Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Математический анализ

Файл:

DKR_MatAn_2_semestr_2014

.pdf

Скачиваний:

176

Добавлен:

03.05.2015

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

1 / 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

Московский технический университет связи и информатики

Ю.Л.Александров, Н.П.Андреева, Р.В. Арутюнян, А.В.Куприн, А.Р.Лакерник, А.М. Райцин

СБОРНИК КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ И МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ ДЛЯ ИХ ВЫПОЛНЕНИЯ ПО ТЕМАМ

по темам

ОПРЕДЕЛЕННЫЕ И НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

ТЕОРИЯ ПОЛЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Москва 2013

План УМД 2013/2014 уч. г.

СБОРНИК КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ И МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ ДЛЯ ИХ ВЫПОЛНЕНИЯ ПО ТЕМАМ

по темам

ОПРЕДЕЛЕННЫЕ И НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

ТЕОРИЯ ПОЛЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Составители: Ю.Л.Александров Н.П.Андреева Р.В. Арутюнян А.В.Куприн А.Р. Лакерник А.М. Райцин

Утверждено Советом ОТФ-1

Протокол № от

Отв. редактор Р.В.Арутюнян, к.ф.-м.н., профессор

Рецензент: Данилов В.Г., доктор физ.мат. наук, профессор

СОДЕРЖАНИЕ

1.Варианты контрольных заданий по темам:

Определенные и несобственные интегралам. Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля……………………… …………………………......4

2.Решение типового варианта………………………………………………..49

3.Варианты контрольных заданий по дифференциальным уравнения……67

4.Решение типового варианта………………………………………………..97

1.Варианты контрольных заданий по темам: Определенные и несобственные интегралам.

Вариант 1. Часть 1.

Вычислить интегралы:

∫1

ex dx

;

2. ∫2 (3x + 2)ln xdx;

3. ∫2 cos4 x sin3 xdx;

4. ∫3

; 5.

−6x +5

x −x

+ e

∞

8 + x

−∫∞

; 6. ∫0

8 − x dx;

x2 +1

II. Геометрические приложения определенных интегралов.

Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

y = 2 x −1, y = x −1.

2.Внутри окружности ρ = 6cosφ и одновременно вне лемнискаты ρ2 =9cos2φ. Вычислить длинудуги кривой:

3.Вычислить длину дуги кривой x2 + y2 =17, расположенной внутри ветвей

гиперболы xy = 4 .

4. ρ = cos1ϕ , 0 ≤ϕ ≤ π3 .

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для

областиD : y = 4 − x2 , y = 3x, x ≥ 0.

2. Найти массу неоднородной пластины D : y2 = x, x =3, если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= x.

3.Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 − 2y = 0, x − y ≤ 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.

4.Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область

V : x = 6(y2 + z2 ), y2 + z2 =3, x = 0.

5.Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oy , занимающего область V : y2 = x2 + z2 , y = 4.

6.Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z2 =9x, x = y, x + y = 2 .

7. Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):

∫	3 y2	(x2	− 2)dx +	x2	(1+ xy)dy, где L −контур треугольника	ABC : A(1;1),

L	4		2
B(2;2), C (1;3).

8. Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 − 2y2 + 2z2 =1 в точке M (1,1,1), составляющую острый угол с положительным направлением оси Oz.

9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F =(−x − y)i + zk .

Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F =3xi +(y + z) j +(x − z)k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью x +3y + z =3 и координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию
векторного поля						F		= (x − y)i	+ (2x + y) j + (x2 + 2z + 4)k	по контуру
		2		2			2	,.
L :	x		+ y		= (z + 2)			,.
	z = −4

Вариант 2. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

Вычислить интегралы:

xdx

1+ x2

∫

;

∫

dx;

3. ∫

3 − 2x + x

dx;

4. ∫tg

xdx;

+3x

+ 2

−1

∞

lnxxdx2 ;

∫1

6. ∫2

x2 − 4

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.y = 2ln x, y = ln(x + 2), x = 4.

