lektsii_NSE
.pdf
41
Вывод: чем выше частота, тем больше рабочий ток смещается на внутреннюю поверхность внешнего проводника, и тем выше защищённость коаксиальной пары от внешних электромагнитных помех. Таким образом, мы видим, что в симметричных цепях, помехозащищённость ухудшается с ростом частоты. А в коаксиальных цепях с ростом частоты помехозащищённость, напротив, увеличивается.
Рассмотрим процессы в коаксиальной паре без учёта действия вихревых токов, а значит и без учёта потерь в проводниках. Согласно уравнению Умова-Пойнтинга передача энергии в такой цепи будет соответствовать направлению вектора Умова-Пойнтинга вдоль оси Z:
W Z = П Z = 2∫п E r Н ϕ* rd ϕ
0
Для определения величины энергии необходимо найти составляющие Еr и Нϕ.
Рассмотрим систему уравнений Максвелла для этих составляющих:
|
∂Нϕ |
− |
∂Z |
|
|
|
∂Er |
|
∂Z |
|
=(σ + iωεa )
=−iωµa Hϕ
Предполагаем, что электромагнитное поле изменяется по экспоненциальному закону и составляющие Еr и Нϕ можно записать в следующем виде:
42
Er = Er 0e−γZ |
Hϕ = Hϕ0e−γZ |
Где γ-коэффициент распространения цепи, Еr0 и Нϕ0-начальные значения составляющих поля. Беря от этих значений первые производные по координате z, получим:
|
dE r |
= −γНr 0е−γZ = −γEr |
||||||
dZ |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
dH |
ϕ |
|
−γZ |
|
||||
|
|
|
= −γEϕ0e |
= −γHϕ |
||||
|
dZ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
Подставим значения производных в исходные уравнения и получим:
γHϕ = (σ + iωεa )Er |
|
|
γEr = iωµa Hϕ |
|
|
Разделим первое уравнение на второе:
Величина напряжения, действующего между проводниками цепи, может быть определена из интеграла:
U = r∫вЕrdr гдеЕr = |
iωµa |
Hϕ |
|
||
ra |
γ |
|
|
|
|
43
Преобразуем выражение Еr:
E r = |
iωµ a |
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
σ + iωε a 2πr |
|
|
|
|
E r = |
Z Z 2πr |
|
||||||||
rв |
I |
|
|
|
|
I |
|
|
rв |
dr |
I |
r |
|||
U = ∫ 2πr Z Z dr = 2π |
Z Z |
∫ r = |
2πr Z Z ln |
в |
|||||||||||
r |
|||||||||||||||
ra |
|
|
|
U |
|
|
|
|
ra |
|
rв |
|
|
a |
|
|
Z |
в |
= |
|
= |
1 |
Z |
Z |
ln |
|
|
|
|||
|
I |
|
2π |
r |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
Из уравнения однородной линии известно соотношение:
Z = R + iωL = γZв |
|
Y = G + iωC = |
|
|
γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
Zв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Z = R + iωL = iωµ |
a |
(σ + iωε |
a |
) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
iωµa |
|
ln rв |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
σ + iωε |
a |
r |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
Z = iωµ |
a |
1 |
|
|
ln |
rв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2π |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
R = 0, |
|
L = |
|
|
µ a |
|
ln |
|
rв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2π |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y = |
|
γ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
iωµ a (σ + iωε a ) |
|
|
|||||||||||||||||||||
Z в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iωµ |
|
a |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ln |
r |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ + iωε |
|
|
a |
2π |
r |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2π (σ + iωε a ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
||||||||||||||||||||||
Y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
ln |
rв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
G = |
|
2πσ |
|
|
|
|
|
|
|
|
С = |
|
|
2πε a |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
ln |
|
rв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
rв |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|||
44
Выводы: в идеальной цепи активное сопротивление равно нулю, индуктивность не зависит от частоты и определяется только межпроводниковой внешней индуктивностью. Проводимость изоляции существенно зависит от проводимости среды. Ёмкость зависит от диэлектрической проницаемости среды.
