Квантовая физика

Имеем три однородных дифференциальных уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение этих уравнений запишем в виде

Общее решение есть суперпозиция двух частных решений, каждое из которых представляет плоскую волну де Бройля. Причем, если экспонента со знаком «+», то волна распространяется в положительном направлении оси х, если с «–», то в отрицательном направлении. Например, в выражении для Ψ1 первое слагаемое определяет падающую волну с амплитудой а1, а второе слагаемое – отраженную волну с амплитудой b1. В области 3 нет отраженной волны, поэтому второе слагаемое в выражении для Ψ3 равно нулю.

Исходя из определения коэффициентов D и Rотр, запишем для них следующие равенства:

Таким образом, для вычисления коэффициентов D и Rотр необходимо найти коэффициенты а1, b1 и а3. Для этого используем граничные условия (5.10), которые позволяют найти четыре уравнения.

Для х = 0:

Из этих выражений следует, что при выполнении неравенства Е > Uo имеем D ≠ 1 и Rотр ≠ 0. Этот результат для квантовой частицы отличается от того, что получается для классической частицы, для которой D = 1 и Rотр = 0. Если же справедливо неравенство Е < Uo, то получим D ≠ 0 и Rотр ≠ 1 (для классической частицы: D = 0 и Rотр = 1).

5.4. Квантово-механическая теория атома.

Электрон в водородоподобном атоме. Энергетический спектр электрона. Квантовые числа: главное, орбитальное и магнитное орбитальное

Результаты, такие как дискретность энергетического спектра водородоподобного атома, полученные в теории Бора с использованием ряда постулатов, в квантовой механике выводятся без применения каких-либо постулатов. Покажем это.

Рассмотрим водородоподобный атом с зарядом ядра +ze и электроном с зарядом –е и массой m, двигающимся в кулоновском поле неподвижного ядра по круговой орбите радиуса r (рис. 5.6).

Задача состоит в решении стационарного уравнения Шредингера вида

Из-за сферической симметрии силового поля U(r) проще всего решить

задачу в сферической системе координат (r, θ, φ), центр которой совмещен с ядром атома. Таким образом, волновая функция (r ) для электрона является

функцией трех переменных (r ) = (r, , ) . Воспользуемся выражением

Решим это уравнение методом разделения переменных. Ищем волновую функцию (r, , ) в виде произведения функции R(r), зависящей только от

радиуса r, и функции Y(θ, φ), зависящей только от угловых координат θ и φ

стационарное уравнение Шредингера и умножая все члены на множитель r2/(RY), перепишем уравнение в виде

Левая часть выражения зависит от r, правая часть – от θ и φ, поэтому их равенство при всех значениях переменных r, θ и φ возможно, когда каждая из частей будет постоянной величиной. Обозначим ее через λ. Таким образом, стационарное уравнение Шредингера распалось на два уравнения – уравнение для радиальной части R(r) и угловой части Y(θ, φ) волновой функции

Уравнение для сферической функции Y(θ, φ) также методом разделения переменных разделим на два уравнения. Для этого функцию Y(θ, φ) представим в виде произведения функции Θ(θ) и функции Ф(φ): Y(θ, φ) = Θ(θ)Ф(φ). Подставляя это равенство в уравнение для Y(θ, φ) и умножая все члены на множитель sin2θ/(ΘФ), получим уравнение

Левая часть этого выражения зависит от θ, правая часть – от φ, поэтому равенство частей при всех значениях переменных θ и φ возможно, когда каждая из них будет постоянной величиной. Обозначим ее через ml2. Итак, уравнение для сферической функции Y(θ, φ) распалось на два уравнения – уравнение для функции Θ(θ) и функции Ф(φ):

надо решить три представленных выше уравнения – (5.12), (5.14) и (5.15). Решения однородного дифференциального уравнения второго порядка с

постоянными коэффициентами (5.15) для функции Ф(φ) с учетом нормировки этой функции имеет вид

Из этого следует, что для однозначности функции Ф(φ) она должна быть периодической с периодом 2π: Ô ml ( ) =Ôml ( 2 ) , а это возможно, когда

число ml принимает такие значения, как 0, ±1, ±2, … Число ml называют магнитным орбитальным квантовым числом.

Решениями уравнения (5.14) для функции Θ(θ) будут нормированные

ния учитывали, что λ = l(l+1), причем │ml│≤ l, т. е. ml = 0, ±1, ±2,... …,±l.

Число l называют орбитальным квантовым числом. Следовательно, сферическая функция Y(θ, φ) с учетом ее нормировки

запишется в виде

бесконечности или нулю, получают для нее такой вид

0

Подставляя (5.18) в уравнение (5.12) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях r, получают рекуррентную формулу для коэффициентов аα, из которой находят значения энергии Еn электрона водородоподобного атома в стационарных состояниях:

Таким образом, собственные значения Еn энергии, являющиеся дискретными величинами и зависящие от главного квантового числа n = nr + l + 1, где nr – это радиальное квантовое число, получены без новых гипотез, а только последовательным решением уравнения Шредингера.

Главное квантовое число n = nr + l + 1 принимает такие значения: n = 1, 2, 3,… Наименьшее значение для орбитального квантового числа l есть нуль, а наибольшее (при заданном n) равно n – 1 и соответствует случаю, когда nr = 0, поэтому l = 0, 1, 2,…,(n – 1). Отметим, что для заданного квантового

Кислов А.Н. Атомная физика

числа n существует n различных значений квантового числа l. Для магнитного орбитального квантового числа ml возможны следующие значения: ml = 0, ±1, ±2,…,±l. Для заданного квантового числа l существует (2l + 1) различных значений квантового числа ml.