2.Внутри кардиоиды ρ =1+ cosφ и одновременно внутри окружности ρ =1. Вычислить длинудуги кривой:

3.(12)ch2x , y ≤ ( 12)ch 6.y =

4.	x = cos2t,	0 ≤t ≤	π	.

			24
	y =sin 2t,

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области

D : x2 = 2y, 5x − 2y −6 = 0.

2.Найти массу неоднородной пластины D : x = 0, y = 0, x + y =1, если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= x2.

3.Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 − 2x = 0, x + y ≤ 0, относительно оси Oy , используя полярные координаты.

4.Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область

V : y =3x2 + z2 , x2 + z2 =36, y = 0.

5.	Найти момент инерции однородного тела относительно оси Ox ,
занимающего область V : x = y2 + z2 , x = 2.
6.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x2 + y2 + z2 = 5,
z ≥ x2 + y2 +1.
7.	Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):
∫(xy + x + y)dx +(xy + x − y)dy , где L −парабола y = x2 и хорда y = 4.
L
8.	Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 − y2 + 2z2 = 2 в точке

M (1,−1,1), составляющую острый угол с положительным направлением оси

Oz .

9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = ez (i − j +(x − y)k ).

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F =(3x −1)i +(y − x + z) j + 4zk через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью 2x − y − 2z = 2 и

координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию

векторного поля					F = (3x + 2y)i + (5x − 2y) j + (3z − y2 −3)k по контуру
	2		2			2	,.
L : x		+ y		= (z −1)			,.
z = 3

Вариант 3. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I. Вычислить интегралы:

2x −1

x2 + 4

xsin xdx

∫

dx;

∫

dx;

3. ∫

;

4. ∫ xarctg

dx;

2x +1

+ cos

∞∫

−1

; 6.

∫4

(1+ x) x

−

1 x 2x

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1. y = arctg x и прямая, проходящая через начало координат и через точку с абсциссой x =1 на заданной линии.

2.Внутри кардиоиды ρ =1+ cosφ и одновременно вне кардиоидыρ =3(1−cosφ). Вычислить длинудуги кривой:

3.y = e2x +12, (12)ln3 ≤ x ≤ (12)ln 24.

	a		0 ≤ϕ ≤π.
4.	ρ = cos3 (ϕ3 ),a > 0	,	0 ≤ϕ ≤π.

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

D : x= 8 − y2 , y ≥ 0, y ≤ x.

2. Найти массу неоднородной пластины D : x = 0, y = 0, 2x +3y = 6, если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= y2 2 .

3.Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 + 2y = 0, x − y ≥ 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.

4.Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область

V : x = 7(y2 + z2 ), x = 28.

5.Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oy ,

занимающего область V : y2 = x2 + z2 , y = 2.

6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z = x2 − 4y2 , z = 0, x = 4. 7

7.	Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):
∫(2y + y2 )dx +(y2 + 2xy)dy, где L : x2 + y2 = R2.
L
8.	Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 + 2y2 − 2z2 =1 в точке

M (1,1,−1), составляющую острый угол с положительным направлением оси

Oz .

9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = ex (−yj + zk ).

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F = xi +(x + z) j +(y + z)k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью 3x +3y + z = 3 и

координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию

векторного поля					F = (3x − 4y)i + (3y − x) j + (xy − 2z + 4)k по контуру
	2		2			2	, .
L : x		+ y		= (z − 2)			, .
z = 4

Вариант 4. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I. Вычислить интегралы:

∫3

;

2. ∫1 arccos xdx;

3. ∫4

;

π∫

;

− 2x

−8

3 + 2cos x

∞

2/3

−∫∞

;

1/3∫

x2 − 4x + 7

9x2 −1

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.x = 4, y = ln x и касательная к этой линии в точке её пересечения с осьюOx .

