью общего тренда и тренда амплитуды сезонных колебаний. Параметры модели определяются методом наименьших квадратов (МНК) с применением средства ПОИСК РЕШЕНИЯ (минимизируется сумма квадратов отклонений модели от фактических данных). Сама процедура построения модели состоит из этапов поиска коэффициентов логистических моделей тренда и амплитуды остатков, корреляционного анализа зависимости объёмов продаж в денежном выражении от продаж в штуках, построения графиков, прогнозирования продаж на 2,5 года (12 кварталов).

2.2. АЛГОРИТМ

Логистическая модель тренда. Для прогнозирования тренда продаж по кварталам используется логистическая функция

, (2.1)

где: y – прогнозируемый показатель; t – аргумент (номер квартала); a_i – коэффициенты, определяемые в результате МНК – аппроксимации исходных данных.

Суть МНК заключается в поиске коэффициентов модели a_i путём минимизации квадратичной формы (целевая функция)

, (2.2)

где: q_j – фактические данные о поквартальных продажах, j=1,2,..N; y=f(t_j) – исследуемая модель продаж (2.1) параметры которой определяются по статистическому ряду размером N; N – количество кварталов в ретроспективном ряду данных.

Модель сезонных колебаний. Для прогнозирования сезонных колебаний продаж используется тригонометри­ческая модель отклонений фактических данных от тренда (остатков). В этой модели амплитуда h меняется также по логистической зависимости. То есть:

, (2.3)

где: b_i – коэффициенты, определяемые в результате МНК – аппроксимации отклонений фактических данных от логистического тренда (2.2).

Величина k в формуле (2.3) определяет частоту сезонных колебаний и находится по графику фактических данных с учётом табл.2.1. Очевидно, максимум амплитуды наблюдается в t-ом квартале, для которого Cos(x)=1 (значение π – в радианах). Иными словами, для квартала, в котором наблюдается пик продаж, аргумент функции Cos() должен быть кратным 2π.

Таблица 2.1

х	0	π/2	π	3π/2	2π
Cos(x)	1	0	-1	0	1

Общая модель. Общая модель прогнозирования определяется в виде суммы моделей (2.1) и (2.3)

z(t) = y(t) + h(t). (2.4)

Ошибка прогноза. Оценка ошибки прогноза продаж находится по формуле

где:

(2.5)

стандартная ошибка (С.К.О.); z_j и z_прj – соответственно фактические и прогнозные (модельные, вычисленные по (2.4)) значения продаж; β – критерий Стьюдента, определяемый при доверительной вероятности α=0,1 и числе степеней свободы где N – количество точек наблюдения (фактических данных). Для вычисления критерия можно воспользоваться стандартной функцией СТЬЮДРАСПОБР(α,r).

Пересчёт объёмов продаж в денежный формат. Средствами Excel строится график зависимости между продажами в денежной форме y и в штуках x, для которого находится линейный тренд вида y=dx. В качестве критерия адекватности модели используется коэффициент детерминации, отражающий тесноту статистической связи между фактическими и модельными (сглаженными) данными

, (2.6)

где: – среднее по ряду; y_j – фактическое значение функции (прогнозируемого параметра); f(t_j) – модельное значение функции; N – количество точек в анализируемом массиве данных.

2.3. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Исходные данные для выполнения лабораторной работы представляют собой временной ряд помесячных продаж товара заданного наименования. Вариант задания (товар) задаётся преподавателем, а исходные данные выбираются из табл.2.2.

2.4. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Выполнение лабораторной работы начинается с внимательного прочтения описательной части задачи и изучения алгоритма. После завершения ознакомительного этапа последовательно выполняются следующие подготовительные, расчётные и отчётные операции.

1. Создать новый файл Excel и в заголовке первого листа напечатать информацию о разработчиках:

дата, группа, подгруппа, фамилии и инициалы, вариант задания (наименование товара).

2. Подготовить таблицу для расчётов и ввести в неё исходные данные о продажах по месяцам в объёмном и денежном выражении.

