Лекция 5. Основы финансовой математики. Сложные проценты.

5.1. Сложные ставки ссудных процентов

5.2. Сложные учетные ставки

5.3. Эквивалентность процентных ставок различного типа

5.4. Учет инфляции в финансовых расчетах

5.1. Сложные ставки ссудных процентов

Если после очередного интервала начисления доход (т.е. начисленный за данный интервал %) не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало данного интервала, для определения наращенной суммы применяют формулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты в настоящее время являются весьма распространенным видом применяемых в различных операциях процентных ставок.

Пусть:

Iс – относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов

Kнс – коэффициент наращения в случае сложных процентов

j – номинальная ставка сложных ссудных процентов.

Если за интервал начисления принимается год, то по прошествии первого года наращенная сумма составит S1 = P (1+iс)

Еще через год это выражение будет применено к сумме S1. S2 = S1 (1+ iс) =

= P (1 + i с)² и так далее. Очевидно, что по прошествии n лет наращенная сумма составит S = P(1+ iс)ⁿ Соответственно Кнс = (1+iс)ⁿ

Чем больше период начисления, тем больше разница в величине наращенной суммы при наличие простых и сложных процентов.

Если срок ссуды n в годах не является целым числом, множитель наращения определяют по формуле:

Кнс = (1+ iс)ⁿ_a (1+ nb *iс).

Где n = na+nb

na – целое число лет

nb - оставшаяся дробная часть года.

Предположим, что уровень ставки сложных процентов будет разным на различных интервалах начисления.

Пусть n1, n2, … nN – продолжительность начисления в годах

i1, i2, … iN - годовые ставки процентов, соответствующие данным интервалам. Тогда наращенная сумма в конце первого интервала начисления составит:

S1 = P (1+ n1*i1)

S2 = P(1+ n1 * i1) (1+n2 *i2)

При N- интервалах начисления наращенная сумма в конце всего периода начисления составит:

N

SN = P П (1+nr*ir)

r =1

Если все интервалы начисления одинаковы (как и бывает обычно на практике) и ставка сложных процентов одна и та же, формула имеет вид:

SN = P (1+ni)^N

Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов – j – годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая в каждом интервале начисления.

При m равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке j эта величина считается равной j/m.

Если срок ссуды составляет n лет, то получаем выражение для определения наращенной суммы:

Smn = P (1+ j/m)ⁿ

Где mn – общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.

Если общее число интервалов начисления не является целым числом, то выражение принимает вид:

S = P (1+j/m)^mn *(1+L j/m).

Для целого числа периодов начисления используется формула сложных процентов, а для оставшейся части – формула простых процентов.

В настоящее время наиболее распространенным является начисление процентов по полугодиям, квартальное, ежемесячное (иногда интервалом начисления может являться день). Такие проценты, начисляемые с определенной периодичностью, называются дискретными.

В мировой практике применяется также непрерывное начисление сложных процентов (т.е. продолжительность интервала стремится к нулю, а m – к бесконечности). В этом случае наращенная сумма вычисляется по формуле:

S = P * Lim (1+1/m)^m = e, где е – 2,71828

Из чего следует Lim (1+j/m)^mn = e ^jn

Тогда S = Pe^jn , а Kнс = e^jn

Очевидно, что непрерывный способ начисления процентов дает максимальную величину наращенной суммы при прочих равных условиях.

Аналогично случаю простых процентов, полученные формулы можно преобразовать, выражая одни величины через другие:

P= S/ (1+ iс)ⁿ = Sа

Определение современной величины S называется дисконтированием. Коэффициент дисконтирования (а) является величиной обратной Кнс, т.е. Кнс*а = 1.

Текущий финансовый эквивалент будущей денежной суммы тем ниже, чем отдаленнее срок ее получения и выше норма доходности.

i = ⁿ√S/P – 1; j = m (^mn√S/P - 1); n = (ln S/P)/ (ln (1+i_c)); n = (ln S/P)/ (m ln(1+ +j/m))

Пример 1.

Первоначально вложенная сумма равна 200 000 р. Определить наращенную сумму через 5 лет при использовании простой и сложной ставок процентов в размере 28% годовых. Решить этот пример для случаев, когда проценты начисляются по полугодиям, поквартально, непрерывно.

Решение:

для простых ставок: S= 200 000 * (1+ 5*0,28) = 480 000 руб.

для сложных процентов: S = 200 000 * (1+ 0,28)⁵ = 687 194,7 р.

Для начисления по полугодиям: S = 200 000 * (1+ 0,28/2)¹⁰ = 741 444 р.

Для начисления по квартально: S= 200 000 * (1+ 0,28/4)²⁰ = 733 937 р.

Пример 2.

Первоначальная сумма долга равна 50 000р. Определить наращенную сумму через 2,5 года, используя два способа начисления сложных процентов по ставке 25% годовых.

Решение:

S= 50 000 (1+0,25)²(1+0,5*0,25) = 87 891р.

S=50 000(1+0,25)^2,5 = 87 346р.

Разница приблизительно 550руб.

Пример 3.

Определить современную (текущую) величину суммы 100 000 руб., выплачиваемую через 3 года при использовании ставки сложных процентов 24% годовых.

Решение:

Р = 100 000/ (1+0,24)³ = 52 449 руб.

Пример 4.

За какой срок первоначальный капитал в 50 000руб. увеличиться до 200 000руб., если:

а) на него будут начисляться сложные проценты по ставке 28% годовых

б) проценты будут начисляться ежеквартально

а) n = Ln (200 000/ 50 000)/ Ln (1+0,28) = 5,6 года

n = Ln (200 000/ 50 000)/ Ln (1+0,28/4) = 5,1 года

Пример 5.

Какова должна быть сложная ставка ссудного процента, чтобы первоначальный капитал утроился за 5 лет? Решить пример также для случая начисления процентов по полугодиям.

i_c = ⁵√3 – 1 = 0,245 = 24,5%

j = 2 (¹⁰√3 – 1) = 0,232 = 23,2%