В реальной цепи всегда действуют вихревые токи. С Учётом Этого уравнение УмоваПойнтинга и направление действия векторов будет:
2π
Пr = ∫Er H ϕ* rdϕ
0 |
|
|
Пк = I 2 Z |
|
|
Z = R + iωL = |
1 |
2∫π EZ H ϕ* rdϕ |
2 |
||
|
I |
0 |
Найдём ЕZ и Нϕ.
Полное сопротивление цепи с потерями будет складываться из Za и Zв.
Za = Ra + iωLa |
Zв = Rв + шωLв |
Рассмотрим систему уравнений Максвелла для ЕZ и Нϕ, которые путём преобразований можно представить в виде волновых уравнений второго порядка.
∂2 Е |
Z + |
1 |
∂E |
Z + |
1 |
∂2 E |
Z |
= ik 2 E |
K = ωµ σ |
|
|
|
|
|
|||||
∂r2 |
r ∂r |
r2 ∂ϕ2 |
|
a |
|||||
|
|
||||||||
45
∂ Е |
Z |
|
= 0 |
|
|
∂ 2 E |
Z |
= 0 |
||
∂ ϕ |
|
|
|
|
|
∂ ϕ 2 |
|
|||
∂ 2 E |
Z |
+ |
1 |
∂ E |
Z |
= ikE |
Z |
|||
∂ r 2 |
r |
∂ r |
||||||||
|
|
|
|
|
( i kr )+ Bk 0 ( i kz ) |
|||||
решение |
|
: Е Z |
= AI |
|||||||
Здесь А и В - постоянные интегрирования, I0 – Функция Бесселя первого рода нулевого
k0 (
ikr)− функция Бесселя второго рода нулевого порядка
порядка.
Данные функции Бесселя определяют изменение параметров передачи в зависимости от действия вихревых токов. В аргумент этих токов непосредственно входит коэффициент вихревых токов коэффициента радиуса проводника r.
Графики функций Бесселя:
k1I
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I0 |
(Z ) |
|
|
|||
k0 |
− n(Z ) |
||||||
|
|
|
|
|
|||
I0a (Z ) |
|
|
|
||||
|
|
||||||
Z
Рассматривая электрические процессы в проводниках, мы выясним, что с увеличением радиуса и, соответственно, координаты r величина напряжённости поля возрастает от центра к поверхности проводника, то есть поведение функции Бесселя второго рода нулевого порядка не соответствует физическому смыслу явления. Поэтому величиной k0 пренебрегаем и решение для составляющей EZ будет иметь вид:
ЕZ = AI0 (
ikr)
Из системы уравнений Максвелла можно записать выражение для Нϕ:
Н ϕ = |
1 |
∂E Z |
= |
i k |
AI 1 ( i kr ) |
|
ш ωµ a |
∂r |
|
iωµ |
a |
Но с другой стороны:
Hϕ = 2π1r
46
Приравнивая координату r к радиусу внутреннего проводника, находим постоянную интегрирования А:
А = |
I |
i ωµ |
a |
2 π ra |
i kI 1 ( |
i kr a ) |
Подставим в решение постоянную интегрирования А:
E Z |
= |
|
I |
iωµ a |
I 0 |
( |
i kr a ) |
||
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
πra |
I1 |
( |
i kr a ) |
|||||
|
|
k |
|||||||
если f>60кГц, то:
I0 (
ikra )≈ I1(
ikra )
R |
+ iωL |
= ik |
|
|
i = 1 + i 1 |
||||
a |
|
|
a |
2πraσ |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
R |
= |
|
2k |
L |
= |
2k |
= |
2µa |
|
|
|
|
|
||||||
|
a |
|
4πraσ |
a |
|
4πraσω 4πrak |
|||
|
|
|
|
|
|||||
Для медного проводника выражение можно упростить:
R |
= |
4,18 |
f 10−2 |
Ом |
L |
= |
6,66 |
10 |