3. Произвести группировкой пересчёт помесячных продаж в продажи поквартальные, сформировать соответствующую таблицу (всего получится 16 кварталов) и по ней построить точечный график.

4. Средствами Excel добавить на график линию тренда с выводом уравнения регрессии и коэффициента детерминации (рис.2.1). Использовать для этих целей инструмент Excel «ДОБАВИТЬ ЛИНИЮ ТРЕНДА» из набора меню и настроить соответствующие параметры в диалоговом окне (рис.2.2).

5. Построить график динамики поквартальных продаж в штуках (рис.2.3).

Рис.2.1. Модель y=dx: экран Excel с графиком зависимости

Рис.2.2. Диалоговое окно в режиме «Формат линии тренда»

Таблица 2.2

Год	Квар­тал	Ме­сяц	Компьютеры		Бытовая техника		Видео и аудио техника		Фототехника		Стиральные машины		Сантехника
			штук	руб.	штук	руб.	штук	руб.	штук	руб.	штук	руб.	штук	руб.
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
1	1	1	10,54	2293,56	25,62	2293,56	17,19	1903,65	6,64	802,74	27,73	5389,86	14,02	3509,14
		2	10,38	2718,71	25,22	2718,71	16,92	2256,53	6,54	951,55	27,30	6388,97	13,81	4159,63
		3	11,60	2851,45	28,18	2851,45	18,90	2366,71	7,31	998,01	30,50	6700,91	15,42	4362,72
	2	4	10,27	2407,29	24,95	2407,29	16,74	1998,05	6,47	842,55	27,00	5657,13	13,66	3683,15
		5	9,71	2299,87	23,59	2299,87	15,82	1908,89	6,12	804,95	25,53	5404,69	12,91	3518,80
		6	12,26	3013,07	29,79	3013,07	19,98	2500,85	7,72	1054,58	32,24	7080,72	16,30	4610,00
	3	7	13,14	3141,58	31,93	3141,58	21,42	2607,51	8,28	1099,55	34,56	7382,72	17,48	4806,62
		8	15,44	3896,62	37,52	3896,62	25,17	3234,20	9,73	1363,82	40,61	9157,06	20,54	5961,83
		9	14,51	3663,46	35,26	3663,46	23,65	3040,67	9,14	1282,21	38,16	8609,14	19,30	5605,10
	4	10	15,78	4016,43	38,36	4016,43	25,73	3333,63	9,94	1405,75	41,51	9438,60	20,99	6145,13
		11	18,05	4595,75	43,87	4595,75	29,43	3814,47	11,37	1608,51	47,48	10800,01	24,01	7031,49
		12	40,13	10092,32	97,52	10092,32	65,42	8376,62	25,28	3532,31	105,55	27602,48	53,38	15441,24
2	5	1	17,62	4016,17	42,83	4016,17	28,73	3333,42	11,10	1405,66	52,17	10984,22	23,44	6144,74
		2	17,06	4092,78	41,45	4092,78	27,81	3397,01	10,75	1432,47	50,49	11193,75	22,69	6261,95
		3	18,18	4238,52	44,17	4238,52	29,63	3517,97	11,45	1483,48	53,81	11592,36	24,18	6484,94
	6	4	15,98	3564,21	38,84	3564,21	26,05	2958,29	10,07	1247,47	47,31	9948,11	21,26	5453,24
		5	16,35	3774,47	39,72	3774,47	26,64	3132,81	10,30	1321,06	48,38	11323,18	21,74	5774,94
		6	19,45	4790,43	47,26	4790,43	31,70	3976,06	12,25	1676,65	57,56	14101,83	25,86	7329,36
	7	7	19,66	5021,84	47,77	5021,84	32,05	4168,13	12,39	1757,64	58,19	13734,74	26,15	7683,42
		8	24,46	5950,43	59,44	5950,43	39,87	4938,85	15,41	2082,65	72,41	16274,42	32,53	9104,15
		9	25,38	6439,73	61,67	6439,73	41,37	5344,98	15,99	2253,91	75,12	17612,67	33,75	9852,79
	8	10	29,31	7586,90	71,23	7586,90	47,78	6297,13	18,47	2655,42	86,77	20750,18	38,99	11607,96
		11	30,52	8150,20	74,17	8150,20	49,75	6764,67	19,23	2852,57	90,35	22290,80	40,60	12469,81
		12	62,49	16105,14	151,84	16105,14	101,85	13367,26	39,37	5636,80	164,34	44047,55	83,11	24640,86

