DKR_MatAn_2_semestr_2014

Вариант 14

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения

со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

14.1(a2 + y2 )dx + 2xax − x2 dy = 0; y(a)= 0 .

14.2(x + y)dx +(x + y −1)dy = 0 .

14.3y′+ ycosx = cosx; y(0)=1.

14.4(2 −9xy2 )xdx +(4y2 −6x3 )ydy = 0.

14.5xy′′+ y′ = 0.

14.6y′′′ = 24 .

(x + 2)5

14.71+ y′2 = 2yy′′.

14.8y′′′− y′′−16y′− 20y = 0; y(0)= 5, y′(0)= −3, y′′(0)=10.

14.9y′′′− y′′+ y′− y = 2xex .

14.10y′′−9y =3e3x −cosx .

14.11y′′+ 2y′+ y = 2e−x 3x .

14.13 Записать уравнение кривой, проходящей через точку A(2; 4) и

обладающей свойством: длина отрезка, отсекаемого на оси абсцисс касательной, проведенной в любой точке кривой, равна кубу абсциссы точки касания.

14.14 Пустой железный шар находится в стационарном тепловом состоянии (т.е. в состоянии, при котором температура в разных точках тела разная, но в каждой отдельной точке с течением времени не изменяется). Внутренний радиус шара 6 см, внешний – 10 см, температура внутренней поверхности

2000 C , а внешней −200 C . Найти температуру в точках, находящихся на расстоянии 9 см от центра шара.

81

Вариант 15

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения

со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

15.1y′+sin(x − y)=sin(x + y); y(π )= π2 .

15.2(x + y)dx +(x − y − 2)dy = 0.

15.3y′ = y x+1; y(1)= 0.

15.4(3x2 − y cos xy + y)dx +(x − xcos xy)dy = 0.

15.52xy′y′′ =(y′)2 +1.

15.6xy′′ = y′.

15.7y′′ = ae−y′.

15.8y′′′+ y′′+ y′+ y = 0; y(0)=3, y′(0)= −2, y′′(0)=1.

15.9y′′+ 6y′+9y =10sinx .

15.10y′′− 2y′+5y = excosx − x2

15.11y′′+ 2y′+ y = e−x x +1 .

15.12 y′ = ex − y2 ; y(0)= 0.

15.13 Записать уравнение кривой, проходящей через точку A(1; 5) и

обладающей свойством: длина отрезка, отсекаемого на оси ординат любой касательной, равна утроенной абсциссе точки касания.

15.14 Ускорение локомотива, начальная скорость которого равна υ0 , прямо пропорционально силе тяги F и обратно пропорционально массе поезда m . Сила тяги локомотива F (t)= b −kυ (t), где υ (t)− скорость локомотива в

момент t , а b и k −постоянные величины. Определить зависимость силы тяги локомотива от времени t .

82

Вариант 16

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения

со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

16.2(y + xy )dx = xdy .

16.3xy′− 2y = 2x4 .

16.4xy dx +(y3 +lnx)dy = 0 .

16.5y′′ = yx′ + x.

16.6y′′′ = 2(y′′−1)ctgx .

16.7 y′′+ 2(y′)2 /(1− y)= 0, y(0)= 0, y′(0)=1

16.8y(IV) −5y′′+ 4y = 0, y(0)= −2, y′(0)=1, y′′(0)= 2, y′′′(0)= 0

16.9y′′−5y′+ 4y = 4x2e2x .

16.10y(V) + 4y′′′ = ex +3sin2x +1.

16.11y′′− y =1/(5e−x −1).

щей свойством: отношение ординаты любой ее точки к абсциссе этой точки пропорционально угловому коэффициенту касательной к искомой кривой, проведенной в той же точке. Коэффициент пропорциональности равен 3.

16.14 Последовательно включены катушка с индуктивностью L , сопротивление R и конденсатор емкости C , заряд которого при t = 0 равен q .

Цепь замыкается при t = 0. Найти силу тока в цепи и частоту колебаний в том случае, когда разряд носит колебательный характер.

