ответы / 9 Нормальные напряжения в плоскости поперечного сечения

Определим величину нормального напряжения в плоскости поперечного сечения, зная интегральные характеристики в этом сечении. Предположим, что нормальные напряжения в сечении распределены по линейному закону:

(х,у) = а + bх + су (24)

С нормальным напряжением в сечении связаны продольная сила и два изгибающих момента. Подставим в выражения (19), (21) и (22) наше предположение о линейной зависимости напряжения от координат в сечении (24):

N = = =

= ++ =

= аF+bS_y+cS_x

M_x = = =

= ++ = aS_x+bI_xy+cI_x (25)

M_у = - = - =

= --- = -aS_y-bI_y-cI_xy

Выражения (25) были получены для произвольного положения осей. Их можно упростить, взяв в качестве системы координат главные центральные оси. По определению в этих осях статические и центробежный моменты инерции равны нулю (S_x= S_у= 0, I_xy=0).

N = аF

M_x = cI_x (26)

M_у = -bI_y

Из полученных выражений можно найти коэффициенты а, b и с:

а = N/F, с = M_x /I_x , b = -M_у /I_y (27)

Подставив полученные значения коэффициентов в наше предположение о распределении нормального напряжения по сечению (24), получим

 = , (28)

где N – продольная сила в сечении; М_х, М_у – изгибающие моменты в сечении; F – площадь поперечного сечения; I_х, I_у – главные осевые моменты инерции сечения; х, у – координаты точки, в которой вычисляется напряжение относительно главных центральных осей.