Продолжение таблицы 2.2

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
3	9	1	28,08	6127,52	68,24	6127,52	45,77	5085,84	17,69	2144,63	73,86	18318,80	37,35	9375,11
		2	27,42	5982,60	66,64	5982,60	44,70	4965,56	17,28	2093,91	72,13	16956,49	36,47	9153,37
		3	27,95	6238,40	67,91	6238,40	45,55	5177,88	17,61	2183,44	73,50	18596,01	37,17	9544,76
	10	4	22,60	5127,34	54,91	5127,34	36,83	4255,69	14,23	1794,57	59,42	12818,36	30,05	7844,84
		5	20,91	5384,82	50,82	5384,82	34,09	4469,40	13,18	1884,69	55,00	13462,05	27,81	8238,78
		6	24,71	6293,11	60,05	6293,11	40,28	5223,28	15,57	2202,59	64,99	15732,78	32,87	9628,46
	11	7	26,74	6728,73	64,98	6728,73	43,58	5584,84	16,85	2355,05	70,32	16821,82	35,56	10294,95
		8	40,47	11316,48	98,35	11316,48	65,97	9392,68	25,50	3960,77	106,45	28291,19	53,83	17314,21
		9	45,86	12138,56	111,43	12138,56	74,75	10075,01	28,89	4248,50	120,61	30346,41	60,99	18572,00
	12	10	43,28	11417,24	105,18	11417,24	70,55	9476,31	27,27	3996,04	113,84	26543,11	57,57	17468,38
		11	50,78	14895,05	123,40	14895,05	82,77	12362,89	31,99	5213,27	133,55	35237,62	67,54	22789,42
		12	100,97	28162,88	245,35	28162,88	164,58	23375,19	63,61	9857,01	235,26	69407,20	134,29	43089,20
4	13	1	49,56	13746,29	120,43	13746,29	80,78	11409,42	26,27	3780,23	115,47	33365,71	65,91	21031,82
		2	50,86	13589,97	123,59	13589,97	82,90	11279,68	26,96	3737,24	118,50	32974,93	67,64	20792,66
		3	49,31	13301,07	119,82	13301,07	80,38	11039,89	26,13	3657,79	114,89	31252,68	65,58	20350,64
	14	4	45,96	13089,49	111,68	13089,49	74,91	10864,27	24,36	3599,61	107,09	30723,72	61,13	20026,91
		5	43,91	12275,89	106,71	12275,89	71,58	10188,99	23,27	3375,87	102,32	28689,71	58,41	18782,11
		6	55,92	15589,40	135,89	15589,40	91,15	12939,20	29,64	4287,08	130,30	36973,49	74,37	23851,78
	15	7	52,40	13186,18	127,33	13186,18	85,41	10944,53	27,77	3626,20	122,09	31965,45	69,69	20174,86
		8	57,00	15937,13	138,51	15937,13	92,91	13227,81	30,21	4382,71	132,81	38842,81	75,81	24383,80
		9	62,33	16498,68	151,46	16498,68	101,60	13693,91	33,03	4537,14	145,23	40246,71	82,90	25242,98
	16	10	57,12	15066,84	138,80	15066,84	93,11	12505,48	30,27	4143,38	133,09	30667,09	75,97	23052,26
		11	70,33	20629,55	170,90	20629,55	114,64	17122,53	37,27	5673,13	163,87	50573,88	93,54	31563,21
		12	140,20	39105,42	340,69	39105,42	228,53	32457,50	74,31	10753,99	326,67	83763,56	186,47	59831,30

6. Создать таблицу для расчёта параметров общей модели прогнозирования по форме табл.2.3. В данной форме выделены изменяемые и целевые ячейки, используемые для поиска коэффициентов моделей. В столбце «Прогноз» выполняется расчёт продаж в денежном выражении с учётом полученной регрессионной модели и общей модели продаж в штуках в п.4 (домножение на коэффициент пересчёта d).