83

Вариант 17

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения

со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

17.2xy′− y = xtg xy .

17.3x(y′− y)= (1+ x2 )еx .

17.4yxy−1dx + xylnxdy = 0 .

17.5y′′ = arctgx .

17.6(1− x2 )y′′+ xy′ = 2 .

17.7 y′′(1+ y)=5(y′)2 ; y(0)= 0, y′(0)=1.

17.8y(IV) −10y′′+9y = 0; y(0)= y′(0)= 0, y′′(0)=8, y′′′(0)= 24.

17.9y′′′−4y′′+5y′−2y = 2x +3.

17.10y′′+9y = 2xsinx + xe3x .

17.11y′′+5y′+ 6y = e−2x /(e2x +1).

17.12 y′ = x + y + y2 ; y(0)=1.

17.13 Записать уравнение кривой, проходящей через точку A(2; −1), если из-

вестно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке пропорционален квадрату ординаты точки касания. Коэффициент пропорциональности равен 6.

17.14 В результате химической реакции между веществами А и В образуется вещество С. Установить зависимость количества вещества С от времени, если в момент вступления в реакцию количества веществ А и В были равны соответственно a и b. Скорость реакции пропорциональна произведению реагирующих масс.

84

Вариант 18

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения

со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

18.3y′ = xy + 1y .

18.4еydx+(xеy − 2y)dy = 0 .

18.5y′′ = yx′ + xy2′; y(2)= 0, y′(2)= 4 .

18.6y′′xln x = y′.

18.7 y′′(2y +3)− 2(y′)2 = 0; y(0)= 0, y′(0)=3.

18.8y′′′− y′′+ y′− y = 0; y(0)= y′′(0)= 0, y′(0)=1.

18.9y′′′− y′′−6y′ = 6x + 2.

18.10y′′+ y = 4cosx +(x2 +1)ex .

18.12y′′ = esin x + xy; y(0)= 0. y′(0)=1.

18.13Записать уравнение кривой, обладающей свойством: отрезок касательной к кривой, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.

18.14Стальная шаровая оболочка с внутренним радиусом 6 см и внешним 10 см находится в стационарном тепловом состоянии. Температура на

внутренней ее поверхности равна 2000 C , а на внешней 200 C . Найти температуру на расстоянии r от центра и количество теплоты, которое в I с шар отдает наружу (теплопроводность стали k = 0,14 ).

85

Вариант 19

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения

со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

19.1y′+sin(x + y)=sin(x − y).

19.2xy′ = y + xcos2 xy .

19.3y′cosx − ysinx = 2x; y(0)= 0.

19.4(x2 + y2 + 2x)dx + 2xydy = 0.

19.5xy(IV) =1.

19.8y′′′−3y′′+3y′− y = 0; y(0)= y′(0)= 0, y′′(0)= 4.

19.9y′′′+ y′′= −x .

19.10y(IV) −16y = xex + 2sin2x −3cos2x.

19.11y′′+9y = cosec3x .

19.12 y′ = x2 + y2 ; y(0)=1.

19.13Записать уравнение кривой, для которой длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в какой-либо точке кривой, равна расстоянию от этой точки до начала координат.

19.14Последовательно включены: источник тока, напряжение которого меняется по законуE = E0 sinωt , сопротивление R , катушка с индуктивностью

L и конденсатор с емкостью C . Найти силу тока в цепи (установившийся режим). При какой частоте ω сила тока наибольшая?

86

Вариант 20

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения

со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

20.5y''' = x + cos x.

20.6y''' = 1+(y'' )2 .

20.72(y' )2 = (y −1)y'', y (0)= y' (0)= 2.

20.8y'''− y''+4 y'−4 y = 0, y (0)= −1, y' (0)= 0, y'' (0)= −6.

20.94 y'''+ y' = 2 sin (x / 2).

20.10y(IV) +2 y'''+2 y''+2 y'+ y = xex +0,5cos x.

20.11y''+ y =1/ sin3 x.