−3 Гн |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a |
|
ra |
a |
r f |
|
||||||
|
|
|
|
км |
|
|
|
|
км |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
Рассмотрим решение волнового уравнения Гельмгольца:
ЕZ = AI (
ikr)+ Bk0 (
ikr)
Hϕ = |
1 |
∂EZ |
= |
ik [AI ( ikr)− Bk1 ( ikr)] |
||
|
iωµa |
∂r |
|
iωµa |
||
при r = r |
H |
ϕ |
= |
I |
||
|
|
|||||
|
в |
|
|
2πrв |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47 |
|
Hϕ (rв )= |
1 |
|
∂EZ |
= |
ik |
[AI ( |
ikrв )− Bk1 ( |
ikrв )]= |
I |
|
|
iωµ |
|
iωµ |
|
2πr |
|||||||
|
a |
∂r |
|
a |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|||
Hϕ (rс )= |
1 |
|
∂EZ |
= |
ik |
[AI ( |
ikrс )− Bk1 ( |
ikrс )]= 0 |
|||
|
iωµa |
∂r |
|
iωµa |
|
|
|
|
|
||
Подставляя Еr и Нϕ в исходные уравнения, Умова-Пойтинга, получим выражение для внешнего проводника цепи:
R +iωL |
= |
ik |
|
I0 ( ikrв )k1 ( |
ikrс )+ k0 ( ikrв )I1 ( |
ikrс ) |
|||||||||||||
|
в |
|
2πrвσ |
|
I1 ( ikrc )k1 ( |
ikrв )− k1 ( |
ikrc )I1 ( |
ikrв ) |
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Функции Бесселя можно представить в виде асимптотически сходящихся рядов |
||||||||||||||||||
следующего вида: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
для kr > 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
I 0 ( |
i Z )= |
|
e |
i Z |
|
|
− |
1 |
|
+ Λ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
2π |
|
i Z |
1 |
i Z |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
I1 ( |
i Z )= |
|
e |
i Z |
|
|
− |
3 |
|
+ Λ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
2π |
|
i Z |
1 |
i Z |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
k 0 (iZ |
)= |
|
|
π |
e |
− i Z |
|
1 |
|
|
+ Λ |
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
i Z |
|
1 − |
i Z |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
||||
|
Ограничивая эти ряды тремя составляющими, и, подставляя их значения в сопротивление |
||||||||||||||||||
проводника, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ik |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
R +iωLв |
= |
cth( ikt)− |
|
3 |
+ |
|
|
где t = rc + rв |
|||||||||||
2πrвσ |
8 ik |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
rc |
|
rв |
|
|
|
||||||
Rб = |
2k |
Lв = |
|
2µa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4πrвσ |
4πrвk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
48
Для медных проводников:
Rб |
= |
4,18 |
f |
10 |
−2 |
|
Ом |
||
rв |
|
|
|
км |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
L |
= 66,6 |
1 |
10− |
4 |
|
Гн |
|
||
б |
|
f |
rв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
км |
|
|||
Наряду с внутренней индуктивностью проводников в коаксиальной цепи действует межпроводниковая индуктивность.