Таблица 2.3

a0=	a1=	a2=		b0=	b1=	b2=
2	2	2		2	2	2
Квартал	Штуки	Тренд	Квадр. отклон.	Остатки	Модель	Квадр. отклон.	Общая модель	Квадр. отклон.	Прогноз
1
2
….	….	….	….	….	….	….	….	….	….
			Сумма			Сумма		С.К.О.
								Ошибка

7. Вычислить значения параметров логистического тренда, используя начальные значения параметров модели a₀=2, a₁=2, a₂=2 (табл.2.3).

8. Расчёт выполняется в режиме «ПОИСК РЕШЕНИЯ». Для этого необходимо создать сценарий поиска коэффициентов модели (2.1) следующим образом (рис.2.3):

• в качестве целевой ячейки выбрать ячейку со значением целевой функции S, (формула (2.2), ячейка СУММА в форме табл.2.3);

• установить флажок «Равной» на поле «Минимальному значению»;

• в качестве изменяемых ячеек выбрать ячейки с начальными значениями параметров модели a0, a1 и a2;

• настройку параметров поиска решения установить в соответствии с рис.2.4.

9. Добавить на график динамики поквартальных продаж в штуках (рис.2.3) рассчитанные в п.7 значения логистического тренда. Визуально проверить по графику правильность найденной модели логистического тренда.

Рис.2.3. Диалоговое окно в режиме «ПОИСК РЕШЕНИЯ»

Рис.2.4. Диалоговое окно настройки режима оптимизации

10. Для прогнозирования сезонных колебаний вычислить значения остатков, вычитая тренд из фактических данных (штуки, табл.2.3).

11. Для определения значения параметра k в модели остатков по формуле (2.3) построить график динамики остатков (рис.2.5), определить период колебаний остатков и номер квартала, в котором наблюдается пик продаж в течение года.

Рис.2.5 Экран Excel с графиком динамика остатков

12. Вычислить значения модели остатков (2.3), используя начальные (произвольные, табл.2.3) значения параметров модели b_i.

13. Добавить на график динамики остатков (рис.2.5) значения модели остатков, рассчитанные в п.12. Визуально проверить по графику правильность рассчитанного периода сезонных колебаний.

14. Повторить пункт 8 для поиска параметров модели остатков, соответственно поменяв целевую и изменяемые ячейки.

15. Выполнить расчёт продаж по общей модели (2.4) и вычислить ошибку прогноза по формуле (2.5) для 16-го квартала. Прогноз по общей модели сделать на 10 кварталов вперёд.

16. Добавить графики прогноза по общей модели (2.4) к графику динамики продаж. Окончательно график прогноза выглядит так, как представлено на рис.2.5.

Рис.2.5. Экран Excel с графиками результатов прогнозирования

По завершении расчётов оформить краткие выводы по работе, представить результаты преподавателю и записать их в виде файла на указанный преподавателем диск.

Лабораторная работа №3

Метод относительных предпочтений в задачах выбора. Выбор места для организации регионального склада.

Цель работы: изучение методов поддержки принятия решений в условиях неопределённости выбора.

Решаемые задачи:

• закрепление теоретических знаний, полученных на лекционных и практических занятиях по теме «Поддержка принятия решений в логистике: задачи выбора»;

• освоение методов решения задач выбора в условиях неопределённости на основе модели отношений предпочтения;

• освоение технологии вычисления коэффициентов значимости конкурирующих решений с использованием матричных операций в Excel.