2.Внутри окружности ρ = 6cosφ и одновременно внутри лемнискаты

ρ2 =9cos2φ.

Вычислить длинудуги кривой:

3. y =	1	ln	ex −e−x	,	(1 4)ln 2 ≤ x ≤ (1 4)ln5 .
3. y =	2	ln	ex + e−x	,	(1 4)ln 2 ≤ x ≤ (1 4)ln5 .
	2		ex + e−x
					8

x = et (cost +sint),

4.y = et (cost −sint), 0 ≤ t ≤π.

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

D : x ≥ 0, y ≥ 0, y ≤1, y = lnx.

2.Найти массу неоднородной пластины D : x2 + y2 = 4x, если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= 4 − x.

3.Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 + 2x = 0,

x + y ≥ 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.

4.	Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область
V : z = 2 x2 + y2 , z =8.
5.	Найти момент инерции однородного тела относительно оси	Ox ,
занимающего область V : x = y2 + z2 , x =9.
6.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x2 + y2 =1,	x2 + y2 = 4,
z = 0, z = 5 − x.
7.	Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):
∫(y − x2 )dx −(x + y2 )dy, L : x2 + y2 = R2 , (x ≥ 0, y ≥ 0).
L
8.	Найти единичный вектор нормали к поверхности 2x2 − 4y2 + 4z =8 в точке

M (2,1,1),составляющую острый угол с положительным направлением оси Oz . 9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = y2 z(yzi +3xzj + 2xyk ).

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса)

поток векторного поля F =(x + z)i +(z − x) j +(x + 2y + z)k									через внешнюю
поверхность пирамиды, образуемую плоскостью x + y + z = 2									и
координатными плоскостями.
11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса)								циркуляцию
векторного поля					F = (−x − 2y)i + (x + 2y) j + (3z − 2xy +9)k			по контуру
	2		2			2
L : x		+ y		= (z +3)			,
z = −1.
							9

Вариант 5. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I. Вычислить интегралы:

3dx

1.π∫cos2 x sin4 x;

5. ∫5		dx; 6.
	5 + x
0	5 − x

∞∫e−

2	dx
∫1		;
∫1	x2 + x	;

x dx. x

3. ∫1 x3e2xdx; 4. ∫9 x 31− xdx;

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.y = e−x , y = e−2x − 2, x = 0.

2.Внутри кардиоиды ρ =1+ cosφ и одновременно внутриокружности ρ = 3sinφ. Вычислить длинудуги кривой:

3.Вычислить длину дуги всей кривой y = ln(1− x2 ), которая расположена выше прямой y = ln3 − 2ln 2 .

4. ρ = asin4 ϕ4 , a > 0.

	Часть 2.
	Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.
1.	Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
	∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области D : x2 = 2 − y, x + y = 0.
	D
2.	Найти массу неоднородной пластины D : x = 0, y =1, y = x, если
поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= x2 + 2y2.
3.	Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 + 2x ≥ 0,

x2 + y2 + 2y ≤ 0, x ≤ 0, относительно оси Ox , используя полярные

координаты.

4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область

V : z = 5(x2 + y2 ), x2 + y2 = 2, z = 0.

5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Ox , занимающего область V : x2 = y2 + z2 , x = 2.

6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:	z2 = 4x,	x + y = 2, y = 0.
7. Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):
∫ xydx + 2xy2dy , где L − контур треугольника ABC :	A(1;0),	B(0;1), C (0;0).
L
10

1 / 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
03.05.20151 Мб176DKR_MatAn_2_semestr_2014.pdf
#
03.05.2015258 Кб70Integraly_MTUSI.pdf
#
03.05.20151 Мб85matan_diffures_ekz.pdf
#
03.05.20152 Мб31Matan_tema_8_nesobstvennye_integraly.pdf
#
03.05.20152 Мб282matan_test_otvety.pdf
#
03.05.201531 Кб17tablica_integralov.pdf