DKR_MatAn_2_semestr_2014

L

C (1;3).

8. Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 − y − 4z2 =1 в точке M (2,−1,1), составляющую острый угол с положительным направлением оси

Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F = xi +(y − 2z) j +(2x − y + 2z)k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью x + 2y + 2z = 2 и

координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию векторного поля F = (z − x)i + (2x + y) j + (5 − 2z − xy)k по контуру

x2 + y2 + 2z −5 = 0,

L : z = 2.

Вариант 13. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

21

1.y =1− x, y =1− x 3 .

2.Внутри лемнискаты ρ2 = cos2φ и одновременно внутри окружности

ρ = 2sinφ.

Вычислить длинудуги кривой:

3. x2 + 2x − y = 0 , y ≤ 0 .

4.Вычислить длину дуги кардиоиды ρ = 2(1+ cosφ), находящейся вне окружности ρ =1.

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области D : y ≥ 0, x + 2y −12= 0,

x2 + y2 + y = 0, x ≤ 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.

занимающего область V : z2 = x2 + y2 , z = 3.

6.Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z =1− x2 , z =1− y2 , z = 0 .

7.Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):

∫(xy + x + y)dx +(xy + x − y)dy , где L − окружность x2 + y2 = R2 .

L

8. Найти единичный вектор нормали к поверхности 5x − y2 −3z2 =1 в точке M (1,−1,−1),составляющую острый угол с положительным направлением оси

Oz .

9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = zj .

Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F =(x + 2z)i +(y −3z) j + zk через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью 3x + 2y + 2z = 6 и координатными плоскостями.

22

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию векторного поля F = (y − x)i + (z − 2y) j + (z − y2 − 2)k по контуру

x2 + y2 + 2z −7 = 0,

L : z = 3.

Вариант 14. Часть 1.

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.y = ex −1, y = e2x −3, x = 0 .

2.Внутри кардиоиды ρ =1+ cosφ и одновременно слева от прямойρ = 3(4cosφ). Вычислить длинудуги кривой:

3. y = 2ln(sin(x2)), 2π3 ≤ x ≤ 4π3.

4.x =3(2cost −cos2t),0 ≤t ≤ 2π.y =3(2sint −sin 2t),

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области

D

D : x ≤ 0, y ≥1, y ≤ 3, y = −x.

2.Найти массу неоднородной пластины D : x = 0, y = 0, x + y =1, если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= 2x2 + y2.

3.Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 − 2x = 0,

x2 + y2 − x = 0, y ≥ 0, относительно оси Oy , используя полярные координаты. 4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область

V : 4y = x2 + z2 , x2 + z2 =16, y = 0.

23

5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oz , занимающего область V : z = x2 + y2 , z = 3.

6.Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x2 + y2 + z2 = 25, 3 ≤ z ≤ 4.

7.Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):

∫(x + y)dx −(x − y)dy , где L − контур треугольника ABC : A(1;1), B(2;2),

L

C (1;3).

8. Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 − 2y2 + 2z2 =1 в точке M (−1,1,−1),составляющую острый угол с положительным направлением оси

Oz .

9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля

F = x(i + j + k )+ y(i + k )+ z(i + j ).

Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F = 4xi +(x − y − z) j +(3y + 2z)k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью 2x + y + z = 4 и

координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию векторного поля F = (y −3x)i + (x + 2y) j + (2y2 − z +1)k по контуру

x2 + y2 − 2z −5 = 0, L : z = −2.

Вариант 15. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I. Вычислить интегралы:

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.y =3 − x2 , y = 2x .

2.Внутри кардиоиды ρ =1+ cosφ иодновременно вне кардиоиды ρ =1−cosφ. Вычислить длинудуги кривой:

24

3. Вычислить длину дуги той части кривой y = 3x2 −1, которая расположена в горизонтальной полосе, ограниченной прямыми y =3 и y =8. . 4. ρ = 2a(sinϕ + cosϕ).

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области

D

D : y = 0, y ≥ x, y = −2 − x2 .

2. Найти массу неоднородной пластины D : x = 0, y2 =1− x, если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= 2 − x − y.

3. Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 + 2y = 0,

x2 + y2 + y = 0, x ≥ 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.

занимающего область V : y2 = x2 + z2 , x2 + z2 = 4, y = 0.

6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z = 4xy, z = 0, y ≥ 2, x + y = 4.

7. Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):∫(1− x2 )ydx + x(1+ y2 )dy , где L − окружность x2 + y2 = R2 .

L

8. Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 + 2y2 − 2z =10 в точке M (2,1,−2), составляющую острый угол с положительным направлением оси

Oz .

9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = yi − xj .

Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F =(2z − x)i +(x + 2y) j +3zk через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью x + 4y + 2z =8 и

координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию векторного поля F = (x − z)i + (5x + 4y) j + (z + x2 + 4)k по контуру

x2 + y2 − 2z −3 = 0, L : z = −1.

25

Вариант 16. Часть 1.

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.y = arcsin x и прямая, проходящая через концы этой линии.

2.Внутри окружностиρ= 3иодновременновне кардиоиды ρ = 2(1+ cosφ). Вычислить длинудуги кривой:

3. Вычислить длину дуги той части кривой y = ∫x t2 −1dt, которая

1

расположена в вертикальной полосе, ограниченной прямыми

x=1 и x = 3.

4.x =5(t −sint), 0 ≤t ≤π.y =5(1−cost),

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области

x2 + y2 − y = 0, x ≥ 0,относительно оси Ox , используя полярные координаты. 4. Найти координаты центра масс однородного тела, занимающего область

V : z =9x2 + y2 , z =36.

5. Найти момент инерции однородного тела относительно оси Oy , занимающего область V : 2y = x2 + z2 , y = 2.

26

M (1,2,−1), составляющую острый угол с положительным направлением оси

9Oz. Найти. дивергенцию и ротор векторного поля F = x2 z(3yzi + xzj + 2xyk ).

Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F = 4zi +(x − y − z) j +(3y + z)k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью x − 2y + 2z = 2 и

Вариант 17. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

I.Вычислить интегралы:

ππ

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.y2 = x + 2, y2 = 4(3 − x) .

2.Внутри лемнискаты ρ2 = 2cos2φ и одновременно вне окружностиρ =1. Вычислить длинудуги кривой:

3. y = 2 ln(2 − x2 ) , −1≤ x ≤1.

4. Найти длину дуги спирали Архимеда r = 2ϕ, находящейся внутри

27

x2 + y2 − y = 0, x ≤ 0, относительно оси Ox , используя полярные координаты.

Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F =(x + y)i +(y + z) j + 2(x + z)k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью 3x − 2y + 2z = 6 и

координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию векторного поля F = (x + y)i + (3y − 4x) j + (3xy −6z − 2)k по контуру

x2 + y2 − 2z +3 = 0,

L : z = 2.

28

Вариант 18. Часть 1.

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.x = 0, y = ex −e и касательная к этой линии в точке пересечения ее с осьюOx.

2.Внутри окружности ρ = 3sinφ и одновременно вне кардиоиды ρ =1−cosφ. Вычислить длинудуги кривой:

Часть 2.

Кратные и криволинейные интеграла. Теория поля.

1. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy в декартовых координатах для области

D

D : y = 4 − x2 , x ≥ 0, x =1, y = 0 .

2. Найти массу неоднородной пластины D : x =1, y = 0, y = x, если поверхностная плотность в каждой ее точке µ(x, y)= x2 + 2y2 +10.

3. Найти статический момент однородной пластины D : x2 + y2 + 2x = 0,

x2 + y2 + x = 0, y ≥ 0, относительно оси Oy , используя полярные координаты.

занимающего область V : 2z = x2 + y2 , z = 2.

6.Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z = 9 − x2 − y2 , z = 0,

x2 + y2 ≥ 4.

29

7. Вычислить (непосредственно или с помощью формулы Грина):

∫2(x2 + y2 )dx +(x + y)2 dy , где L − контур треугольника ABC : A(2;1),

L

B(4;1), C (4;2).

8. Найти единичный вектор нормали к поверхности x2 − y2 − 2z = 2 в точке M (1,1,−1), составляющую острый угол с положительным направлением оси

Oz .

9. Найти дивергенцию и ротор векторного поля F = xi + yj + zk .

Выяснить, является ли данное поле потенциальным или соленоидальным; если да, то найти соответственно его скалярный или векторный потенциал и сделать проверку соответствующего потенциала.

10. Вычислить (непосредственно или по формуле Остроградского – Гаусса) поток векторного поля F =(x + y + z)i + 2zj +(y −7z)k через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью 2x +3y + z = 6 и

координатными плоскостями.

11. Вычислить (непосредственно или по формуле Стокса) циркуляцию векторного поля F = (2x +3y)i + (4y − x) j −(8z − 2y2 +1)k по контуру

x2 + y2 − 2z +5 = 0,

L : z = 3.

Вариант 19. Часть 1.

Определенные и несобственные интегралам.

II. Геометрические приложения определенных интегралов. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1.y = ex −1, y = 2e−x , x = ln 4.

2.Внутри правой ветви лемнискаты ρ2 =9cos2φ и одновременно вне окружности

ρ = 6cosφ.

Вычислить длинудуги кривой:

3. y = 6/sin(x /3), π / 2 ≤ x ≤ 2π .

4. Вычислить длину дуги кривой ρ =1+ cosa ϕ , ϕ −π 2,π 2 . 30