3.1. ОПИСАНИЕ ЗАДАЧИ

Одной из важных проблем в стратегическом управлении является проблема выбора. Имеется большой класс задач выбора, решение которых на сегодня не обеспечено в должной мере аналитически. Это задачи выбора в условиях неопределённости. Неопределённость обусловлена сложностью учёта многих, влияющих на выбор, факторов. Сложность состоит, как правило, в том, что эти факторы не всегда можно представить в виде каким либо образом вычисленных значений. С другой стороны, то, что поддаётся расчётам разноразмерно и трудно сводимо к единому, однозначно интерпретируемому критерию выбора. Например, это задачи:

• выбора поставщиков техники (продавцов, лизинг, аренда);

• выбора способа транспортировки и типа транспортного средства;

• выбор посредников;

• выбор способа инвестирования средств;

• выбор месторасположения регионального склада или логистического центра и другие.

Одним из достаточно простых и эффективных способов решения таких задач является метод относительных предпочтений (МОП). Суть метода состоит в сравнении попарно факторов и возможных вариантов решений по всем, определяющим выбор, факторам. Значимость факторов определяется на основе экспертных оценок или предпочтений выбирающего. Значения факторов рассчитываются, если это возможно, либо определяются в баллах по результатам экспертиз. Окончательное решение в виде вектора весовых коэффициентов вариантов решений находится из матричного уравнения. Наибольший весовой коэффициент соответствует наилучшему варианту решения.

В лабораторной работе требуется, используя алгоритм МОП, средствами Excel решить задачу выбора города в регионе для создания в нем регионального склада товаров.

3.2. АЛГОРИТМ

Условия задачи. Пусть имеется m возможных вариантов решения и n факторов, влияющих на выбор (факторы предпочтения). Факторы сравниваются попарно между собой путём деления значения одного на значение другого. Результаты называются отношениями предпочтения и записываются построчно в виде матрицы:

, (3.1)

в которой диагональные элементы равны 1 , а другие элементы подчиняются соотношению

. (3.2)

Весовой вектор факторов. Для определения вектора весовых коэффициентов предпочтения факторов

(3.3)

решается матричное уравнение относительно G

(3.4)

при условии .

Значения вектора G можно определить разными способами. Например, по формуле

. (3.5)

Матрицы относительных предпочтений вариантов решений по факторам. Сравнивая попарно варианты решений по каждому из факторов и записывая эти сравнения в виде отношений предпочтения (3.1–3.2), получим n матриц (B1, B2,…Bn) порядка m (по количеству факторов). Решая матричные уравнения

и используя формулы (3.4–3.5), получим n весовых векторов (G1, G2,…Gk,…Gn)

(3.6)

из которых формируется агрегированная весовая матрица вариантов решений

U=(G1,G2, …Gn). (3.7)

Окончательное решение. Конечное решение задачи выбора представляет собой вектор весов вариантов V, определяемый произведением матриц

. (3.8)

Наибольшее значение соответствует наилучшему варианту решения (в смысле предпочтений в условиях неопределённости).

Пример формирования матриц. При n=3 и m=4 имеем

, , ,

… и т. д. .

3.3. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Исходные данные для выполнения лабораторной работы приведены в табл.3.1–3.2. Два фактора требуют обращения. Это означает, что данные факторы не являются предпочтительными при выборе решения и при вычислениях используются их обращённые значения. Обращению подлежат значения факторов (табл.3.2), а не их значимость.

Таблица 3.1

Фактор	Обозначение	Обращение	Значимость
Расстояние транспортировки, тыс.км	Х1	1/Х1	2
Стоимость аренды склада, $/м2год	Х2	1/Х2	3
Объемный спрос на товары, тыс.м3/год	Х3	–	10
Состояние и перспективы рынка	Х4	–	9

Таблица 3.2

Город	Х1	Х2	Х3	Х4
Н.Новгород	3,4	110	50	6
Самара	3,1	120	65	10
Казань	2,6	95	55	9
Саратов	3,8	80	35	7

3.4. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Выполнение лабораторной работы начинается с внимательного прочтения описательной части задачи и изучения алгоритма. После завершения ознакомительного этапа последовательно выполняются следующие подготовительные, расчётные и отчётные операции.

