DKR_MatAn_2_semestr_2014

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Математический анализ

Файл:

x =1−cos2t,

4. Найти длину дуги кривой:

4. Найти длину дуги кривой:

.pdf

Скачиваний:

176

Добавлен:

03.05.2015

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

sin(ln x)dx

∞

16xdx

∫

;

2. ∫

; 3.

∫

;

4. ∫

; 5. ∫

;

(

)

5 + 2cos x

16x4 −1

3x − 2

−1

1+ x

∫1

0 (3 − x) 1− x

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.y = ln(x + 2), y = 2ln x, y = 0 .

2.Внутри окружности ρ = sinφ и одновременно вне четырёхлепестковой розы

ρ = sin2φ .

Вычислить длинудуги кривой:

3. x2 + y2 =10, внутри ветвей гиперболы xy =3.

		3
4. Найти длину дуги кривой:	x = ch t,		0 ≤t ≤π		.
4. Найти длину дуги кривой:			0 ≤t ≤π	2	.
	y =sh3t,			2

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области

D : y = 9 − x2 , y ≥ 0, y ≥ x .

2.Найти массу неоднородной пластины D : x = 2, y = x, y =3x,если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= 2x2 + y2.

3.Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 − 2x = 0,

y − x ≤ 0, y ≥ 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.

4.	Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область
V : x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z =3.
5.	Найти момент инерции однородного тела относительно оси	Oz ,
занимающего область V : z = 4 x2 + y2 , z = 2.
6.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z = 6 − x, z = 0,
	x2 +(y − 2)2 = 4, x2 +(y −1)2 =1.
7.	Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):
∫ y2dx +(x + y)2 dy, где L − контур треугольника ABC : A(1;0),		B(1;1),
L

C(0;1).

8.Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 − y2 + z =1 в точке

M (0,1,2), составляющую острый угол с положительным направлением оси

Oz .

9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = yz2 (yzi + 2xzj +3xyk ).

Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F =(y + z)i +(x + 6y) j + yk через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью x + 2y + 2z = 2 и

координатными плоскостями.
11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса)					циркуляцию
векторного поля F = (3y − 2x)i + (6x − y) j + (4z − y2 −3)k					по контуру
	2	+ y	2	− z +1 = 0,
L : x
z = 2.

Вариант 27. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

Вычислить интегралы:

3/4∫

2. ∫1

dx; 3. ∫a x2

4. ∫4

;

x15

1+3x8

a2 − x2 dx;

(x +1)

0 1+3sin

∞

x3dx

5. ∫2

;

6. ∫0

x2 + x −1

64 − x2

II. Геометрические приложения определенных интегралов.

Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1. y = 4 1− x2 , y =

1− x2

2. Внутриокружности ρ = 2(sinϕ −сosϕ) и одновременно вне окружности

ρ =

Вычислить длинудуги кривой:

3. Вычислить длину дуги той части кривой y = 2

− 1

, которая

x =1 и x = 4.

расположена в вертикальной полосе, ограниченной прямыми

4. Найти длину дуги кривой

r = aebϕ (a,b > 0), находящейся внутри

окружности r = a.

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

D : x + 2y −6 = 0, y = x, y ≥ 0.

2. Найти массу неоднородной пластины D : y = x, y = x2 , если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= 2x +3y.

3. Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 − 2x = 0,

y − x ≤ 0, x + y ≥ 0,относительно оси Oy , используя полярные координаты. 4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область

V : z = 2x2 + y2 , x2 + y2 =9, z = 0.

5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oz , занимающего область V : z =3(x2 + y2 ), z = 3.

6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z = x2 + y2 , z = 0, y = 2, y = 2x, y = 6 − x.

7. Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина): ∫	dx − dy	,
L	x + y
где L − квадрат ABCD : A(1;0), B(0;1), C (−1;0), D(0;−1).

8. Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 − y − 2z2 =1 в точке M (1,−2,1),составляющую острый угол с положительным направлением оси

Oz .

9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля

F = 2x(x(y − z)i +(−y2 )j + z2k ).

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поляF =(2y − z)i +(x + 2y) j + yk через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью x +3y + 2z = 6 и

координатными плоскостями.
11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса)									циркуляцию
векторного поля					F = (y −3x)i			+ (7x + y) j + (2xy +3z − 4)k	по контуру
	2		2			2
L : x		+ y		= (z +1)			,
z = 0.

Вариант 28. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I. Вычислить интегралы:

1. ∫1

ex dx

; 2. ∫2

x2 −1

dx;

3. ∫3 tg4 xdx;

4. ∫2

e1/ xdx

; 5.

