ответы / 11Напряжения на наклонных площадках

Напряжения на наклонных площадках

Элементарный объём в форме параллепипеда, связанный с системой координат таким образом, чтобы его грани совпадали с координатными плоскостями, рассечем наклонной плоскостью (рис.21).

Рис.21

Положение наклонной площадки характеризуется вектором нормали  с направляющими косинусами l, m, n. На наклонной площадке площадью dF действует полное напряжение Р с проекциями по осям Р_х, Р_у, Р_z. Пусть нормальные и касательные напряжения на гранях, совпадающих с координатными плоскостями, известны. Необходимо найти нормальное и касательное напряжение на наклонной площадке - _ и _. Площадки, отсекаемые на координатных плоскостях, будут иметь площади:

dF_x = dFl, dF_y = dFm, dF_z = dFn.

Составим уравнение равновесия сил в проекции на ось Х:

Х = 0,

P_xdF - _xdF_x - _yxdF_y - _zxdF_z = 0,

P_xdF - _xdFl - _yxdFm - _zxdFn = 0,

P_x = _xl + _yxm + _zxn. (31)

Аналогично, составляя уравнения равновесия сил на оси Y и Z, получаем выражения для двух других проекций полного напряжения:

P_y = _xyl +_ym + _zyn,

P_z = _xzl + _yzm +_zn. (32)

Чтобы определить нормальное напряжение на наклонной площадке, спроецируем проекции полного напряжения на нормаль.

_ = P_xl + P_ym + P_zn =

= _xl² + _yxml + _zxnl + _xylm +_ym² + _zynm + _xzln + _yzmn +_zn²

С учетом закона парности касательных напряжений - (29) и (30), получаем основную квадратичную форму нормальных напряжений:

_ = _xl² + _ym² +_zn² + 2_yxml + 2_zxnl + 2_zynm (33)

Полученное выражение позволяет определить нормальное напряжение на любой наклонной площадке, поскольку при выводе этого выражения никаких ограничений на положение площадки не накладывалось. Теперь найдем величину касательного напряжения на наклонной площадке:

Р² = P_x² + P_у²+ P_z² = _² + _²,

_²= P_x² + P_у²+ P_z² - _².