1. Создать новый файл Excel и в заголовке первого листа напечатать информацию о разработчиках:

дата, группа, подгруппа, фамилии и инициалы.

2. Создать таблицы исходных данных, выполнив обращение факторов, имеющих отрицательный характер в смысле предпочтений.

3. Сформировать единичную матрицу А (матрицу с диагональными элементами равными 1).

4. Сформировать матрицу предпочтений факторов из матрицы А по правилу (3.1–3.2), используя значения значимости факторов из табл.3.1 и вводя результат сравнения построчно справа от диагональных элементов. Например, a₁₂=X1/X2.

5. Выполнить обращение элементов матрицы. То есть заполнить оставшиеся свободные слева от диагонали элементы матрица значениями (3.2) (a_ji=1/a_ij).

6. Вычислить весовой вектор факторов G по формуле (3.5), используя форму табл.3.3.

7. Сформировать диагональную матрицу В1 размером mxm для определения весового вектора G1 (вектор предпочтений вариантов по фактору Х1).

8. Заполнить матрицу В1 так же, как описано в п.п. 4–5, используя значения фактора Х1 из табл.3.2.

9. Вычислить весовой вектор G1 выбора по фактору Х1 так же, как описано в п.6.

Таблица 3.3

m=

n=

Вес

i ↓

Матрица А j →

Промежуточная матрица aij/∑akj

gi =

1

1

1

1

Сумма akj

∑=

1

10. Повторить п.п.7–9 для вычисления весовых векторов (3.6) по всем оставшимся факторам (Х2, Х3 и Х4). Эта операция легко выполняется средствами копирования с последующим редактированием.

11. Сформировать сводную весовую матрицу U (3.7) путём агрегирования частных решений (векторов G1, G2, G3, G4). Матрица формируется в одной сплошной области листа.

12. Вычислить результирующий весовой вектор V (3.8) путём умножения матрицы U на вектор G. Для этого использовать функцию умножения матриц

МУМНОЖ(__;___).

Умножение матриц выполняется следующим образом.

• Выделить область под ответ. В данном случае это столбец размером m – по количеству вариантов решений.

• В выделенной области ввести знак =.

• Выбрать функцию Excel «Умножение матриц».

• В диалоговом окне (рис.3.1) ввести перемножаемые матрицы: массив 1 – матрица U; массив 2 – вектор G.

• После ввода массивов нажать одновременно комбинацию клавиш

Shift+Ctrl+Enter

В выделенную область будет выведен результирующий вектор V.

Рис.3.1. Экран Excel: перемножение матриц

Решение необходимо представить в форме программы (результаты вычислений должны зависеть только от исходных данных, приведённых в таблицах). Правильность выполнения задания проверяется путём ввода новых (контрольных) значений факторов, представленных в табл.3.4. Следует выполнить вычисления с изменёнными значениями значимости факторов (табл.3.4).

Таблица 3.4

Фактор	Х1	Х2	Х3	Х4
Значимость	10	7	4	2

Лабораторная работа №4

Оптимальная дислокация промежуточных складов сети распределения на плоскости

Цель работы: изучение методов оптимизации с нелинейными целевыми функциями.

Решаемые задачи:

• закрепление теоретических знаний, полученных на лекционных и практических занятиях по теме «Математическое программирование: транспортно-складские задачи нелинейного программирования»;

• освоение методов решения задач оптимальной дислокации промежуточных складов в распределительной сети координатным методом;

• освоение технологии поиска оптимальных решений в нелинейных задачах логистики с использованием инструментов Excel.

4.1. ОПИСАНИЕ ЗАДАЧИ

Необходимо найти решение задачи доставки товаров с центрального склада потребителям в регионах через сеть промежуточных (региональных) складов, минимизируя суммарные затраты на доставку и складирование. Количество, спрос и местоположение потребителей известны. Известны также себестоимости доставки товаров потребителям с региональных складов и с центрального склада на региональные. При заданных провозных возможностях применяемых транспортных средств и стоимости операций по складированию и грузообработке необходимо определить количество, ёмкость и местоположение промежуточных (региональных) складов, используя координатный метод позиционирования объектов на плоскости.