∞∫

;

− 4x

+ 24

+ e

−∞ x

6. ∫6

3 (4 − x)

II. Геометрические приложения определенных интегралов.

Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1. y

2)2

, y = 1

−5x .

(x +

2. Внутри кардиоиды ρ =1+ cosφ и одновременно вне окружности ρ = (13)sinφ. Вычислить длинудуги кривой:

3. y = arccosx − x − x2 , a > 0, 0 ≤ x ≤1.

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

D : y = −x, 2x + y = 3, y =3.

2.Найти массу неоднородной пластины D : x = 0, x + 2y + 2 = 0, x + y =1,если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= x2.

3.Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 − 2y = 0,

y − x ≥ 0, x + y ≥ 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты. 4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область

V : 2z = x2 + y2 , z = 3.

5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Ox , занимающего область V : x = 2y2 + z2 , x = 2.

6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z2 = x2 + y2 , 2 z2 = x2 + y2 +1.

7. Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):

∫(x − y)2 dx +(x + y)2 dy, где L − контур треугольника ABC : A(0,0), B(1,0),

C(1,1).

8.Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 − y2 − z =1 в точке M (2,1,2), составляющую острый угол с положительным направлением оси

Oz .

9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = z(yzi + xzj + 2xyk ).

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F =(y + z)i + xj +(y − 2z)k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью 2x + 2y + z = 2 и

координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию

векторного поля

F = (2y − x)i + (3x + 4y) j + (2xy − 2z −1)k

по контуру

L : x

+ y

= (z −3)

z = 4.

Вариант 29.

Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

Вычислить интегралы:

)

−

xsin xdx

∞ 1

+ 2x

1. ∫cos

xdx; 2.

∫

dx;

3. ∫

dx;

4. ∫

;

5. ∫

(

;

(1+ x)

1 e

−1

1+ cos

e∫

1 x

ln x

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.y = xe2x , y = xe−2 .

2.Внутри окружности ρ = 3/2 и одновременно вне кардиоиды ρ =3(1−cosφ). Вычислить длинудуги кривой:

3. y =1/sin 2x ,	π	6	≤ x ≤π	3	.
		6		3

				a
4. Найти длину петли кривой:			ρ =		.
4. Найти длину петли кривой:			ρ =	cos4 (ϕ 4 )	.
			Часть 2.
		Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.
1.	Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
	∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области D : x ≥ 0, y =1, y = −1,
	D
y = log1		x .
		2
2.	Найти массу неоднородной пластины D : x = 0, y = 0,					x + 2y =1, если
поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= 2 −(x2 + y2 ).
3.	Найти статический момент однородной пластины D :					x2 + y2 + 2x = 0,

x + y ≤ 0, y − x ≥ 0, относительно оси Oy , используя полярные координаты.

4.	Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область
V : z = x2 + y2 , z = 4.
5.	Найти момент инерции однородного тела относительно оси	Oy ,
занимающего область V : y =3(x2 + z2 ), y = 3.
6.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z = −x2 + 2,	z = 0, y = x,
y = 2x, x ≥ 0, y ≥ 0.
7.	Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):

∫(x2 − y2 )dx + 2xydy , где L − контур треугольника ABC : A(1;1), B(3;1),

C(3;3).

8.Найти единичный вектор нормали к поверхности −4x + y2 + 2z2 = −1 в точке M (1,1,−1), составляющую острый угол с положительным направлением

оси Oz .

9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = x2 (xi −3yj ).

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F =(x + z)i + zj +(2x − y)k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью 3x + 2y + z = 6 и координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса)									циркуляцию
векторного поля						F = (x + y)i + (4x −5y) j + (x2 +5z + 2)k			по контуру
		2		2			2
L :	x		+ y		= (z + 2)			,
	z = −1.

Вариант 30. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

Вычислить интегралы:

ln 5 ex

2π

∞

ex + 2

1+ x

ln x

∫

dx; 2. ∫

1− x

dx;

3. ∫

;

∫x

ln xdx;

5. ∫

dx;

5 −3cos x

+ x

π∫xln(sin x)dx.

II. Геометрические приложения определенных интегралов.

Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

y = arcsin x,

y = arctg2x .

2. Внутри кардиоиды ρ =3(1+ cosφ) и одновременно внутри кардиоиды

ρ =1−cosφ.

Вычислить длинудуги кривой:

3. Вычислить длину дуги той части кривой y = 56 5x6 −165 5x4 , которая расположена в вертикальной полосе, ограниченной прямыми x =1 и x =32.

4.Вычислить длину дуги кардиоиды ρ = 2(1+ cosφ), находящейся внутри окружности ρ =1.