20.13 Записать уравнение кривой, для которой произведение абсциссы какойлибо ее точки и длины отрезка, отсекаемого нормалью в этой точке на оси Oy ,

равно удвоенному квадрату расстояния от этой точки до начала координат.

20.14 Конденсатор емкостью C включается в цепь с напряжением V и сопротивлением R. Определить заряд q конденсатора в момент t после

включения.

87

Вариант 21

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения

со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

21.1x1− y2 dx + y1− x2 dy = 0; y(0)=1

21.2(4x −3y)dx +(2y −3x)dy = 0.

21.3y′+ y = cosx; y(0)= 0,5 .

21.5xy′′ = (1+ 2x2 )y′.

21.6y′′+ y′+ 2 = 0; y(0)= 0, y′(0)= −2.

21.71+(y′)2 = yy′′; y(0)=1, y′(0)= 0.

21.8y(IV) − 2y′′′+ y′′ = 0; y(0)= y′(0)= 0, y′′(0)=1, y′′′(0)= 2 .

21.9y′′′− 4y′ = x2 .

21.10y′′′+ y = 3xe−x + ex (5sinx + cosx).

21.11y′′+8y′+16y = e−4x 3x .

21.12 y′ = x2 y2 + ysin x; y(0)= 0,5.

21.13 Записать уравнение кривой, проходящей через точку P(1,2) и

обладающей следующим свойством: площадь треугольника, образованного радиусвектором любой точки кривой, касательной в этой точке и осью абсцисс, равна 2.

21.14 В электрическую цепь с сопротивлением R =1,5 Ом в течение 2 мин равномерно вводится напряжение (от нуля до 120 В). Кроме того, автоматически вводится индуктивность, так что число генри в цепи равно числу, выражающему ток в амперах. Найти зависимость тока от времени в течение первых двух минут опыта.

88

Вариант 22

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения

со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

22.1y′ = ex+y + ex−y ; y(0)= 0 .

22.2y′ = x22−xyy2 .

22.3y′− 2y = −x2; y(0)= 0,25.

22.4(3x2 y + y3 )dx +(x3 +3xy2 )dy = 0 .

22.5y′′′ = x .

22.6x2 y′′′ =(y′′)2 .

22.7yy′′+(y′)2 = 0; y(0)=1, y′(0)= 2 .

22.8y(IV) − y = 0; y(0)= y′(0)= y′′(0)= 0, y′′′(0)= −4.

22.9y′′−3y′+ 2y = xcosx.

22.10y′′′− y =5xex + e2x (6cosx −sinx).

22.11y′′+ y = 24sin4 x .

обладающей свойством: отрезок касательной между точкой касания и осью Oy имеет постоянную длину, равную 2.

22.14 На расстоянии a друг от друга в точках A и B сосредоточены два равных разноименных заряда +q и −q. Приняв точку A за начало координат

и направив ось X по линии AB , составить уравнение семейства эквипотенциальных линий электрического поля, создаваемого указанными зарядами.

89

Вариант 23

В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:

впримерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;

впримере 10 написать общее решение дифференциального уравнения

со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;

впримере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);

впримерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.

23.2x2dy = (y2 − xy + x2 )dx .

23.3y′+ 2y = e−x.

23.4(x3 −3xy2 + 2)dx −(3x2 y − y2 )dy = 0.

23.5xy′′′− y′′ = 0.

23.6xy′′ = 2yy′− y′.

23.7yy′′−(y′)2 = 0; y(0)=1, y′(0)= 2.

23.8y(IV) −16y = 0; y(0)= y′(0)= y′′(0)= 0, y′′′(0)= −8.

23.9y′′+ 2y′ = 4x2 +3.

23.10y(IV) − y = xe2x +3sinx −5cosx.

23.11y′′− y′ = e2xcos(ex ).

23.12 y′ = 2y2 + yex ; y(0)= 13.

23.13Записать уравнение кривой, каждая касательная к которой пересекает прямую y =1 в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания.

23.14Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных источников тока с э.д.с. (t)= E0 sin(ωt +ϕ), индуктивности L и емкости C ,E

I = I (t)= dIdt = 0 при t = 0.

90