С учетом полученных решений для функций R(r), Θ(θ) и Ф(φ), волновая

функция (r ) = (r, , ) для электрона водородободобного атома, соответ-

ствующая стационарным состояниям, записывается в виде

Следовательно, различные стационарные состояния электрона в атоме характеризуются тремя квантовыми числами: n, l и ml.

Главное квантовое число n характеризует номер стационарной орбиты, т.е. положение электрона вокруг ядра, зависящее от расстояния r, при котором вероятность обнаружения электрона максимальна. Орбитальное квантовое число l характеризует форму стационарной орбиты: l = 0 – круговая орбита, l = 1 – эллиптическая орбита, l = 2 – гантелеобразная орбита, … В атомной физике приняты такие буквенные обозначения: если l = 0, то это соответствует s-состоянию электрона , l = 1 – p-состоянию электрона , l = 2

– d-состоянию электрона, …. Магнитное орбитальное квантовое число ml характеризует ориентацию плоскости стационарной орбиты в пространстве относительно выбранного направления. В атомной физике для того, чтобы

Из формулы (5.19) для энергии Еn электрона, находящегося в кулоновском поле водородоподобного атома, видно, что все энергетические уровни электрона c определенным значением числа n, за исключением n = 1, являются вырожденными. Каждый n-й уровень вырожден по квантовому числу l с кратностью n, а каждый l-й уровень вырожден по квантовому числу ml с кратностью (2l + 1). Общая кратность вырождения энергетического уровня с квантовым числом n равна

Это означает, что электрон в состояниях с одинаковым значением n и различными значениями l и ml имеет одинаковое значение энергии Еn. Для лучшего понимания того, о чем было сказано, на рис. 5.7 схематически представлены несколько энергетических уровней электрона в водородоподобном атоме.

Испускание и поглощение излучения атомом происходит с изменением его стационарного состояния, т.е. при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую. На эти переходы различные законы сохранения накладывают некоторые ограничения. Следовательно, и на изменение кван-

Рис. 5.7

товых чисел, описывающих стационарные состояния атома, накладываются ограничения, называемые правилами отбора.

Правило отбора для главного квантового числа n вытекает из закона сохранения энергии. Атом испускает и поглощает фотон, энергия которого hν соответствует разности любых двух энергетических уровней (энергий стационарных состояний) атома, поэтому n – любое.

Правило отбора для орбитального квантового числа l является следствием закона сохранения момента количества движения. Фотон обладает собственным моментом количества движения, равным 1ħ, который добавляется или вычитается из момента атома при поглощении или испускании фотона, поэтому l = ± 1.

Правило отбора для магнитного орбитального квантового числа ml: ml = 0, ± 1.

Глава 6. Орбитальный, спиновый и полный механический и магнитный моменты электрона в атоме

6.1. Орбитальный момент количества движения, магнитный орбитальный момент

В квантовой механике при изучении движения в сферическисимметричном поле, например вращения электрона вокруг ядра, важную

Одним из свойств этого оператора является то, что оператор квадрата мо-

ординат (r, θ, φ) имеют вид

Запишем для них уравнения на собственные значения и собственные функции:

Из сравнения уравнения (6.1) и уравнения (5.13), полученного ранее для сферической функции Y(θ, φ), следует, что эти уравнения совпадают, если

Кислов А.Н. Атомная физика

где l – это орбитальное квантовое число: l = 0, 1, 2,…(n – 1). Из этого равен-

равная значению ll, может вычисляться по формуле

Таким образом, орбитальное квантовое число l определяет абсолютную ве-

личину l момента количества движения, или, другими словами, длину век-

тораl , которая является квантованной величиной.

Если в уравнение на собственные значения и собственные функции оператора проекции lz момента количества движения на ось z подставить соб-

ственные функции Ψ в виде сферических функций Y(θ, φ) (5.17), то получим собственные значения lz , для которых справедливо равенство

где ml – это магнитное орбитальное квантовое число: ml = 0, ±1, ±2, …±l. Следовательно, проекция lz орбитального момента на ось z является кванто-

ванной величиной и кратна постоянной Планка ħ. Магнитное орбитальное квантовое число ml определяет ориентацию вектора l относительно оси z и

возможные значения его проекции lz на ось z.

определены. В этом случае следует говорить только об ориентации вектора l относительно оси z. Наглядно это можно представить таким образом. Век-

тор l как бы прецессирует вокруг оси z по поверхности конуса с углом раствора, равным α (рис. 6.1).

Электрон, вращаясь вокруг ядра, должен обладать помимо орбитального момента количества движения l еще и магнитным орбитальным моментом

l . Причем эти векторы связаны соотношением

чинами, а правила квантования для них имеют вид

6.2. Опыт Штерна и Герлаха. Собственный момент количества движения электрона, магнитный спиновый момент.

Спиновое и магнитное спиновое квантовые числа

Вначале рассмотрим элементы теории, которую можно использовать при анализе опыта Штерна и Герлаха. Возьмем частицу, имеющую энергию

будет ориентироваться относительно направления вектора H , прецессируя при этом вокруг этого направления с частотой, связанной с величиной