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле


	∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области D : x ≥ 0, y ≥ 0, y =1,
	D

x = 4 − y2 .
2.	Найти массу неоднородной пластины D : x = 0, y = 0,	x + y = 2, если
поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= x2 + y2.
3.	Найти статический момент однородной пластины D :	x2 + y2 + 2y = 0,

y − x ≤ 0, x + y ≤ 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты. 4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область

V : z = x2 + y2 , x2 + y2 = 4, z = 0.

5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oz , занимающего область V : z =3 − x2 − y2 , z = 0.

6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z = x2 + y2 +1,

z = 3 − x2 − y2 .

7. Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):

∫(x + y)2 dx +(x − y)2 dy, где L − контур треугольника ABC : A(0,0), B(2,2),

C(4,0).

8.Найти единичный вектор нормали к поверхности 3x2 − y2 + z =1 в точке M (1,−1,−1),составляющую острый угол с положительным направлением оси

Oz .

9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = 2xyz(yzi + xzj + xyk ).

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F = zi +(x + y) j + yk через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью 2x + y + 2z = 2 и координатными

плоскостями.
11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса)								циркуляцию
векторного поля					F = (2x − y)i + (6x +5y) j + (3y2 −6z −1)k			по контуру
	2		2			2
L : x		+ y		= (z +3)			,
z = −4.

2. Решение типового варианта

Часть 1.

I. Вычислить интегралы:

x2 + x −1

;

x(x −1)(x +1)

x −1

x +1

x2 + x −1 =

+ x −1

= A(x −1)(x +1)+ Bx(x +1)+Cx(x −1)

1. ∫2

dx = ∫2

dx =

x = 0: −1 = −A; A =1

x3 − x

x(x −1)(x +1)

x =1: 1 = 2B; B =

x = −1: −1 = 2C; C = −

d (x −1)

d (x +1)

dx +

−

= ln

24 + 1 ln

x −1

−

1 ln

x +1

24 =

∫2 x

∫2

x −1

∫2

x +1

= ln 4 −ln 2 +

1 ln3

− 1 ln5 + 1 ln3 = ln 4 −ln 2 + ln3

−

1 ln5 = ln

∫4

xtg2 xdx =

Пусть х =и => dx = du,

tg2 xdx = dv v = ∫tg2 xdx =

−cos2 x

= x(tgx − x)

− ∫(tgx − x)dx =

= ∫

dx = ∫

− ∫dx =tgx − x

cos

4 d cos x

π2

1−

∫0

cos x

−

+ ln

cos x

π2

−

+ ln

−

ln 2.

Сделаем замену

−

3. ∫

= ∫

= −∫

x x

+8x − 2

= t

8 − 2

3 t

+ 8

− 2

= ∫3

∫3

d (t − 2)

1+8t − 2t

+ 4t −t2

−(t − 2)2

(t − 2)

arcsin

Отметим, что при замене переменной меняются пределы интегрирования,

и возвращаться к исходной переменной не нужно.

Сделаем замену

=t,

∫

5 −

2sin x +3cos x

sin x =

,cos x =

1−t

,dx

2dt

1+t2

d (t −1)

1+t

= ∫

= 2∫

= ∫

−3t

− 4t

− 2t + 4

5 −

0 (t −1)

+t2

1+t2

t −1

arctg

= −

arctg

−

6 3

+∞

5. Вычислить несобственный интеграл первого рода

∫е

xln xln2 ln x

+∞

d ln x

+∞ d lnln x

+∞

∫е

∫e

= ∫e ln2 ln x

= −

= 0 +1 =1.

xln xln2 ln x

ln xln2 ln x

lnln x

Здесь мы использовали справедливость формулы Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов.

6. Вычислить несобственный интеграл второго рода ∫4

16 − x

При

x = 4

подынтегральная функция терпит разрыв, поэтому:

4−ε

x 4 −ε

∫

= limε→0

∫

= limε→0 ∫

= limε→0 arcsin

16 − x

− x

интеграл сходится.

= lim arcsin 1−

− arcsin0 = arcsin1 =

ε→0

II. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

	2		(		2	)	3		(		2	)	3		2
1. y		=	1	− x				; y = ± 1		− x				Область определения х		≤1,	х	≤1;

кривая симметрична относительно обеих координатных осей.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
03.05.20151 Мб176DKR_MatAn_2_semestr_2014.pdf
#
03.05.2015258 Кб70Integraly_MTUSI.pdf
#
03.05.20151 Мб85matan_diffures_ekz.pdf
#
03.05.20152 Мб31Matan_tema_8_nesobstvennye_integraly.pdf
#
03.05.20152 Мб282matan_test_otvety.pdf
#
03.05.201531 Кб17tablica_integralov.pdf