|
µ |
а |
rв |
I |
|
|
4π10 −4 µ |
|
r |
|
|
|
|
|
r |
|
−4 |
|
Гн |
|||||
Lвн = |
|
∫ |
|
dr |
= |
|
|
|
|
|
|
ln |
в |
|
= |
2 ln |
в |
10 |
|
|
|
|||
I |
|
2πr |
|
|
2π |
|
|
ra |
|
ra |
|
|||||||||||||
|
|
ra |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
км |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
66,6 |
|
1 |
|
1 |
|
− |
4 |
Гн |
|
|
|
|||
L = Lа + Lв + Lвн = |
2 ln |
в |
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
||||||||
r |
f |
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
км |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если внешний проводник сделан из алюминия, то:
|
|
|
R = |
|
f |
|
4 ,18 |
|
+ |
5 ,38 |
|
10 |
− 2 |
Ом |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ra |
|
|
r в |
|
|
км |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
rв |
|
1 |
|
66 , 6 |
|
86 |
|
|
|
|
|
Гн |
|
||||
|
|
|
|
|
|
− 4 |
|||||||||||||||
L |
= |
2 ln |
+ |
|
+ |
|
10 |
||||||||||||||
|
r |
|
f |
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
км |
|
|||||||
|
|
|
а |
|
|
|
a |
|
в |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Визоляции двухпроводных цепей происходят два основных процесса:
1.Поляризация
2.Переориентация диполей
49
В отличии от проводников в изоляции отсутствуют свободные носители заряда. Поэтому если к проводникам приложено напряжение, связанные заряды в пределах атомов смещаются на определённое расстояние, то есть происходит поляризация диполей. Степень поляризации диэлектрика характеризуется его диэлектрической проницаемостью. Если напряжение переменное, то происходит переориентация диполей с частотой этого напряжения. При перемещении диполей, за счёт трения выделяется тепловая энергия. Чем выше диэлектрическая проницаемость изоляции и выше частота, тем большие потери энергии происходят в диэлектрике.
Соотношение между токами определяет величину потерь. Чем больше активная составляющая Ia, тем больше потери.
Количественно величина потерь оценивается tgρтангенсом угла потерь.
|
Ia |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgδ = |
= |
|
UG |
= |
|
G |
|
|||||
IC |
ωCU |
ωC |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
G =G0+Gf |
= |
1 |
|
|
+ωСtgδ |
|||||||
Rии |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Rии>10000МОм* км σ = Gf =ωCtgδЭ См
км
|
Q |
r |
|
|
Q |
|
С = |
U = ∫в |
Edr |
Е = |
|||
U |
2πεa r |
|||||
|
ra |
|
|
50
|
|
|
|
Q |
|
|
rв |
|
dr |
|
|
|
|
Q |
|
|
rв |
||
U = |
|
|
|
∫ |
|
|
|
= |
|
|
|
|
ln |
|
|
||||
2 πε |
a |
|
|
r |
|
|
2 |
πε |
a |
r |
a |
||||||||
|
|
|
|
|
|
r a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
C = |
|
|
ε |
a 10 |
|
− 6 |
|
|
Ф |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
rв |
|
км |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
18 |
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
ra |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Аналитические выражения первичных параметров передачи найдены в пункте «передача энергии в цепи с потерями». Вторичные параметры могут быть найдены из первичных параметров с использованием формул однородной линии.
|
R |
C |
|
|
G |
|
|
|
Дб |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
L |
|
|
|
|
|
||||||
α = |
|
|
|
|
8.68 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
L |
|
|
2 |
|
C |
|
км |
|
|
|
|
|
β = ω |
LC |
|
рад |
ZB |
= |
L |
υ = |
1 |
|
км |
||||
|
км |
|
C |
|
|
c |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
LC |
|
|||||
Иногда удобнее параметры коаксиальной цепи выражать через конструктивные параметры изоляции.
α =αм +αд = |
2,6 |
ε |
Э |
f |
|
1 |
|
1 |
+9,1f |
εЭtgδЭ10−5 |
|
дб |
|
|
|
|
|
|
+ |
10−3 |
|
|
|||||
|
ln |
D |
|
d |
|
D |
|
|
|
км |
|||
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Частотные зависимости
первичные параметры |
передачи |
||
L G R C |
G |
R |
LCG |
|
|||
|
|
||
C
L
C
L
f |
G |
D |
|
||
|
|
d |