4.2. АЛГОРИТМ

Модель дислокации. Модель дислокации объектов распределительной сети на плоскости с одним поставщиком и несколькими промежуточными складами представлена на рис.4.1. Общая ёмкость промежуточных складов должна быть равна суммарному спросу (условие баланса ввоза и вывоза для промежуточных складов). Доставка с центрального склада на промежуточные осуществляется автопоездом ёмкостью a единиц товара с себестоимостью C_a (стоимость доставки на единицу пробега). Доставка с промежуточных складов конечным потребителям осуществляется автомобилем ёмкостью b с себестоимостью C_b. Причём a > b.

Y

y_j

l_ij

L_i

X

x_j

- центральный склад

- региональный склад

- потребитель

Рис.4.1. Схема дислокации объектов распределительной сети на плоскости: L_i - расстояние от центрального склада до i-го промежуточного; l_ij - расстояние от i-го промежуточного склада до j-го потребителя; (x_j,y_j) - координаты j-го потребителя, j=1,..m; (,) - координаты i-го промежуточного склада, i=1,…n; q_j – спрос j-го потребителя; Q_i – ёмкость i-го промежуточного склада.

Целевая функция. Условием оптимальности решения является минимум суммарных затрат на транспортировку и складирование товаров

S₀ = S₁ + S₂ + S₃ → min (4.1)

где: S₁ – затраты на доставку товаров с центрального склада на промежуточные; S₂ - затраты на доставку товаров с промежуточных складов потребителям; S₃ - затраты на складирование и хранение товаров на промежуточных складах.

Составляющие суммарных затрат вычисляются по следующим формулам.

1. Затраты на доставку товаров с центрального склада на промежуточные

, (4.2)

где: R_i=Q_i/a – количество рейсов автопоезда на i-й промежуточный склад; - расстояние от центрального склада до i-го промежуточного склада.

2. Затраты на доставку товаров с промежуточных складов потребителям

, (4.3)

где: P_ij=Z_ij/b - количество рейсов автомобилей с i-го промежуточного склада к j-ому потребителю; Z_ij – объем товаров, вывозимых с i-го промежуточного склада j-ому потребителю, определяемый в процессе поиска решения (разновидность транспортной задачи с закреплением складов); - расстояние от i-го промежуточного склада до j-ого потребителя.

3. Затраты на складирование, определяемые в виде суммы затрат на хранение, зависящих от объёма запасов, и дополнительных затрат на обслуживание склада и взаимодействие

, (4.4)

где: С_х – себестоимость хранения; C_k – дополнительные затраты на обслуживание склада и коммуникационные услуги (взаимодействие).

Система ограничений. Для решения транспортно-складской задачи математического программирования необходимо ввести следующие ограничения:

• требование баланса ввоза-вывоза для промежуточных складов

; (4.5)

• требование полного удовлетворения спроса потребителей

для всех j=1,2,…m. (4.6)

• требование неотрицательности искомых переменных Z_ij ≥ 0, и целочисленности объемов Z_ij.

Задача решается путём последовательного увеличения количества промежуточных складов n=0, 1,2 ….. до тех пор, пока значение целевой функции не начнёт увеличиваться. Оптимальным является решение, для которого значение целевой функции (4.1) минимально. Каждый вариант расчёта следует размещать на отдельном листе Excel, используя инструменты копирования и переименования листов.

4.3. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Данные о спросе на товары и координаты размещения потребителей представлены в табл.4.1. Дополнительные данные для расчётов следующие:

• ёмкости транспортных средств: a=20; b=5;

• себестоимость транспортировки: C_a=1,1; C_b=1,2;

• затраты на складирование: C_x=2; C_k=4000.

