ответы / 4 Изменение геометрических характеристик при повороте координатных осей

Изменение геометрических характеристик при повороте координатных осей

Рис.11

Пусть известны геометрические характеристики сечения относительно осей ХY. Требуется определить геометрические характеристики сечения относительно осей Х₁Y₁. Известно, что оси этих двух систем координат повернуты друг относительно друга на угол  и имеют общее начало координат (рис.11). Координаты любой точки в новой системе координат можно выразить через координаты в прежней системе координат:

х₁=хcos+ysin, (12)

у₁=уcos-xsin.

Запишем геометрические характеристики в новой системе координат по определению и сделаем замену «новых» координат на предыдущие:

I_х1= = =

= =

= - + =

= I_хcos² - I_хуsin2 + I_уsin² ; (13)

I_у1= = =

= =

= + + =

= I_ycos² + I_хуsin2 + I_xsin² ;

I_х1у1= = =

= =

= - + -

- = I_хуcos² - 0,5I_ysin2 +0,5I_xsin2 - I_хуsin² =

= I_хуcos2 - 0,5sin2(I_y - I_x) .

Необходимо помнить, что угол , входящий в формулы, необходимо подставлять с учетом знака.

Сложим выражения для осевых моментов инерции при повороте координатных осей.

I_х1 + I_у1 = I_х(cos² + sin²) + I_у(sin² + cos² ) + I_ху(sin2- sin2) = I_х + I_у.

Отсюда можно сделать вывод, что при повороте координатных осей сумма осевых моментов инерции неизменна и равна полярному моменту инерции относительно начала координат.

Рассмотрим частный случай. Пусть оси Х₁Y₁ – главные центральные, тогда

I_х1у1= I_хуcos2 - 0,5sin2(I_y – I_x) = 0,

tg2 = . (14)

Необходимо помнить, что при решении задач угол, рассчитанный по формуле (14), откладывается против часовой стрелки, если он положителен и по часовой стрелке, если отрицателен.