Таблица 4.1

j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
qj	80	100	100	90	90	120	110	80	110	140	150
xj	10	30	55	15	30	40	70	110	20	90	90
yj	60	50	60	20	30	30	60	20	80	30	50
j	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
qj	125	110	170	100	90	80	95	85	130	125	120
xj	110	120	100	130	140	120	50	60	40	130	30
yj	60	80	90	100	70	30	110	90	80	50	70

4.4. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Выполнение лабораторной работы начинается с внимательного прочтения описательной части задачи и изучения алгоритма. После завершения ознакомительного этапа последовательно выполняются следующие подготовительные, расчётные и отчётные операции.

1. Создать новый файл Excel и в заголовке первого листа напечатать информацию о разработчиках:

дата, группа, подгруппа, фамилии и инициалы.

2. Создать таблицу исходных данных и выполнить расчёты для прямых поставок товаров с центрального склада потребителям (n=0). Суммарные затраты в этом случае определяются по формуле

,

где: P_j=q_j/b; .

3. Выполнить расчёты для варианта поставок через один промежуточный склад (n=1). При этом необходимо решить простую задачу позиционирования одного склада путём минимизации целевой функции (4.1). Составляющие суммарных затрат в этом случае определяются по формулам:

, , ,

где , , , ,

, – искомые координаты склада.

4. Выполнить расчёты для варианта поставок через два промежуточных склада (n=2). В этом случае необходимо найти квадратную матрицу координат складов , используя общий алгоритм (4.1–4.4) минимизации целевой функции с учётом ограничений (4.5–4.7). Параллельно решается и задача закрепления складов за потребителями (матрица Z_ij) и задача определения ёмкости промежуточных складов

.

При составлении сценария поиска решения следует учесть, что объёмы вывозимых с промежуточных складов товаров (элементы матрицы Z_ij) являются целыми положительными величинами. Для ввода данных и составления сценария поиска можно воспользоваться формой табл.4.1.

По завершении расчётов оформить краткие выводы по работе и записать результаты в виде файла на диск.

Таблица 4.1

Матрица координат складов и затраты

Константы

на транспортировку с центрального склада

m=

a=

b=

Cx=

Склад

Li

Ri

S1i

n=

Ca=

Cb=

Ck=

1

2

…

n

Сумма=

Матрица Zij

Сумма

Склад1

Склад2

…..

Потребители

Матрица lij

xi=

Матрица Pij

Матрица S2i

Сумма

№

x

y

q

Склад1

Склад2

…

yi=

Склад1

Склад2

…

Склад1

Склад2

…

1

2

….

m

Сумма=

Сумма=

Сумма=

Затраты на складирование =

Суммарные затраты =

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бочкарев А.А. Планирование и моделирование цепи поставок – М.: Альфа-Пресс, 2008. – 192 с.

2. Бродецкий Г. Л., Гусев Д. А. Экономико-математические методы и модели в логистике. Процедуры оптимизации. Учеб. пособие.  – М.: Издательский центр «Академия», 2012. – 288 с. – (Сер. Бакалавриат).

3. Дыбская В.В. Управление складированием в цепях поставок – М.: Альфа-Пресс, 2009. – 720 с.

4. Модели и методы теории логистики: Учеб. пособие/ Под ред. В.С. Лукинского. – 2-е изд. – СПб.: Питер, 2008 – 448 с.

5. Мур Дж., Уэдерфорд Л. Экономическое моделирование в Microsoft Excel –Изд. Дом Вильямс, 2004 г.

6. Решение экономических задач на компьютере. /А.В. Каплан и др. – М.: ДМК Пресс, СПб.: Питер, 2004. – 600 с.

7. Салманов О.Н. Математическая экономика с применением MathCad и Excel. – СПб.: БХВ-Петербург, 2003. – 464 с.

8. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности (учебник) – 3-е изд. М.: Финансы и статистика, 2009. – 640 с.

9. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении: Учебное пособие /МГУ им. Ломоносова – М.: КДУ, 2009. – 440 с.

18